Front side: :

Progress Sums:-1,-2,-3,-4,-5...    1,2,3,4,5...

We express the formulas:S_n= (n²a₁+n)/2, ; S_n-1=(n²a₁-n)/2,.  (n - Number of summing members, a₁ -  first member of the progression. With a negative or positive value n. Expressions S_n-1, S_n-2  should be understood: subtraction from the number of the member taken).

First option:

Example: S_n= (n²a₁+n)/2.

For n = -5 we have: ((-5)²(-1)+(-5))/2=-15;                          For n = 5 we have: (5²*1+5)/2=15.

 Example: S_n-1=(n²a₁-n)/2

 For n = -5 we have: ((-5)²(-1)-(-5))/2=-10                            For n = 5 we have: (5²*1-5)/2=10.

                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                          Triangular:                                                                                                                                                                                                         

  Progress Sums:-1,-3,-6,-10,-15....1,3,6,10,15....                                      

  We express the formulas:S_n= ((n+a₁)³-(n+a₁))/6, S_n= (n³-n)/6+(n²a₁+n)/2;  S_n-1=(n³-n)/6; S_n-2=((n-a₁)³-(n-a₁))/6,         S_n-2=(n³-n)/6-(n²a₁-n)/2.       

  First option:

  Example: S_n= ((n+a₁)³-(n+a₁))/6.

  For n = -5 we have: ((-5+(-1))³-(-5+(-1)))/6=-35;             For n = 5 we have: ((5+1)³-(5+1))/6=35.

  Example: S_n-2=((n-a₁)³-(n-a₁))/6.

  For n = -5 we have:((-5-(-1))³-(-5-(-1)))/6=-10;                For n = 5 we have: ((5-1)³-(5-1))/6=10.

  Second option:

  Example: S_n= (n³-n)/6+(n²a₁+n)/2.  

  For n = -5 we have: ((-5)³-(-5))/6+((-5)²(-1)+(-5))/2= -35;    For n = 5 we have:  (( 5)³-5)/6+(5²*1+5)/2= 35.

  Example: S_n-1=(n³-n)/6.

  For n = -5 we have: ((-5)³-(-5))/6= -20;                             For n = 5 we have: (( 5)³-5)/6=20.

  Example: S_n-2=(n³-n)/6-(n²a₁-n)/2.

  For n = -5 we have:((-5)³-(-5))/6 -((-5)²(-1)-(-5))/2= -10;       For n = 5 we have: (( 5)³-5)/6-(5²*1-5)/2= 10.

         Quadrilateral:

 Progress Sums: -1,-4,-9,-16,-25....1,4,9,16,25....

  We express the formulas:S_n= a₁(n+a₁)(n²a₁+0,5n)/3,  S_n= (n³-n)/3 + (n²a₁+n)/2;  S_n-1= a₁(n-a₁)(n²a₁-0,5n)/3, S_n-1=(n³-n)/3 - (n²a₁-n)/2.

  First option:

  Example: S_n=a₁(n+a₁)(n²a₁+0,5n)/3.

  For n = -5 we have: -1(-5+(-1))*((-5)²(-1)+(-2,5))/3=-55;        For n = 5 we have: 1(5+1)(5²*1+2,5)/3=55.

  Example: S_n-1= a₁(n-a₁)(n²a₁-0,5n)/3.

  For n = -5 we have: -1(-5-(-1))*((-5)²(-1)-(-2,5))/3=-30;           For n = 5 we have:1(5-1)(5²*1-2,5)/3=30.

  Second option:

  Example: S_n= (n³-n)/3 + (n²a₁+n)/2.

  For n = -5 we have: ((-5)³-(-5))/3 +((-5)²(-1)+(-5))/2= -55;       For n = 5 we have:((5)³-5)/3 + (5²*1+5)/2= 55.

  Example: S_n-1= (n³-n)/3 -(n²a₁-n)/2.

  For n = -5 we have: ((-5)³-(-5))/3 -((-5)²(-1)-(-5))/2= -30;           For n = 5 we have: ((5)³-5)/3 -(5²*1-5)/2= 30.