ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СИГНАЛОВ

КАЧЕСТВО РАБОТЫ: 57%

            Многие задачи радиотехники требуют специфической формы представления сигналов. Для решения этих задач необходимо располагать не только мгновенным значением сигнала, но и знать как он ведет себя во времени, знать его поведение в “прошлом” и “будущем”.

ПРИНЦИП ДИНАМИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

            Данный способ получения моделей сигналов заключается в следующем. Реальный сигнал представляется суммой       некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Теперь, если мы устремим к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то в пределе получим точное представление исходного сигнала. Такой способ описания сигналов называется динамическим представлением , подчеркивая тем самым развивающийся во времени характер процесса.

            Широкое применение нашли два способа динамического представления.

            Первый способ в качестве элементарных сигналов использует ступенчатые функции, которые возникают через равные промежутки времени  D (рис. 1.1). Высота каждой ступеньки равна приращению сигнала на интервале времени D.

            При втором способе элементарными сигналами служат прямоугольные импульсы. Эти импульсы непосредственно примыкают друг к другу и образуют последовательность, вписанную в кривую или описанную вокруг нее (рис. 1.2).

    рис 1.1 + 1.2

            Рассмотрим свойства элементарного сигнала, используемого для динамического представления по первому способу.

ФУНКЦИЯ    ВКЛЮЧЕНИЯ

            Допустим имеется сигнал, математическая модель которого выражается системой :

i   0,              t < -x,

(t)= i 0.5(t/x+1), -x ? t ? x,   (1)

i   1,               t > x.

            Такая   функция  описывает  процесс  перехода   некоторого  физического объекта из “нулевого” в “единичное” состояние. Переход   совершается по линейному закону за время 2x. Если параметр x устремить к нулю, то в пределе переход из одного состояния в другое  будет происходить мгновенно. Эта математическая модель предельного сигнала получила название функции включения  или  функции Хевисайда :

i      0,               t < 0,

s(t)  =  i    0.5,               t = 0, (2)

i     1,               t > 0.

            В общем случае функция включения может быть смещена относительно начала отсчета времени на величину   t0.  Запись смещенной функции такова :

i      0,              t < t0,

s(t - t0)  =  i    0.5,              t = t0,    (3)

  i     1,              t > t0.

ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО

СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ ФУНКЦИЙ ВКЛЮЧЕНИЯ

            Рассмотрим некоторый сигнал S(t), причем для определенности скажем, что  S(t)=0  при  t<0. Пусть {D,2D,3D,...} - последовательность моментов времени и {S1,S2,S3,...} - отвечающая им последовательность значений сигнала. Если S0=S(0) - начальное значение, то текущее значение сигнала при любом t   приближенно равно сумме ступенчатых функций :

 ?

s(t)»s0s(t)+(s1-s0)s(t-D)+...=s0s(t)+a(sk-sk-1)s(tkD).

 k=1

·       Если теперь шаг  D  устремить к нулю. то дискретную переменную  kD  можно заменить непрерывной переменной  t. При этом малые приращения значения сигнала превращаются в дифференциалы    ds = (ds/dt) dt ,  и мы получаем формулу динамического представления произвольного сигнала посредством функций Хевисайда

?

o ds

S(t)=s0 s(t)+ o      s(t-t) dt         (4)

o dt

0

            Переходя ко второму способу динамического представления сигнала , когда элементами разложения служат короткие импульсы, следует ввести новое важное понятие.

ДИНАМИЧЕСКОЕ   ПРЕДСТАВЛЕНИЕ  СИГНАЛА ПОСРЕДСТВОМ   ДЕЛЬТА-ФУНКЦИЙ

            Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы,   заданный следующим образом :

1    e               x                     x       u                 

u(t;x) =  -----  e s (t +  ---- )   - s (t -  ---- )  ?                        (5)

 x    e               2                     2       u

              При любом выборе параметра  x  площадь этого импульса равна единице :

?

П  =  o   u  dt  =   1

 - ?

            Например, если  u -  напряжение, то  П =  1  В*с.

            Пусть теперь величина  Е  стремится к нулю.  Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет свою площадь, поэтому его высота должна неограниченно возрастать. Предел последовательности таких функций при  x ® 0  носит название  дельта-функции , или функции Дирака :

d(t)  =  lim  u (t;x)

x®0

            Теперь вернемся  к  задаче описания аналогового сигнала суммой примыкающих друг к другу прямоугольных импульсов  (рис. 2) .  Если  Sk -  значение сигнала на  k - ом  отсчете, то элементарный импульс с номером  k   представляется как :

hk(t) =  Sk  [ s(t - tk) -   s(t - tk - D) ]     (6)

            В соответствии с принципом динамического представления исходный сигнал  S (t) должен рассматриваться как сумма таких элементарных слагаемых

?

S(t)  =   a    h (t)                                              (7)

  k= - ?    k

            В этой сумме отличным от нуля будет только один член, а именно тот, что удовлетворяет условию для  t :

tk <  t < t k+1

            Теперь,   если произвести подстановку  формулы  (6)   в  (7)  предварительно разделив и умножив на величину шага  D, то

?   1               

S(t)  =  a Sk  --- [ s(t - tk) -   s(t - tk - D) ] D

k=- ?     D

            Переходя к пределу при  D ® 0  ,  необходимо суммирование заменить интегрированием по формальной переменной t, дифференциал которой dt ,будет отвечать величине D . Поскольку

                             lim [ s(t - tk) -  s(t - tk - D) ] ---  D®0             D

 получим искомую   формулу   динамического представления сигнала

?

S(t) = o  s (t) d(t - t) dt

- ?

            Итак, если непрерывную функцию умножить на дельта-функцию и произведение проинтегрировать по времени,  то результат будет равен значению непрерывной функции в той точке, где сосредоточен   d - импульс. Принято говорить, что в  этом состоит фильтрующее свойство  дельта-функции.[1][1]

Обобщенные функции как математические модели сигналов.

            В классической математике полагают,  что функция  S(t)  должна  принемать какие-то значения в каждой точке оси  t .  Однако рассмотренная функция  d(t)  не вписывается в эти рамки - ее значение при   t = 0   не определено вообще,  хотя эта функция и имеет единичный интеграл.  Возникает необходимость расширить понятие функции как математической модели сигнала. Для этого в математике была введено принципиально новое понятие   обобщенной функции.

            В основе идеи обобщенной функции лежит простое интуитивное соображение. Когда мы держим в руках какой-нибудь предмет , то стараемся изучить его со всех сторон, как бы получить проекции этого предмета на всевозможные плоскости.  Аналогом проекции исследуемой функции  ¦(t)  может служить, например, значение интеграла

 ?

o   ¦(t) j(t)  dt      (8)

  - ?

при известной функции  j(t) , которую называют пробной функцией.

            Каждой функции  j(t) отвечает, в свою очередь, некоторое конкретное числовое значение. Поэтому говорят, что формула  (8)   задает некоторый  функционал на множестве пробных функций j(t). Непосредственно видно, что данный функционал линеен, то есть

(¦, aj1 + bj2) = a(¦,j1) + b(¦,j2)

            Если этот функционал к тому же еще и непрерывен, то говорят, что на множестве пробных функций  j(t) задана обобщенная функция   ¦(t) [2][2]. Следует сказать, что данную функцию надо понимать формально-аксиоматически, а не как предел соответствующих интегральных сумм.

            Обобщенные фнкции , даже не заданные явными выражениями, обладают многими свойствами классических функкций. Так, обобщенные функции можно дифференцировать.

И в заключение следует сказать, что в настоящее время теория обобщенных функций получила широкое развитие и многочисленные применения.  На ее основе созданы математические методы изучения процессов, для которых средства классического анализа оказываются недостаточными.

РАБОТА ДОБАВЛЕНА В КОЛЛЕКЦИЮ: 24 СЕНТЯБРЯ 2001