ПЕДАГОГИКА ШКОЛЬНАЯ (последнее)
О ВЕДУЩИХ ПЛАНАХ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Актуальные публикации по вопросам школьной педагогики.
Как показывают классические исследования Н. А. Бернштейна, живое движение осуществляется в условиях большого числа "степеней свободы"; отсюда - сложность его описания. В несравненно большей степени это относится к работе механизмов мышления. Поэтому освоение тех или иных форм сложной интеллектуальной деятельности не должно предполагать их понимание: чем сложнее такая деятельность, тем меньше возможность рационального ее описания, выявления ее внутренней логики, представляющей собой продукт взаимодействия многих логик, и языки, формируемые с целью ее постижения, - это языки описания лишь ее "внешних" форм. Отсюда ясно, что полностью детерминированный процесс обучения сложным формам интеллектуальной деятельности невозможен, т.е. в деле их освоения не может быть обучаемых, а могут быть только учащиеся. В связи с этим особую значимость обретают проблемы разработки продуктивных стратегий учебной деятельности.
Сказанное в полной мере относится к проблемам обучения математике. Освоение учебной математической деятельности невозможно без формирования и развития гибких, могущих радикально перестраиваться координации действий, без активизации и развития механизмов понимания и смыслопорождения, т.е. синтеза. Оно неосуществимо без активной и многонаправленной деятельности самого субъекта учения.
Превращение обучения математике в эффективное средство общего умственного развития учащихся невозможно без преодоления "великой иллюзии... - веры в рациональную природу человеческого интеллекта" [1, с. 51], без избавления от широко распространенного предрассудка, что это - обучение специфической "левополушарной" деятельности.
Вот чистое выражение такого понимания, принадлежащее перу известного логика Э. Бета: проблемы педагогики математики решаются "скорее с помощью логики, чем психологии", ибо роль обучения математике "состоит почти исключительно... в усвоении учащимися дедуктивного метода", а "формализация позволяет... обходиться... без привлечения нашего сознания к механизмам мышления" [2].
стр. 39
--------------------------------------------------------------------------------
"Предмет математики... состоит в доказательствах", - говорил Паскаль. "Со времен греков говорить "математика" - значит говорить "доказательство"", - таково мнение Бурбаки. Сказанное выражает чрезвычайно важную, характеристическую черту математики. Но буквалистское, одномерное понимание этого тезиса проистекает из вырывания его из контекста истории развития науки, из контекста реальной, живой математической деятельности. Такое понимание не может не порождать "левополушарный" пуризм и во взглядах на предмет и методы обучения математике. И не благодаря, а вопреки ему в учебниках математики для средней школы все еще присутствуют тени прикладных вопросов. Ведь с точки зрения пуристов, "математика и ее приложения суть два разных предмета, которые удобнее изучать отдельно" [3].
Что значит усвоить доказательство? Если под этим подразумевать способность проверить его правильность, т.е. то, действительно ли оно является доказательством утверждаемого, то обучение математике следует рассматривать только как усвоение законов формальной логики. Если же под усвоением доказательства имеется в виду и то, что выражается словом "понимание", то нам придется отступить от пуристской установки под натиском необходимости средств обучения, ею отвергаемых: "В процедуре понимания синтез преобладает над анализом (и при усвоении готового знания, и при открытии подлинно нового)..., процессуальность, динамичность - над теоретической систематикой..., схватывание целого - над процедурами упорядочения... Понимание никогда не происходит автоматически, на основе суммирования наличного материала... Понимание на высших своих уровнях - это деятельность теоретическая, деятельность связывания идей, установления отношений между ними, приведения их к целостному, системному виду...". Понимание - это "сложный механизм, который обеспечивает одновременно и примысливание-достраивание новых фактов к налично существующим, но недостаточным, и работу приведения к целостности наличных фактов совместно с примысленными-достроенными... Понимание выступает как идеепорождающая способность разумного человеческого мышления" [4].
Пуристская установка оказывается в безнадежно тяжелом положении при понимании обучения математике не только как обучения усвоению предлагаемых доказательств, но и как формирования способности к поиску доказательств, которое требует развития внелогических, внепонятийных форм мышления.
Формирование способности к поиску доказательств (но не засилье доказательств) должно быть компонентом всякой разумной системы обучения математике в средней общеобразовательной школе. А значит, необходимым средством обучения математике должно быть использование и развитие внепонятийных форм мышления. Последнее лее нуждается в использовании достижений психологии, и не только в прямых приложениях результатов психолого-педагогических исследований к проблемам педагогики математики, а в совместных исследованиях математиков и психологов.
Если в разработке средств развития механизмов анализа педагогика математики имеет несомненные достижения, то ее представителями даже не ставился вопрос о развитии механизмов синтеза. И это при том, что без напряженной работы последних невозможен прорыв на понятийный уровень мышления.
Работа механизмов понимания рождает активные взаимодействия разных логик, разных тактик внимания, разных направлений мыследеятельности. Их синергия приводит к рождению творческих продуктов.
Механизмы понимания и входящие в их состав механизмы синтеза широко и
стр. 40
--------------------------------------------------------------------------------
активно используют "допонятийные" формы мышления, являющиеся носителями эвристического потенциала, а значит - возможности проявления креативного начала. Без этого невозможно формирование теоретического уровня мышления [7]. И не в том ли одна из главных причин трудностей, испытываемых многими учащимися, что в обучении математике в малой степени используются и во всяком случае не получают должного развития "допонятийные" формы мышления, что встречается не так уж мало преподавателей, являющихся ревнителями жесткой ригидности и видящих образец обучения математике в процессе, ведущем к атрофии "правополушарных" механизмов?
Мышление - это процесс взаимодействий взаимно дополнительных, "полярно" действующих механизмов. И чем оно сложнее, тем активней эти взаимодействия. Сказанное в особой степени относится к характеру мышления, присущему математической деятельности, как научной, так и учебной. Чем тоньше и глубже предмет аналитической деятельности, тем больше она нуждается в активизации механизмов синтеза, и наоборот. Чем дальше заходит формализация, тем больше нужда в семантических средствах, и наоборот. Чем глубже исследование "синтагматического" плана, тем больше необходимость соотнесения, тесного увязывания его с планом "парадигматическим" (и наоборот). Чем более рациональный, "логический" характер имеет сложная форма умственной деятельности, тем в большей степени она нуждается во внерациональных средствах. Чем тоньше, сложнее объект интуитивных рассмотрений, тем острее выражена необходимость восхождения на теоретический уровень его исследования. В следовании этому видится естественный подход к формированию полнокровной системы развивающего обучения.
Традиционная педагогика математики слабо сообразуется с тем, что "природосообразный" процесс освоения понятия есть восхождение к нему от представлений, являющихся его истоком, что оно сопровождается преобразованиями тактик внимания, преображениями представлений, трансцендированиями. Традиционная педагогика математики ушла от проблемы разработки учебных средств, ведущих к трансцендированиям, от разработки таких организаций текстов, которые высвечивают "первомеханизмы" математической деятельности (а с ними - и ее "протосмыслы") и тем самым рождают прорывы к "сверхсмыслам". Эта проблема должна заставить педагогику математики, а значит, и психологию познания, распахнуть свои двери перед всем богатством культуры.
Невозможно не признать непреходящей ценности достижений традиционного подхода к обучению математике. Но, выросший из изначальной ориентации на репродуктивный способ обучения, он еще не преодолел ее наследия, и это ограничивает его возможности. Один из истоков его ограниченности - гипертрофия "методизма", проявляющаяся прежде всего в сосредоточении на отработке элементарных действий, рассматриваемых в отрыве от целостной учебной деятельности, компонентами которой они являются. Отсюда - ущемление возможностей полнокровного использования в методике обучения математике достижений психологии; та доходящая до тождественности близость предмета методики математики ее объекту, которая свидетельствует о преимущественно эмпирическом характере исследований в этой области.
Гипертрофия "методизма" проистекает из ориентации на неуклонность движения от простого к сложному, от частей к целому и приводит к утрате возможности полнокровного освоения целого. Утрирование рецептурного начала, его канонизация, догматизм - неизбежные ее следствия. Идиосинкразия к нестандартным
стр. 41
--------------------------------------------------------------------------------
ситуациям, страх перед сложным - весьма распространенные ее последствия. Все это не только не способствует развитию учебных действий, направленных на общее развитие мышления, но блокирует его.
Еще одним "родимым пятном" и истоком ограниченности традиционного подхода является воплощение в обучении гипертрофии в понимании места и роли формальной логики в учебной математической деятельности и недооценка эмпирической и "допонятийных" форм мышления.
Неоценимая заслуга Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова - в постановке задачи о формировании средств осуществления учебной деятельности, направленной на самоизменение учащегося как ее субъекта, т.е. на то, чтобы в процессе учения он был, говоря словами Пиаже, архитектором собственного интеллекта, в осознании важности и необходимости постановки цели формирования у учащихся теоретического уровня мышления и в разработке методов движения к этой цели, прежде всего - эвристического метода обучения, адекватного задаче "открытия" содержательного обобщения.
Однако умаление роли эмпирического мышления, его "допонятийных" форм ограничивает возможности развития, что не может не проявиться при обучении в старших классах, а тем более на вузовском уровне обучения математике. (Конечно, в обучении по этой системе такие формы мышления не могут не использоваться, но использование их лишь как эпифеноменов учебной деятельности явно недостаточно для полнокровной реализации развивающего потенциала, заложенного в этой системе).
Сказанное трудно не отнести и к реформе математического образования, осуществленной А. Н. Колмогоровым. Эта реформа произвела поистине геологический сдвиг в ментальности нашей педагогической общественности. Но при всех ее выдающихся теоретических и методических достижениях она не прошла. Причина этого видится прежде всего в умалении ее авторами места и роли допонятийных и эмпирических форм мышления в учебной математической деятельности, а в результате - в обеднении той содержательной, той деятельностной, той мыследеятельностной базы, на которой только и может происходить восхождение на теоретический уровень мышления.
Система развивающего обучения Л. В. Занкова не основывается на таких "категорических императивах", которые препятствовали бы реализации в ее рамках ряда средств, несомых системой Эльконина-Давыдова. Учебники математики по системе Занкова демонстрируют ее возможность воплощать в обучении некоторые ведущие принципы системы Эльконина-Давыдова.
Вместе с тем, система Занкова следует тому, что "нельзя быть в плену идеи о ведущей роли обучения в развитии. Взятая в абсолютном виде, она таит в себе возможность всевластия взрослого над ребенком, игнорирует роль внутренних закономерностей развития, предписывая их ребенку извне" [5, с. 52].
Важным отличием системы Занкова является "объединение в определенную функциональную систему таких способов действия, которые разнохарактерны по своей природе", ибо "образование систем, включающих разнохарактерные способы действия, является, по-видимому, важнейшей линией умственного развития" [6, с. 27 - 28].
Вопросам о развитии внепонятийных форм мышления посвящен ряд исследований как самого Л. В. Занкова, так и его последователей. Но нет среди них исследований, посвященных вопросам о месте и роли таких форм мышления в обучении математике. А это чревато нарушениями органики развития учащихся и, в частности, впадением в ту самую "великую иллюзию - веру в рациональную природу человеческого интеллекта" при разработ-
стр. 42
--------------------------------------------------------------------------------
ке и реализации методов обучения математике в средней школе, следующих принципам, заложенным в системе Занкова. И следование принципу ведущей роли теоретических знаний в таких условиях может превратиться в средство, способствующее этому. Не меньшую опасность несет и возведение в принцип метода прохождения материала быстрым темпом.
Строя новые системы обучения, явно исходят из провозглашаемых целей обучения, но обычно их построение основывается на средствах, изначально возводимых в ранг системообразующих принципов, и эти принципы провозглашаются как непреложные, как всеобщие, как категорические императивы. Тем самым строящиеся системы обрекаются на развитие в предзаданных рамках.
Претендуя на роли целостных систем обучения, выступая в этих ролях, системы Занкова и Эльконина-Давыдова предстают как несовместные. Эта несовместность усиливается, обостряется настаиванием приверженцев этих систем на всеобщности принципов, полагаемых в качестве их оснований.
Но не естественней ли в этих системах, представляющих выдающиеся достижения, прорывы в методах и средствах обучения, в принципах, на которых они основываются, в используемых ими средствах видеть взаимно дополнительные компоненты, аспекты долженствующей быть сформированной органичной, полнокровной и принципиально открытой системы развивающего обучения, способной к саморазвитию, сопровождающемуся наращиванием многомерности?
Такое видение несло бы и оправдание тех односторонностей в этих системах, о которых сказано выше, как усиливающих энергию разработки новых средств развивающего обучения, которые они несут.
В учебной математической деятельности, направляемой на приобщение к новому методу, к новой понятийной системе, должны участвовать поисковая деятельность, направленная на "открытие" метода, и поисковая деятельность, направленная на отыскание возможностей его применения к единичному и особенному и сопровождающаяся "открытиями" ситуативного характера. Ее развитие не может не сопровождаться столкновениями с тупиковыми ситуациями, преодолением стереотипов, рождаемых на стадии первичного применения метода в частных ситуациях, активизацией рефлексивной деятельности, более масштабной поисковой деятельностью, направленной на преодоление ограниченности метода. Так что не только "открытие" метода, но и его освоение нуждается в активной, разномасштабной и разнонаправленной поисково-исследовательской деятельности.
В учебной математической деятельности должны взаимодействовать диады взаимно дополнительных, "полярных" начал. И диада следование методу - поисковая деятельность, или, короче, - метод-поиск, является одной из тех немногих диад, которые должны играть в этой деятельности системообразующую, системопорождающую роль.
Если в обучении доминирует первый член этой диады, то не получает развитие поисковая деятельность. В результате обучение утрачивает развивающий характер и вырождается в догматическое, лишенное внутренней полилогичности. Если преобладает второй, то это приводит главным образом к развитию креативности "по горизонтали". Таков чаще всего встречающийся эффект "олимпиадной" подготовки, порождающий "техническую" изощренность, направляемую на развитие "по горизонтали", и не только не рождающий "споры" развития "по вертикали", восхождения по метауровневым ступеням и углубления в методологическую рефлексию, но формирующий стереотипы, препятствующие этому.
Лишь в том случае, когда они активно взаимодействуют как равно важные, как
стр. 43
--------------------------------------------------------------------------------
равно ценные и, что особенно существенно, как самоценные, поисковая деятельность будет работать на развитие внепонятийных форм мышления, а последние - на развитие поисковой деятельности. И только в этом случае взаимодействие компонентов диады метод-поиск будет продуктивным, несущим возможность полнокровного, развивающего обучения.
Органика функционирования рассматриваемой диады достигается, сохраняется и развивается благодаря посреднику между ее компонентами, в роли которого выступает учебная задача как "единство цели действия <важными компонентами которой являются развитие метакогнитивных механизмов, развитие ориентировки, а посредством этого - развитие стратегий поисково-исследовательской деятельности> и условий <и средств> ее достижения" [7, с. 157 - 160], что приводит к рождению триады метод - учебная задача - поиск.
В процессе овладения учащимися "открытым" ими новым понятием, новым методом деятельность триады, сопровождаемая активной работой механизмов анализа и "ближней" поисковой деятельностью, направляется на выстраивание новой системы, новых действий. Развитие поисковой деятельности в новых условиях, расширение ее масштабов, развитие координации действий (ведущей одновременно и к активизации работы механизмов синтеза, и к развитию дифференциации представлений и способов действия), развитие ориентировки - все это приводит к тому, что рождается содержательный синтез, или опыт овладения новым методом, а с ним - и произвольность действий.
При всей разноприродности, "полярности" компонентов диады метод-поиск учебная деятельность может быть построена так, чтобы их "противостояние" снималось. Это достигается постановкой и решением учебных задач, состоящих в "открытии" методов (как содержательных обобщений); осознанием роли методов как средств поисковой деятельности. Учебная деятельность должна быть построена так, чтобы поисковая деятельность направлялась на "открытие" и освоение методов и чтобы "открытые" методы служили средствами развития поисковой деятельности.
Но приведет ли только это к устранению широкого разброса в позициях по вопросам о содержании и методах обучения математике в общеобразовательной школе?
Наиболее распространены позиции "теоретиков" и "прикладников". Первые ориентируются на язык, стиль и содержание "чистой" математики (адаптированные применительно к общеобразовательной школе) и рассматривают математическую подготовку прежде всего как необходимый компонент общей культуры. Вторые рассматривают математическую подготовку прежде всего как средство решения практических задач. Поиски удовлетворительных вариантов обучения математике ведутся, как правило, на путях "разумных компромиссов".
"Прикладники" считают, что воспитательные цели преподавания математики достигаются подготовкой прикладной направленности. Они полагают, что математические концепции имеют естественнонаучное происхождение, и не устают подчеркивать, что история математики убедительно демонстрирует продуктивность обращения к этим ее истокам.
Более того, многие "прикладники" полагают, что математику следует рассматривать как одну из естественных наук. Тем самым они игнорируют то принципиально важное обстоятельство, что математика (а прежде всего ее классическая база) есть продукт Большого Опыта (по М. М. Бахтину), что математические исследования "генетически" привязаны к Большому Опыту и что уже поэтому место математики в системе наук особое.
Что же касается мнения о естественнонаучном происхождении математических
стр. 44
--------------------------------------------------------------------------------
концепций, то "...постановка задачи и возникновение потребности в образовании понятия не могут рассматриваться как причины этого процесса, ибо они в состоянии лишь пустить в ход процесс решения задачи, но не обеспечить его осуществление. Ссылка на цель как на действующую силу, играющую решающую роль в процессе образования понятий, так же мало объясняет нам реальные каузально-динамические и генетические отношения и связи, составляющие основу этого сложного процесса, как объяснение полета пушечного ядра из конечной цели, в которую попадает это ядро" [8, с. 133].
Фундаментальные математические концепции являются "отражениями", моделями не "внешнего мира", а способов его "отражения" (являющихся продуктами математической культуры), и в этом объяснение их универсальной приложимости.
Математические понятия, математические методы формируются и в прикладных рассмотрениях, но в них они фигурируют лишь как средства решения задач. В теоретических же рассмотрениях они становятся предметом изучения, а это представляет собой принципиально иной тип деятельности.
Признавая необходимость прикладной подготовки, важно вместе с тем памятовать о том, что ее одной недостаточно для воспитания той высокой интеллектуальной культуры, которую может дать основательное изучение "чистой" математики.
В стане "прикладников" нет единства. Они представлены главным образом "фундаменталистами" и "утилитаристами", позиции которых принципиально непримиримы. Ориентация обеих сторон на широкое использование компьютеров ведет к еще большему изъявлению их непримиримости.
"Фундаменталисты" считают, что прикладная подготовка невозможна без основательного овладения теоретической базой, что компьютеризация, приводя к возможности и необходимости изменения духа и структуры курса математики, отнюдь не приводит к его опрощению. Она требует усиления его концептуального плана, а значит, и более напряженной самостоятельной работы школьников.
"Утилитаристы" полагают, что курс математики должен научить приемам (алгоритмам) решения некоторых (прикладных) задач; что с улучшением программного обеспечения компьютеров, с совершенствованием обучающих программ необходимость напряженной самостоятельной работы при изучении математики будет все меньшей. Ни проблем формирования математических понятий, ни проблем обоснования математических методов для "утилитаристов" не существует. И они по-своему правы: ведь для того чтобы научиться пользоваться дубиной, совсем не обязательно изучать сопротивление материалов.
Те, кто принимают в качестве должного "утилитаристское" понимание целей, содержания и методов обучения математике, обретают полное основание заявить, что каждый человек, независимо от его образования и развития, способен на успешную деятельность в области математики.
Есть немало людей, считающих, что если "утилитаристский" подход к обучению математике и заслуживает внимания, то лишь как потенциальная опасность для дела образования и воспитания. Такая оценка - следствие незнания истинного положения дел: в отличие от общеобразовательных школ, учителя которых пока еще не свободны хотя бы от буквы официальных программ, в ряде вузов "утилитаристы" уже одержали убедительную победу. Избавившись от балласта профессионализма и общей культуры (а также от носителей этого балласта), они устремили свой свободный полет к зияющим высотам утилитаристской "науки".
Нет единства и в стане "теоретиков". Главной (но не единственной) линией
стр. 45
--------------------------------------------------------------------------------
расхождения является отношение к диаде нестрогие понятия - строгие понятия. Рассматриваемая "статично", вне связи с генезисом представлений, приведшим к формированию строгих понятий, вне связей с характером их функционирования и развития, она воспринимается как диада полярностей. Дух системы обучения математике, ее направленность, степень ее эффективности во многом определяются характером отношения к этой диаде. В соответствии с последним "теоретики" подразделяются на "популистов" и "пуристов".
Для первых обращение к строгим понятиям является лишь манерой изложения, и не более того, а изучение фактически ведется на интуитивном или полуинтуитивном уровне. Для вторых это лишь методический прием, и обучение направляется на изучение строгих понятий самих по себе, в отрыве от их истоков, от тех целей и задач, которые привели к их формированию. Предметом изучения в этом случае становятся по существу внутренние вопросы математики.
"Пуристский" подход к решению задач практического характера основывается на замене исследуемых объектов объектами иной природы - их (математическими) идеализациями, служащими их продуктивными моделями, но эта замена не осознается, не подвергается специальному рассмотрению сама идея моделирования, а значит, такая замена превращается в подмену, и "пуристский" подход к обучению превращается в "популистский".
Известная часть "пуристов" настроена достаточно либерально и готова идти на некоторое допущение в преподавании нестрогих рассуждений и нестрогих понятий, т.е. на более широкое использование подмен.
Поскольку нестрогие и строгие понятия взаимодействуют опосредствованным образом, поскольку вторые во взаимодействиях с первыми выступают, должны выступать как их модели, то естественно и продуктивно говорить не о диаде нестрогие понятия - строгие понятия, а о триаде нестрогие понятия - моделирование - строгие понятия. Проектирование полнокровной системы обучения математике невозможно без прояснения вопроса о том, каким должен быть характер функционирования этой триады.
При всей важности роли, которую должно играть в учебной математической деятельности обращение к диаде нестрогое понятие - строгое понятие, метод моделирования в этой деятельности используется, конечно же, не только применительно к понятиям. Поэтому естественно говорить о диаде более широкого вида: объект-модель, а значит, и о посреднике между ее компонентами - о моделировании. Таким образом, естественно говорить о триаде объект - моделирование - модель.
Рассматриваемые в единстве цель, условия и средства ее достижения как составляющие учебной деятельности образуют ядро второго компонента этой тройки и представляют собою учебную задачу.
Таким образом, учебная задача призвана играть роль посредствующего звена как во взаимодействии компонентов диады объект-модель, так и во взаимодействии компонентов диады метод-поиск. Отсюда вывод, настолько же очевидный, насколько и важный: учебная задача - это центральное звено учебной математической деятельности.
В том, что мышление есть процесс "непрерывно совершающегося обратимого перевода информации с собственно психологического языка пространственно-предметных структур..., т.е. языка образов, на психолингвистический, символически-операторный язык" [9, с. 134], язык знаков, трудно не усмотреть, что метод моделирования присущ самой природе мышления, что он рождается и развивается вместе с рождением и развитием "символически-операторных", знаковых средств.
стр. 46
--------------------------------------------------------------------------------
А. Н. Леонтьев показал, что принцип предметности является ядром психологической теории деятельности. Предмет - это то, на что направлено действие субъекта и что выделяется им из объекта в процессе его преобразования. Предмет выступает в качестве модели объекта. Таким образом, идея моделирования выражает само существо принципа предметности. Принцип предметности - это принцип моделирования.
Будучи используемыми в процессах формирования общих математических понятий и становясь предметом изучения, процессы моделирования становятся системообразующим началом в развертывании арсенала средств обучения математике. Более того, такие процессы становятся органичным системообразующим, системопорождающим началом, соответствующим самой природе математической деятельности.
Становясь предметом изучения, процессы моделирования способствуют усмотрению в математике области деятельности, ведающей развитием концептуального аппарата и "технических" средств моделирования.
Процессы моделирования в учебной математической деятельности, осуществляемые во всей своей целостности, не могут не сопрягаться с процессом функционирования триады метод - учебная задача - поиск. Более того, такие процессы вызывают функционирование множества других подобных триад и их взаимодействие. А значит, процессы моделирования способствуют развитию не отдельных качеств мышления в их изолированности, а органичному математическому и общему интеллектуальному развитию учащихся. В таких процессах находят свое важное место механизмы обучения, несомые системами Занкова и Эльконина-Давыдова.
Процессы моделирования способны играть стержневую, системопорождающую роль в учебной математической деятельности, ведущая цель которой - формирование и развитие поисково-исследовательских стратегий, а ведущее средство - формирование и развитие концептуального аппарата и "технических" средств математического моделирования.
Пронизыванием обучения математике идеей моделирования, активным функционированием триады нестрогое понятие - моделирование - строгое понятие, порождающим активное функционирование триады метод - учебная задача - поиск, а с ним - полисистемный характер обучения, характеризуется онтогенетический подход.
Непросто найти такое пособие для учителей, в котором рекомендуемые методы приобщения к строгим математическим понятиям не основывались бы на редукционистском, на механистическом их понимании, на убеждении, что понятия характеризуются единственно наборами признаков и что они должны осваиваться через манипулирование этими признаками. Однако уже первичные понятия математического анализа не выразимы сколь-нибудь естественно наборами признаков. Они представляют сложные целостности, не сводимые к более простым компонентам. Приобщение к этим понятиям посредством их строгих определений вызывает у учащихся немалые трудности, усугубляемые присущими им "неоправданно" большим объемом и "патологическими" случаями. Высокий уровень их логической сложности контрастирует с простотой формирования интуитивных представлений, являющихся истоками этих понятий. Путь к таким понятиям должен быть путем от целого к целому, от синкретичного целого к развитому целому. Онтогенетический подход позволяет органично воплощать такие пути.
Процесс формирования строгих общих понятий, следующий онтогенетическому подходу, состоит из пяти стадий:
1) формирование, использование и развитие интуитивных представлений, служащих прототипами, истоками понятий (непрерывности, предельного пере-
стр. 47
--------------------------------------------------------------------------------
хода, производной, и т.д.), подлежащих освоению;
2) осознание размытости этих представлений и необходимости их уточнения;
3) осуществление процесса уточнения представлений, приводящего к строгому понятию как средству решения задач, не решаемых на уровне представлений;
4) преображение сформированного понятия с помощью формально-логических средств, обретение им нового качества, новой природы; овладение преображенным понятием, раскрытие качественно новых возможностей, которые оно несет;
5) осознание того, что преображенное понятие есть продуктивная модель интуитивных представлений, послуживших ее истоком.
Если понятие, явившееся результатом уточнения исходных представлений, мыслится лишь в рамках исходных представлений, если при этом многое, с ними связанное, "имеется в виду", хоть и не оговаривается явно, а часто и не осознается, то применение формальной логики, способа мышления, который она навязывает, "очищает" понятие от всего неявного и превращает его в понятие существенно иной природы, в понятие "трансцендентального" характера по сравнению не только с исходными представлениями, но и с понятием, являющимся результатом их уточнения. И это преображенное понятие несет в себе качественно иные возможности, чем просто уточнение.
Формирование понятия является лишь началом его освоения, осуществляемого посредством его соотнесения как общего с многообразными формами единичного и особенного, пронизываемого формированием гибкой координации действий и активной работой поисковой деятельности, активной работы триады метод - учебная задача - поиск, порождающей активную работу триады объект - моделирование - модель.
Формирование строгого понятия, отправляющееся от размытых представлений, выступает как процесс "деконструкции" этих представлений, как процесс отделения способа действий от его "тела".
Будучи предметом исследования, он становится процессом "деконструкции" самого способа мышления, отделения этого способа мышления от его "тела", от тех способов действия, из которых он состоит, от тех тактик внимания, которые его направляют, от той конкретной цели, к которой он направлен. Так рождается "внутренний" метасистемный компонент системы обучения математике, деятельность которого направлена на постижение специфики математической деятельности, на постижение ее природы, ее методологии.
Он, в свою очередь, открывает возможность формирования "внешнего" метасистемного компонента, деятельность которого направляется на исследование связей с системами обучения другим предметам (не в последнюю очередь - родному и иностранным языкам), на раскрытие родства их методологий, единства законов их развития. И это открывает возможность превращения математического развития учащихся в их общее умственное развитие.
ЛИТЕРАТУРА
1. Холодная М. А. Психология интеллекта. СПб., 2002.
2. Бет Э. Размышления об организации и методе преподавания математики // Преподавание математики. М., 1960.
3. Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применения. М., 1960.
4. Автономовп. Н. С. Метафорика и понимание // Загадка человеческого понимания. М., 1991.
5. Развитие учащихся в процессе обучения / Под ред. Л. В. Занкова. М., 1963.
6. Занков Л. В. Избр. пед. труды. М., 1999.
7. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М., 1997.
8. Выготский Л. С. Собр. соч.: Т. 2. М., 1982.
9. Векнер Л. М. Психические процессы: Т. 2. Л., 1976.
стр. 48
Сказанное в полной мере относится к проблемам обучения математике. Освоение учебной математической деятельности невозможно без формирования и развития гибких, могущих радикально перестраиваться координации действий, без активизации и развития механизмов понимания и смыслопорождения, т.е. синтеза. Оно неосуществимо без активной и многонаправленной деятельности самого субъекта учения.
Превращение обучения математике в эффективное средство общего умственного развития учащихся невозможно без преодоления "великой иллюзии... - веры в рациональную природу человеческого интеллекта" [1, с. 51], без избавления от широко распространенного предрассудка, что это - обучение специфической "левополушарной" деятельности.
Вот чистое выражение такого понимания, принадлежащее перу известного логика Э. Бета: проблемы педагогики математики решаются "скорее с помощью логики, чем психологии", ибо роль обучения математике "состоит почти исключительно... в усвоении учащимися дедуктивного метода", а "формализация позволяет... обходиться... без привлечения нашего сознания к механизмам мышления" [2].
стр. 39
--------------------------------------------------------------------------------
"Предмет математики... состоит в доказательствах", - говорил Паскаль. "Со времен греков говорить "математика" - значит говорить "доказательство"", - таково мнение Бурбаки. Сказанное выражает чрезвычайно важную, характеристическую черту математики. Но буквалистское, одномерное понимание этого тезиса проистекает из вырывания его из контекста истории развития науки, из контекста реальной, живой математической деятельности. Такое понимание не может не порождать "левополушарный" пуризм и во взглядах на предмет и методы обучения математике. И не благодаря, а вопреки ему в учебниках математики для средней школы все еще присутствуют тени прикладных вопросов. Ведь с точки зрения пуристов, "математика и ее приложения суть два разных предмета, которые удобнее изучать отдельно" [3].
Что значит усвоить доказательство? Если под этим подразумевать способность проверить его правильность, т.е. то, действительно ли оно является доказательством утверждаемого, то обучение математике следует рассматривать только как усвоение законов формальной логики. Если же под усвоением доказательства имеется в виду и то, что выражается словом "понимание", то нам придется отступить от пуристской установки под натиском необходимости средств обучения, ею отвергаемых: "В процедуре понимания синтез преобладает над анализом (и при усвоении готового знания, и при открытии подлинно нового)..., процессуальность, динамичность - над теоретической систематикой..., схватывание целого - над процедурами упорядочения... Понимание никогда не происходит автоматически, на основе суммирования наличного материала... Понимание на высших своих уровнях - это деятельность теоретическая, деятельность связывания идей, установления отношений между ними, приведения их к целостному, системному виду...". Понимание - это "сложный механизм, который обеспечивает одновременно и примысливание-достраивание новых фактов к налично существующим, но недостаточным, и работу приведения к целостности наличных фактов совместно с примысленными-достроенными... Понимание выступает как идеепорождающая способность разумного человеческого мышления" [4].
Пуристская установка оказывается в безнадежно тяжелом положении при понимании обучения математике не только как обучения усвоению предлагаемых доказательств, но и как формирования способности к поиску доказательств, которое требует развития внелогических, внепонятийных форм мышления.
Формирование способности к поиску доказательств (но не засилье доказательств) должно быть компонентом всякой разумной системы обучения математике в средней общеобразовательной школе. А значит, необходимым средством обучения математике должно быть использование и развитие внепонятийных форм мышления. Последнее лее нуждается в использовании достижений психологии, и не только в прямых приложениях результатов психолого-педагогических исследований к проблемам педагогики математики, а в совместных исследованиях математиков и психологов.
Если в разработке средств развития механизмов анализа педагогика математики имеет несомненные достижения, то ее представителями даже не ставился вопрос о развитии механизмов синтеза. И это при том, что без напряженной работы последних невозможен прорыв на понятийный уровень мышления.
Работа механизмов понимания рождает активные взаимодействия разных логик, разных тактик внимания, разных направлений мыследеятельности. Их синергия приводит к рождению творческих продуктов.
Механизмы понимания и входящие в их состав механизмы синтеза широко и
стр. 40
--------------------------------------------------------------------------------
активно используют "допонятийные" формы мышления, являющиеся носителями эвристического потенциала, а значит - возможности проявления креативного начала. Без этого невозможно формирование теоретического уровня мышления [7]. И не в том ли одна из главных причин трудностей, испытываемых многими учащимися, что в обучении математике в малой степени используются и во всяком случае не получают должного развития "допонятийные" формы мышления, что встречается не так уж мало преподавателей, являющихся ревнителями жесткой ригидности и видящих образец обучения математике в процессе, ведущем к атрофии "правополушарных" механизмов?
Мышление - это процесс взаимодействий взаимно дополнительных, "полярно" действующих механизмов. И чем оно сложнее, тем активней эти взаимодействия. Сказанное в особой степени относится к характеру мышления, присущему математической деятельности, как научной, так и учебной. Чем тоньше и глубже предмет аналитической деятельности, тем больше она нуждается в активизации механизмов синтеза, и наоборот. Чем дальше заходит формализация, тем больше нужда в семантических средствах, и наоборот. Чем глубже исследование "синтагматического" плана, тем больше необходимость соотнесения, тесного увязывания его с планом "парадигматическим" (и наоборот). Чем более рациональный, "логический" характер имеет сложная форма умственной деятельности, тем в большей степени она нуждается во внерациональных средствах. Чем тоньше, сложнее объект интуитивных рассмотрений, тем острее выражена необходимость восхождения на теоретический уровень его исследования. В следовании этому видится естественный подход к формированию полнокровной системы развивающего обучения.
Традиционная педагогика математики слабо сообразуется с тем, что "природосообразный" процесс освоения понятия есть восхождение к нему от представлений, являющихся его истоком, что оно сопровождается преобразованиями тактик внимания, преображениями представлений, трансцендированиями. Традиционная педагогика математики ушла от проблемы разработки учебных средств, ведущих к трансцендированиям, от разработки таких организаций текстов, которые высвечивают "первомеханизмы" математической деятельности (а с ними - и ее "протосмыслы") и тем самым рождают прорывы к "сверхсмыслам". Эта проблема должна заставить педагогику математики, а значит, и психологию познания, распахнуть свои двери перед всем богатством культуры.
Невозможно не признать непреходящей ценности достижений традиционного подхода к обучению математике. Но, выросший из изначальной ориентации на репродуктивный способ обучения, он еще не преодолел ее наследия, и это ограничивает его возможности. Один из истоков его ограниченности - гипертрофия "методизма", проявляющаяся прежде всего в сосредоточении на отработке элементарных действий, рассматриваемых в отрыве от целостной учебной деятельности, компонентами которой они являются. Отсюда - ущемление возможностей полнокровного использования в методике обучения математике достижений психологии; та доходящая до тождественности близость предмета методики математики ее объекту, которая свидетельствует о преимущественно эмпирическом характере исследований в этой области.
Гипертрофия "методизма" проистекает из ориентации на неуклонность движения от простого к сложному, от частей к целому и приводит к утрате возможности полнокровного освоения целого. Утрирование рецептурного начала, его канонизация, догматизм - неизбежные ее следствия. Идиосинкразия к нестандартным
стр. 41
--------------------------------------------------------------------------------
ситуациям, страх перед сложным - весьма распространенные ее последствия. Все это не только не способствует развитию учебных действий, направленных на общее развитие мышления, но блокирует его.
Еще одним "родимым пятном" и истоком ограниченности традиционного подхода является воплощение в обучении гипертрофии в понимании места и роли формальной логики в учебной математической деятельности и недооценка эмпирической и "допонятийных" форм мышления.
Неоценимая заслуга Д. Б. Эльконина и В. В. Давыдова - в постановке задачи о формировании средств осуществления учебной деятельности, направленной на самоизменение учащегося как ее субъекта, т.е. на то, чтобы в процессе учения он был, говоря словами Пиаже, архитектором собственного интеллекта, в осознании важности и необходимости постановки цели формирования у учащихся теоретического уровня мышления и в разработке методов движения к этой цели, прежде всего - эвристического метода обучения, адекватного задаче "открытия" содержательного обобщения.
Однако умаление роли эмпирического мышления, его "допонятийных" форм ограничивает возможности развития, что не может не проявиться при обучении в старших классах, а тем более на вузовском уровне обучения математике. (Конечно, в обучении по этой системе такие формы мышления не могут не использоваться, но использование их лишь как эпифеноменов учебной деятельности явно недостаточно для полнокровной реализации развивающего потенциала, заложенного в этой системе).
Сказанное трудно не отнести и к реформе математического образования, осуществленной А. Н. Колмогоровым. Эта реформа произвела поистине геологический сдвиг в ментальности нашей педагогической общественности. Но при всех ее выдающихся теоретических и методических достижениях она не прошла. Причина этого видится прежде всего в умалении ее авторами места и роли допонятийных и эмпирических форм мышления в учебной математической деятельности, а в результате - в обеднении той содержательной, той деятельностной, той мыследеятельностной базы, на которой только и может происходить восхождение на теоретический уровень мышления.
Система развивающего обучения Л. В. Занкова не основывается на таких "категорических императивах", которые препятствовали бы реализации в ее рамках ряда средств, несомых системой Эльконина-Давыдова. Учебники математики по системе Занкова демонстрируют ее возможность воплощать в обучении некоторые ведущие принципы системы Эльконина-Давыдова.
Вместе с тем, система Занкова следует тому, что "нельзя быть в плену идеи о ведущей роли обучения в развитии. Взятая в абсолютном виде, она таит в себе возможность всевластия взрослого над ребенком, игнорирует роль внутренних закономерностей развития, предписывая их ребенку извне" [5, с. 52].
Важным отличием системы Занкова является "объединение в определенную функциональную систему таких способов действия, которые разнохарактерны по своей природе", ибо "образование систем, включающих разнохарактерные способы действия, является, по-видимому, важнейшей линией умственного развития" [6, с. 27 - 28].
Вопросам о развитии внепонятийных форм мышления посвящен ряд исследований как самого Л. В. Занкова, так и его последователей. Но нет среди них исследований, посвященных вопросам о месте и роли таких форм мышления в обучении математике. А это чревато нарушениями органики развития учащихся и, в частности, впадением в ту самую "великую иллюзию - веру в рациональную природу человеческого интеллекта" при разработ-
стр. 42
--------------------------------------------------------------------------------
ке и реализации методов обучения математике в средней школе, следующих принципам, заложенным в системе Занкова. И следование принципу ведущей роли теоретических знаний в таких условиях может превратиться в средство, способствующее этому. Не меньшую опасность несет и возведение в принцип метода прохождения материала быстрым темпом.
Строя новые системы обучения, явно исходят из провозглашаемых целей обучения, но обычно их построение основывается на средствах, изначально возводимых в ранг системообразующих принципов, и эти принципы провозглашаются как непреложные, как всеобщие, как категорические императивы. Тем самым строящиеся системы обрекаются на развитие в предзаданных рамках.
Претендуя на роли целостных систем обучения, выступая в этих ролях, системы Занкова и Эльконина-Давыдова предстают как несовместные. Эта несовместность усиливается, обостряется настаиванием приверженцев этих систем на всеобщности принципов, полагаемых в качестве их оснований.
Но не естественней ли в этих системах, представляющих выдающиеся достижения, прорывы в методах и средствах обучения, в принципах, на которых они основываются, в используемых ими средствах видеть взаимно дополнительные компоненты, аспекты долженствующей быть сформированной органичной, полнокровной и принципиально открытой системы развивающего обучения, способной к саморазвитию, сопровождающемуся наращиванием многомерности?
Такое видение несло бы и оправдание тех односторонностей в этих системах, о которых сказано выше, как усиливающих энергию разработки новых средств развивающего обучения, которые они несут.
В учебной математической деятельности, направляемой на приобщение к новому методу, к новой понятийной системе, должны участвовать поисковая деятельность, направленная на "открытие" метода, и поисковая деятельность, направленная на отыскание возможностей его применения к единичному и особенному и сопровождающаяся "открытиями" ситуативного характера. Ее развитие не может не сопровождаться столкновениями с тупиковыми ситуациями, преодолением стереотипов, рождаемых на стадии первичного применения метода в частных ситуациях, активизацией рефлексивной деятельности, более масштабной поисковой деятельностью, направленной на преодоление ограниченности метода. Так что не только "открытие" метода, но и его освоение нуждается в активной, разномасштабной и разнонаправленной поисково-исследовательской деятельности.
В учебной математической деятельности должны взаимодействовать диады взаимно дополнительных, "полярных" начал. И диада следование методу - поисковая деятельность, или, короче, - метод-поиск, является одной из тех немногих диад, которые должны играть в этой деятельности системообразующую, системопорождающую роль.
Если в обучении доминирует первый член этой диады, то не получает развитие поисковая деятельность. В результате обучение утрачивает развивающий характер и вырождается в догматическое, лишенное внутренней полилогичности. Если преобладает второй, то это приводит главным образом к развитию креативности "по горизонтали". Таков чаще всего встречающийся эффект "олимпиадной" подготовки, порождающий "техническую" изощренность, направляемую на развитие "по горизонтали", и не только не рождающий "споры" развития "по вертикали", восхождения по метауровневым ступеням и углубления в методологическую рефлексию, но формирующий стереотипы, препятствующие этому.
Лишь в том случае, когда они активно взаимодействуют как равно важные, как
стр. 43
--------------------------------------------------------------------------------
равно ценные и, что особенно существенно, как самоценные, поисковая деятельность будет работать на развитие внепонятийных форм мышления, а последние - на развитие поисковой деятельности. И только в этом случае взаимодействие компонентов диады метод-поиск будет продуктивным, несущим возможность полнокровного, развивающего обучения.
Органика функционирования рассматриваемой диады достигается, сохраняется и развивается благодаря посреднику между ее компонентами, в роли которого выступает учебная задача как "единство цели действия <важными компонентами которой являются развитие метакогнитивных механизмов, развитие ориентировки, а посредством этого - развитие стратегий поисково-исследовательской деятельности> и условий <и средств> ее достижения" [7, с. 157 - 160], что приводит к рождению триады метод - учебная задача - поиск.
В процессе овладения учащимися "открытым" ими новым понятием, новым методом деятельность триады, сопровождаемая активной работой механизмов анализа и "ближней" поисковой деятельностью, направляется на выстраивание новой системы, новых действий. Развитие поисковой деятельности в новых условиях, расширение ее масштабов, развитие координации действий (ведущей одновременно и к активизации работы механизмов синтеза, и к развитию дифференциации представлений и способов действия), развитие ориентировки - все это приводит к тому, что рождается содержательный синтез, или опыт овладения новым методом, а с ним - и произвольность действий.
При всей разноприродности, "полярности" компонентов диады метод-поиск учебная деятельность может быть построена так, чтобы их "противостояние" снималось. Это достигается постановкой и решением учебных задач, состоящих в "открытии" методов (как содержательных обобщений); осознанием роли методов как средств поисковой деятельности. Учебная деятельность должна быть построена так, чтобы поисковая деятельность направлялась на "открытие" и освоение методов и чтобы "открытые" методы служили средствами развития поисковой деятельности.
Но приведет ли только это к устранению широкого разброса в позициях по вопросам о содержании и методах обучения математике в общеобразовательной школе?
Наиболее распространены позиции "теоретиков" и "прикладников". Первые ориентируются на язык, стиль и содержание "чистой" математики (адаптированные применительно к общеобразовательной школе) и рассматривают математическую подготовку прежде всего как необходимый компонент общей культуры. Вторые рассматривают математическую подготовку прежде всего как средство решения практических задач. Поиски удовлетворительных вариантов обучения математике ведутся, как правило, на путях "разумных компромиссов".
"Прикладники" считают, что воспитательные цели преподавания математики достигаются подготовкой прикладной направленности. Они полагают, что математические концепции имеют естественнонаучное происхождение, и не устают подчеркивать, что история математики убедительно демонстрирует продуктивность обращения к этим ее истокам.
Более того, многие "прикладники" полагают, что математику следует рассматривать как одну из естественных наук. Тем самым они игнорируют то принципиально важное обстоятельство, что математика (а прежде всего ее классическая база) есть продукт Большого Опыта (по М. М. Бахтину), что математические исследования "генетически" привязаны к Большому Опыту и что уже поэтому место математики в системе наук особое.
Что же касается мнения о естественнонаучном происхождении математических
стр. 44
--------------------------------------------------------------------------------
концепций, то "...постановка задачи и возникновение потребности в образовании понятия не могут рассматриваться как причины этого процесса, ибо они в состоянии лишь пустить в ход процесс решения задачи, но не обеспечить его осуществление. Ссылка на цель как на действующую силу, играющую решающую роль в процессе образования понятий, так же мало объясняет нам реальные каузально-динамические и генетические отношения и связи, составляющие основу этого сложного процесса, как объяснение полета пушечного ядра из конечной цели, в которую попадает это ядро" [8, с. 133].
Фундаментальные математические концепции являются "отражениями", моделями не "внешнего мира", а способов его "отражения" (являющихся продуктами математической культуры), и в этом объяснение их универсальной приложимости.
Математические понятия, математические методы формируются и в прикладных рассмотрениях, но в них они фигурируют лишь как средства решения задач. В теоретических же рассмотрениях они становятся предметом изучения, а это представляет собой принципиально иной тип деятельности.
Признавая необходимость прикладной подготовки, важно вместе с тем памятовать о том, что ее одной недостаточно для воспитания той высокой интеллектуальной культуры, которую может дать основательное изучение "чистой" математики.
В стане "прикладников" нет единства. Они представлены главным образом "фундаменталистами" и "утилитаристами", позиции которых принципиально непримиримы. Ориентация обеих сторон на широкое использование компьютеров ведет к еще большему изъявлению их непримиримости.
"Фундаменталисты" считают, что прикладная подготовка невозможна без основательного овладения теоретической базой, что компьютеризация, приводя к возможности и необходимости изменения духа и структуры курса математики, отнюдь не приводит к его опрощению. Она требует усиления его концептуального плана, а значит, и более напряженной самостоятельной работы школьников.
"Утилитаристы" полагают, что курс математики должен научить приемам (алгоритмам) решения некоторых (прикладных) задач; что с улучшением программного обеспечения компьютеров, с совершенствованием обучающих программ необходимость напряженной самостоятельной работы при изучении математики будет все меньшей. Ни проблем формирования математических понятий, ни проблем обоснования математических методов для "утилитаристов" не существует. И они по-своему правы: ведь для того чтобы научиться пользоваться дубиной, совсем не обязательно изучать сопротивление материалов.
Те, кто принимают в качестве должного "утилитаристское" понимание целей, содержания и методов обучения математике, обретают полное основание заявить, что каждый человек, независимо от его образования и развития, способен на успешную деятельность в области математики.
Есть немало людей, считающих, что если "утилитаристский" подход к обучению математике и заслуживает внимания, то лишь как потенциальная опасность для дела образования и воспитания. Такая оценка - следствие незнания истинного положения дел: в отличие от общеобразовательных школ, учителя которых пока еще не свободны хотя бы от буквы официальных программ, в ряде вузов "утилитаристы" уже одержали убедительную победу. Избавившись от балласта профессионализма и общей культуры (а также от носителей этого балласта), они устремили свой свободный полет к зияющим высотам утилитаристской "науки".
Нет единства и в стане "теоретиков". Главной (но не единственной) линией
стр. 45
--------------------------------------------------------------------------------
расхождения является отношение к диаде нестрогие понятия - строгие понятия. Рассматриваемая "статично", вне связи с генезисом представлений, приведшим к формированию строгих понятий, вне связей с характером их функционирования и развития, она воспринимается как диада полярностей. Дух системы обучения математике, ее направленность, степень ее эффективности во многом определяются характером отношения к этой диаде. В соответствии с последним "теоретики" подразделяются на "популистов" и "пуристов".
Для первых обращение к строгим понятиям является лишь манерой изложения, и не более того, а изучение фактически ведется на интуитивном или полуинтуитивном уровне. Для вторых это лишь методический прием, и обучение направляется на изучение строгих понятий самих по себе, в отрыве от их истоков, от тех целей и задач, которые привели к их формированию. Предметом изучения в этом случае становятся по существу внутренние вопросы математики.
"Пуристский" подход к решению задач практического характера основывается на замене исследуемых объектов объектами иной природы - их (математическими) идеализациями, служащими их продуктивными моделями, но эта замена не осознается, не подвергается специальному рассмотрению сама идея моделирования, а значит, такая замена превращается в подмену, и "пуристский" подход к обучению превращается в "популистский".
Известная часть "пуристов" настроена достаточно либерально и готова идти на некоторое допущение в преподавании нестрогих рассуждений и нестрогих понятий, т.е. на более широкое использование подмен.
Поскольку нестрогие и строгие понятия взаимодействуют опосредствованным образом, поскольку вторые во взаимодействиях с первыми выступают, должны выступать как их модели, то естественно и продуктивно говорить не о диаде нестрогие понятия - строгие понятия, а о триаде нестрогие понятия - моделирование - строгие понятия. Проектирование полнокровной системы обучения математике невозможно без прояснения вопроса о том, каким должен быть характер функционирования этой триады.
При всей важности роли, которую должно играть в учебной математической деятельности обращение к диаде нестрогое понятие - строгое понятие, метод моделирования в этой деятельности используется, конечно же, не только применительно к понятиям. Поэтому естественно говорить о диаде более широкого вида: объект-модель, а значит, и о посреднике между ее компонентами - о моделировании. Таким образом, естественно говорить о триаде объект - моделирование - модель.
Рассматриваемые в единстве цель, условия и средства ее достижения как составляющие учебной деятельности образуют ядро второго компонента этой тройки и представляют собою учебную задачу.
Таким образом, учебная задача призвана играть роль посредствующего звена как во взаимодействии компонентов диады объект-модель, так и во взаимодействии компонентов диады метод-поиск. Отсюда вывод, настолько же очевидный, насколько и важный: учебная задача - это центральное звено учебной математической деятельности.
В том, что мышление есть процесс "непрерывно совершающегося обратимого перевода информации с собственно психологического языка пространственно-предметных структур..., т.е. языка образов, на психолингвистический, символически-операторный язык" [9, с. 134], язык знаков, трудно не усмотреть, что метод моделирования присущ самой природе мышления, что он рождается и развивается вместе с рождением и развитием "символически-операторных", знаковых средств.
стр. 46
--------------------------------------------------------------------------------
А. Н. Леонтьев показал, что принцип предметности является ядром психологической теории деятельности. Предмет - это то, на что направлено действие субъекта и что выделяется им из объекта в процессе его преобразования. Предмет выступает в качестве модели объекта. Таким образом, идея моделирования выражает само существо принципа предметности. Принцип предметности - это принцип моделирования.
Будучи используемыми в процессах формирования общих математических понятий и становясь предметом изучения, процессы моделирования становятся системообразующим началом в развертывании арсенала средств обучения математике. Более того, такие процессы становятся органичным системообразующим, системопорождающим началом, соответствующим самой природе математической деятельности.
Становясь предметом изучения, процессы моделирования способствуют усмотрению в математике области деятельности, ведающей развитием концептуального аппарата и "технических" средств моделирования.
Процессы моделирования в учебной математической деятельности, осуществляемые во всей своей целостности, не могут не сопрягаться с процессом функционирования триады метод - учебная задача - поиск. Более того, такие процессы вызывают функционирование множества других подобных триад и их взаимодействие. А значит, процессы моделирования способствуют развитию не отдельных качеств мышления в их изолированности, а органичному математическому и общему интеллектуальному развитию учащихся. В таких процессах находят свое важное место механизмы обучения, несомые системами Занкова и Эльконина-Давыдова.
Процессы моделирования способны играть стержневую, системопорождающую роль в учебной математической деятельности, ведущая цель которой - формирование и развитие поисково-исследовательских стратегий, а ведущее средство - формирование и развитие концептуального аппарата и "технических" средств математического моделирования.
Пронизыванием обучения математике идеей моделирования, активным функционированием триады нестрогое понятие - моделирование - строгое понятие, порождающим активное функционирование триады метод - учебная задача - поиск, а с ним - полисистемный характер обучения, характеризуется онтогенетический подход.
Непросто найти такое пособие для учителей, в котором рекомендуемые методы приобщения к строгим математическим понятиям не основывались бы на редукционистском, на механистическом их понимании, на убеждении, что понятия характеризуются единственно наборами признаков и что они должны осваиваться через манипулирование этими признаками. Однако уже первичные понятия математического анализа не выразимы сколь-нибудь естественно наборами признаков. Они представляют сложные целостности, не сводимые к более простым компонентам. Приобщение к этим понятиям посредством их строгих определений вызывает у учащихся немалые трудности, усугубляемые присущими им "неоправданно" большим объемом и "патологическими" случаями. Высокий уровень их логической сложности контрастирует с простотой формирования интуитивных представлений, являющихся истоками этих понятий. Путь к таким понятиям должен быть путем от целого к целому, от синкретичного целого к развитому целому. Онтогенетический подход позволяет органично воплощать такие пути.
Процесс формирования строгих общих понятий, следующий онтогенетическому подходу, состоит из пяти стадий:
1) формирование, использование и развитие интуитивных представлений, служащих прототипами, истоками понятий (непрерывности, предельного пере-
стр. 47
--------------------------------------------------------------------------------
хода, производной, и т.д.), подлежащих освоению;
2) осознание размытости этих представлений и необходимости их уточнения;
3) осуществление процесса уточнения представлений, приводящего к строгому понятию как средству решения задач, не решаемых на уровне представлений;
4) преображение сформированного понятия с помощью формально-логических средств, обретение им нового качества, новой природы; овладение преображенным понятием, раскрытие качественно новых возможностей, которые оно несет;
5) осознание того, что преображенное понятие есть продуктивная модель интуитивных представлений, послуживших ее истоком.
Если понятие, явившееся результатом уточнения исходных представлений, мыслится лишь в рамках исходных представлений, если при этом многое, с ними связанное, "имеется в виду", хоть и не оговаривается явно, а часто и не осознается, то применение формальной логики, способа мышления, который она навязывает, "очищает" понятие от всего неявного и превращает его в понятие существенно иной природы, в понятие "трансцендентального" характера по сравнению не только с исходными представлениями, но и с понятием, являющимся результатом их уточнения. И это преображенное понятие несет в себе качественно иные возможности, чем просто уточнение.
Формирование понятия является лишь началом его освоения, осуществляемого посредством его соотнесения как общего с многообразными формами единичного и особенного, пронизываемого формированием гибкой координации действий и активной работой поисковой деятельности, активной работы триады метод - учебная задача - поиск, порождающей активную работу триады объект - моделирование - модель.
Формирование строгого понятия, отправляющееся от размытых представлений, выступает как процесс "деконструкции" этих представлений, как процесс отделения способа действий от его "тела".
Будучи предметом исследования, он становится процессом "деконструкции" самого способа мышления, отделения этого способа мышления от его "тела", от тех способов действия, из которых он состоит, от тех тактик внимания, которые его направляют, от той конкретной цели, к которой он направлен. Так рождается "внутренний" метасистемный компонент системы обучения математике, деятельность которого направлена на постижение специфики математической деятельности, на постижение ее природы, ее методологии.
Он, в свою очередь, открывает возможность формирования "внешнего" метасистемного компонента, деятельность которого направляется на исследование связей с системами обучения другим предметам (не в последнюю очередь - родному и иностранным языкам), на раскрытие родства их методологий, единства законов их развития. И это открывает возможность превращения математического развития учащихся в их общее умственное развитие.
ЛИТЕРАТУРА
1. Холодная М. А. Психология интеллекта. СПб., 2002.
2. Бет Э. Размышления об организации и методе преподавания математики // Преподавание математики. М., 1960.
3. Ван Хао. Процесс и существование в математике // Математическая логика и ее применения. М., 1960.
4. Автономовп. Н. С. Метафорика и понимание // Загадка человеческого понимания. М., 1991.
5. Развитие учащихся в процессе обучения / Под ред. Л. В. Занкова. М., 1963.
6. Занков Л. В. Избр. пед. труды. М., 1999.
7. Давыдов В. В. Теория развивающего обучения. М., 1997.
8. Выготский Л. С. Собр. соч.: Т. 2. М., 1982.
9. Векнер Л. М. Психические процессы: Т. 2. Л., 1976.
стр. 48
Опубликовано 01 ноября 2007 года
Новые статьи на library.by:
ПЕДАГОГИКА ШКОЛЬНАЯ:
Комментируем публикацию: О ВЕДУЩИХ ПЛАНАХ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
подняться наверх ↑
ССЫЛКИ ДЛЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ
По стандарту ВАК Республики Беларусь
Стандарт используется в белорусских учебных заведениях различного типа.
По ГОСТу Российской Федерации
Для образовательных и научно-исследовательских учреждений РФ
Прямой URL на данную страницу для блога или сайта
Предполагаемый источник
Полностью готовые для научного цитирования ссылки. Вставьте их в статью, исследование, реферат, курсой или дипломный проект, чтобы сослаться на данную публикацию №1193922188 в базе LIBRARY.BY.
подняться наверх ↑
ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!
подняться наверх ↑
ОБРАТНО В РУБРИКУ?
Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.
Добавить статью
Обнародовать свои произведения
Редактировать работы
Для действующих авторов
Зарегистрироваться
Доступ к модулю публикаций