ПЕДАГОГИКА ШКОЛЬНАЯ (последнее)
О ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
Актуальные публикации по вопросам школьной педагогики.
Современная образовательная парадигма ориентирована на активизацию познавательной деятельности учащихся, установление субъектно-субъектных отношений между учителями и учащимися, применение проблемно-поисковых методов обучения. На фоне таких приоритетов непонятно отсутствие должного внимания в дидактике математики к исследованию интуиции как эвристическому средству. Наше изучение практики обучения математике показало довольно существенное ее влияние как на познавательную деятельность учащихся, так и на процесс обучения вообще.
Например, в течение многих лет мы наблюдаем, что формирование представлений о понятиях не зависит ни от учебников, ни от всевозможных методик их введения. При любой формулировке определения понятия функции окончательное представление о ней ассоциируется у учащихся со словом "зависимость"; вектор, как бы его ни определяли, остается в их памяти как направленный отрезок и т.п. Попытки радикального отхода при изложении школьного курса геометрии от логики учебника А. П. Киселева не приводят к заметному успеху. В мышлении учащихся формируются одни и те же формулы, методы, приемы решения задач и математических рассуждений.
Дело, по нашему мнению, в том, что снижается, если не сказать игнорируется, роль учащегося как полноправного субъекта учебного процесса. Господствует несколько прямолинейный подход, когда заведомо доминирующее положение отводится преподавателю и автору той или иной методики, когда учебный процесс представляется как усвоение всего того, что сказал учитель, и причем только в том виде, в каком он это сделал. Реальный же процесс обучения показывает несколько иную, более сложную картину. Оказывается, есть определенные явления в процессе усвоения новых знаний и их закрепления в памяти, которые не зависят ни от методических кредо авторов, ни от логики изложения материала. Мы думаем, что эти моменты необходимо должным образом изучить, их влиянию, если нужно, подчиниться, потому что они зависят от субъективного опыта самих учащихся, от организации их познавательной деятельности и возникают объективно.
Любое формирование представлений о понятиях проходит следующие основные этапы: 1) эмпирическое ознакомление; 2) формулировка определения; 3) применение в репродуктивной деятельности; 4) применение в творческой деятельности. Из всех перечисленных этапов самое продолжительное влияние на учащегося оказывает последний. А в творческой деятельности учащихся решающее значение имеют интуитивные способы рассуждений, и поэтому вполне естественно, что представления о понятиях формируются в виде, удобном и востребованном именно для таких способов рассуждений.
Интуиция учащихся, отражая целостно объект изучения, как бы в свободной конкуренции актуализирует те свойства, которые более всего приемлемы для ее потребностей, тогда как логика выделяет только характеристические свойства, из которых логически следуют другие. Произвольный выбор этих характеристических свойств, вне зависимости от их востребованности интуицией, и привел, по нашему мнению, к известным негативным последствиям.
Экспериментальная проверка этих выводов показала, что формирование представлений о математических понятиях не подчиняется разнообразным оригинальным определениям, если их формулировки не идут в направлении, в кото-
стр. 116
--------------------------------------------------------------------------------
ром они способствуют эффективному функционированию интуитивных рассуждений. Действительно, как может, например, остаться в памяти определение логарифмической функции как обратной к показательной или как функции, вводимой посредством (!) интеграла, если она постоянно в процессе решения задач применялась только как функция, значения которой вычисляются по определению логарифма?
В процессе формирования представлений о понятиях вызывает научный интерес изучение тех из них, которые возникают в сознании учащихся, когда они не знают определения или оно уже забыто. Имеются в виду именно те понятия, с которыми они постоянно работают (функции, тождества, вектора и т.д.). Традиционно объектом внимания учителя являются правильные ответы, ошибочные рассуждения учащихся уходят из поля его зрения. Правильные ответы приносят известное удовлетворение учителю, но они прогнозируемы и ничего нового для методического совершенствования не дают. Для учителя более важен вопрос: если ученик не знает точного определения понятия, но не допускает ошибок в математических рассуждениях с этим понятием, то каким представлением он оперирует в этом случае?
Рассмотрим с этой позиции строгий и детальный анализ методики введения понятия вектора, который дал академик А. Д. Александров. По поводу определения понятия вектора в учебниках А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др., как направленного отрезка он пишет следующее: "Можно сказать, что направленные отрезки называют векторами, но определять вектор как направленный отрезок, т.е. "данный вектор - это данный направленный отрезок", неправильно... Вектором в геометрии называется направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до выбора его начала..." (См.: Математика в школе. 1984. N 5).
Другой момент, который подвергается критике в учебнике А. В. Погорелова, заключается в том, что сумма векторов определяется через координаты, что фактически означает, что речь идет о свободных векторах. И тем самым это ее определение не согласуется с определением вектора как данного направленного отрезка и т.д.
Мы обратились к самим учащимся с целью выяснения того, насколько негативно влияют на них указанные недостатки. Во-первых, ни ученики, ни многие учителя просто не обращали внимания на эти математические недочеты. Во-вторых, в итоге изучения всей темы учащиеся умели оперировать понятием вектора и имели правильное представление о нем как направленном отрезке, рассматриваемом с точностью до выбора его начала. Причем то, что вектор - это направленный отрезок, осознавалось ими явно и четко, а вот условие "с точностью до выбора его начала" в их понимании присутствовало несколько неосознанно. В этом нас убеждает тот факт, что в применении вектора в процессе решения задач именно как свободного вектора они не допускали искажений. Хотя учащиеся, вообще говоря, имели определенные затруднения при решении задач векторным методом (например, при использовании понятия скалярного произведения или при поиске необходимых для решения конкретной задачи сумм или разностей векторов).
Однако при этом учащиеся вектором называли все-таки конкретный направленный отрезок, т.е. допускали ошибку, о которой говорилось в приведенной цитате А. Д. Александрова. Если же им явно объяснять условие "рассматриваемый с точностью до выбора его начала", то учащиеся только запутываются. Таким образом, вырисовывается несколько странная картина: учащиеся выбирают путь усвоения понятия свободного вектора по неточному определению, но дополняют его до точного понимания интуитивно.
стр. 117
--------------------------------------------------------------------------------
Видимо, логические "огрехи" и "пустоты" восполняются интуицией и усвоение рационализируется ею, она выступает в некотором смысле как некая защита от трудных для понимания логических взаимосвязей и неудачных с методической точки зрения разделов учебников.
Подводя итоги, мы хотели бы отметить, что рассмотренные явления наблюдаются также и в процессе окончательного формирования математических предложений, формул, математических методов и методов умозаключений в сознании учащихся. Другими словами, влияние интуиции является одним из важных факторов в организации их познавательной деятельности.
Например, в течение многих лет мы наблюдаем, что формирование представлений о понятиях не зависит ни от учебников, ни от всевозможных методик их введения. При любой формулировке определения понятия функции окончательное представление о ней ассоциируется у учащихся со словом "зависимость"; вектор, как бы его ни определяли, остается в их памяти как направленный отрезок и т.п. Попытки радикального отхода при изложении школьного курса геометрии от логики учебника А. П. Киселева не приводят к заметному успеху. В мышлении учащихся формируются одни и те же формулы, методы, приемы решения задач и математических рассуждений.
Дело, по нашему мнению, в том, что снижается, если не сказать игнорируется, роль учащегося как полноправного субъекта учебного процесса. Господствует несколько прямолинейный подход, когда заведомо доминирующее положение отводится преподавателю и автору той или иной методики, когда учебный процесс представляется как усвоение всего того, что сказал учитель, и причем только в том виде, в каком он это сделал. Реальный же процесс обучения показывает несколько иную, более сложную картину. Оказывается, есть определенные явления в процессе усвоения новых знаний и их закрепления в памяти, которые не зависят ни от методических кредо авторов, ни от логики изложения материала. Мы думаем, что эти моменты необходимо должным образом изучить, их влиянию, если нужно, подчиниться, потому что они зависят от субъективного опыта самих учащихся, от организации их познавательной деятельности и возникают объективно.
Любое формирование представлений о понятиях проходит следующие основные этапы: 1) эмпирическое ознакомление; 2) формулировка определения; 3) применение в репродуктивной деятельности; 4) применение в творческой деятельности. Из всех перечисленных этапов самое продолжительное влияние на учащегося оказывает последний. А в творческой деятельности учащихся решающее значение имеют интуитивные способы рассуждений, и поэтому вполне естественно, что представления о понятиях формируются в виде, удобном и востребованном именно для таких способов рассуждений.
Интуиция учащихся, отражая целостно объект изучения, как бы в свободной конкуренции актуализирует те свойства, которые более всего приемлемы для ее потребностей, тогда как логика выделяет только характеристические свойства, из которых логически следуют другие. Произвольный выбор этих характеристических свойств, вне зависимости от их востребованности интуицией, и привел, по нашему мнению, к известным негативным последствиям.
Экспериментальная проверка этих выводов показала, что формирование представлений о математических понятиях не подчиняется разнообразным оригинальным определениям, если их формулировки не идут в направлении, в кото-
стр. 116
--------------------------------------------------------------------------------
ром они способствуют эффективному функционированию интуитивных рассуждений. Действительно, как может, например, остаться в памяти определение логарифмической функции как обратной к показательной или как функции, вводимой посредством (!) интеграла, если она постоянно в процессе решения задач применялась только как функция, значения которой вычисляются по определению логарифма?
В процессе формирования представлений о понятиях вызывает научный интерес изучение тех из них, которые возникают в сознании учащихся, когда они не знают определения или оно уже забыто. Имеются в виду именно те понятия, с которыми они постоянно работают (функции, тождества, вектора и т.д.). Традиционно объектом внимания учителя являются правильные ответы, ошибочные рассуждения учащихся уходят из поля его зрения. Правильные ответы приносят известное удовлетворение учителю, но они прогнозируемы и ничего нового для методического совершенствования не дают. Для учителя более важен вопрос: если ученик не знает точного определения понятия, но не допускает ошибок в математических рассуждениях с этим понятием, то каким представлением он оперирует в этом случае?
Рассмотрим с этой позиции строгий и детальный анализ методики введения понятия вектора, который дал академик А. Д. Александров. По поводу определения понятия вектора в учебниках А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др., как направленного отрезка он пишет следующее: "Можно сказать, что направленные отрезки называют векторами, но определять вектор как направленный отрезок, т.е. "данный вектор - это данный направленный отрезок", неправильно... Вектором в геометрии называется направленный отрезок, рассматриваемый с точностью до выбора его начала..." (См.: Математика в школе. 1984. N 5).
Другой момент, который подвергается критике в учебнике А. В. Погорелова, заключается в том, что сумма векторов определяется через координаты, что фактически означает, что речь идет о свободных векторах. И тем самым это ее определение не согласуется с определением вектора как данного направленного отрезка и т.д.
Мы обратились к самим учащимся с целью выяснения того, насколько негативно влияют на них указанные недостатки. Во-первых, ни ученики, ни многие учителя просто не обращали внимания на эти математические недочеты. Во-вторых, в итоге изучения всей темы учащиеся умели оперировать понятием вектора и имели правильное представление о нем как направленном отрезке, рассматриваемом с точностью до выбора его начала. Причем то, что вектор - это направленный отрезок, осознавалось ими явно и четко, а вот условие "с точностью до выбора его начала" в их понимании присутствовало несколько неосознанно. В этом нас убеждает тот факт, что в применении вектора в процессе решения задач именно как свободного вектора они не допускали искажений. Хотя учащиеся, вообще говоря, имели определенные затруднения при решении задач векторным методом (например, при использовании понятия скалярного произведения или при поиске необходимых для решения конкретной задачи сумм или разностей векторов).
Однако при этом учащиеся вектором называли все-таки конкретный направленный отрезок, т.е. допускали ошибку, о которой говорилось в приведенной цитате А. Д. Александрова. Если же им явно объяснять условие "рассматриваемый с точностью до выбора его начала", то учащиеся только запутываются. Таким образом, вырисовывается несколько странная картина: учащиеся выбирают путь усвоения понятия свободного вектора по неточному определению, но дополняют его до точного понимания интуитивно.
стр. 117
--------------------------------------------------------------------------------
Видимо, логические "огрехи" и "пустоты" восполняются интуицией и усвоение рационализируется ею, она выступает в некотором смысле как некая защита от трудных для понимания логических взаимосвязей и неудачных с методической точки зрения разделов учебников.
Подводя итоги, мы хотели бы отметить, что рассмотренные явления наблюдаются также и в процессе окончательного формирования математических предложений, формул, математических методов и методов умозаключений в сознании учащихся. Другими словами, влияние интуиции является одним из важных факторов в организации их познавательной деятельности.
Опубликовано 01 ноября 2007 года
Новые статьи на library.by:
ПЕДАГОГИКА ШКОЛЬНАЯ:
Комментируем публикацию: О ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ
подняться наверх ↑
ССЫЛКИ ДЛЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ
По стандарту ВАК Республики Беларусь
Стандарт используется в белорусских учебных заведениях различного типа.
По ГОСТу Российской Федерации
Для образовательных и научно-исследовательских учреждений РФ
Прямой URL на данную страницу для блога или сайта
Предполагаемый источник
Полностью готовые для научного цитирования ссылки. Вставьте их в статью, исследование, реферат, курсой или дипломный проект, чтобы сослаться на данную публикацию №1193921931 в базе LIBRARY.BY.
подняться наверх ↑
ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!
подняться наверх ↑
ОБРАТНО В РУБРИКУ?
Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.
Добавить статью
Обнародовать свои произведения
Редактировать работы
Для действующих авторов
Зарегистрироваться
Доступ к модулю публикаций