ПЕДАГОГИКА ШКОЛЬНАЯ (последнее)
Математическое моделирование в педагогическом исследовании
Актуальные публикации по вопросам школьной педагогики.
В современной теории и практике обучения выделяются два основных, взаимодополняющих друг друга направления, которые условно можно обозначить как содержательно- гуманитарное и формально-логическое. В рамках первого осуществляется качественный анализ процесса обучения. Для второго характерно исследование педагогических систем и процессов на основе строгого и точного фиксирования их структурных изменений, в частности, построение математических моделей, количественно отражающих эти изменения. Возможно ли сочетание этих подходов в педагогическом исследовании? Это серьезная научная проблема, поскольку чрезмерная формализация всегда ведет к утрате важной части качественного содержания, а ее недостаточность не позволяет в полной мере его раскрыть. Специфика педагогических процессов и явлений предполагает приоритетное положение содержательно-гуманитарного направления и требует корректного и осторожного использования формально-логических средств.
Они необходимы исследователю, поскольку позволяют представить педагогическую реальность в абстрактной форме, удобной для теоретического анализа. К сожалению, возможности формально-логического подхода для его проведения осмыслены недостаточно. Для многих научно- педагогических задач реализация этого подхода требует структурно-количественного анализа, эффективным средством осуществления которого является математическое моделирование. На каждом этапе педагогического исследования оно играет определенную роль, реализуя глубокие по своей природе взаимосвязи указанных двух подходов и способствуя тем самым достижению поставленной цели. Гиперболизация этой роли или, наоборот, ее игнорирование является источником ошибочных выводов, неправильных педагогических интерпретаций математических моделей.
В большинстве современных педагогических исследований не используются возможности математических методов. Роль последних сводится к обработке экспериментальных данных, чему и посвящены многочисленные публикации по применению статистических методов в педагогике и психологии (Дж. Гласс, М.И. Грабарь, Н.Ф. Джужа, К. Иберла, Л.Б. Ительсон, В.П. Мизинцев, В.И. Михеев, Е.В. Сидоренко, Г.В. Суходольский и др.). Субъективность интерпретаций результатов при обработке данных многими статистическими методами (например, факторного или кластерного анализа) делает более привлекательным использование описательной статистики. Однако с ее помощью объективно можно только констатировать фактическое состояние (описывать, обобщать или сводить к желаемому виду свойства массивов данных), но объяснить его причины невозможно. Подобная статистическая обработка данных - это простейшая форма применения математических методов, эффективность которого в значительной мере зависит от исходной формализации предмета исследования и используемых способов количественного измерения его характеристик. Причинно- следственные связи способна установить теория статистического вывода, анализа и планирования эксперимента. Рассматривая ее как составную часть моделирования, имеющего определенные этапы и осуществляемого в соответствии с логикой научного исследования, можно значительно усовершенствовать эту форму математизации научного знания.
В педагогике математические методы применяются не так широко, как в психологии, что объясняется неразработанностью подходов к их использованию с учетом специфики педагогических процессов и отсутствием необходимой методологической подготовки у исследователей. Важно учитывать объективную основу применения математических методов, которая заключается в качественной однородности изучаемых ими явлений, позволяющей их количественно и структурно сравнивать. Выделение однородного качества в педагогических процессах вызывает серьезные трудности в силу влияния субъективных факторов. Преодолеть их и расширить возможности математического моделирования можно с помощью системного подхода.
Его сущность для такого вида исследования раскрывается в трудах В.П. Беспалько, В.И. Загвязинского, Т.А. Ильиной, Г.Д. Кирилловой, Ф.Ф. Королева и других ученых. Математизированное описание основных идей системного подхода (выделение основной структуры системы, ее иерархия, специфика функционирования систем в среде и др.) предлагается И.Д. Пехлецким в виде концепции структурно- количественного анализа. Она "позволяет усовершенствовать процедуру моделирования изучаемого явления, в основе которой лежит выделение главных, с точки зрения целей исследования, компонентов дидактических структур, и расширяет сферу применения методов количественного анализа" (см.: Количественный анализ и структурные модели в процессе обучения. Л.; Пермь, 1983, с. 6). Принципиальная возможность математического описания педагогических объектов возникает, если возможно строгое фиксирование основных структур и получение их количественных характеристик по метрической или интервальной шкале. Очевидно, далеко не для всех педагогических процессов оправдано использование математических
стр. 30
--------------------------------------------------------------------------------
методов. Оно целесообразно при исследовании закономерностей познавательной деятельности учащихся и вряд ли приемлемо, когда речь идет о вопросах, касающихся духовного развития личности.
При проведении структурно-количественного анализа с помощью математического моделирования важно учитывать особенности этапов его реализации в педагогическом исследовании. Широко применяемые методы получения количественных характеристик в педагогике не в полной мере соответствуют математической сущности процедуры измерения (как отображения свойств объектов в числовое множество с соблюдением ряда требований). Во избежание серьезных погрешностей используются различные способы измерения: получение оценок одного и того же свойства с помощью различных методик, формирование на основе таких оценок интегративных показателей, проведение нелинейного шкалирования с учетом качественной природы явления, дополнение экспертного оценивания показателями, полученными в результате использования стандартизированных методик, и др.
Такой этап, как построение математической модели, достаточно сложен и, в отличие от естественных наук, для социальных процессов, отличающихся непредсказуемостью, нельзя предложить готовые алгоритмы его реализации. Математический аппарат, соответствующий специфике этих процессов, активно разрабатывается. Попытки его транслирования из естественных наук не оправдали себя, так как полученные модели либо слишком огрубляли объект, либо оказывались педагогически нецелесообразными. Как правило, они должны быть нелинейными, поскольку отражают сложные и неоднозначные взаимодействия в педагогических системах. Такие модели не только трудно интерпретировать, но часто и невозможно найти корректное обоснование выявленным взаимосвязям.
На этапе анализа модели необходимо учитывать область изменения зависимых и независимых переменных, определяемую качественной сутью объекта или явления. Но для педагогических процессов соответствующих ограничений оказывается достаточно много. Это требует детального описания параметров модели (знаков коэффициентов при переменных, их соотношений и т.п.).
Научная новизна и практическая ценность зафиксированной в модели взаимосвязи переменных выявляется при интерпретации результатов, осуществляемой в рамках выбранной или специально разработанной концептуальной платформы. Интерпретация осуществляется на двух уровнях: формального научного фиксирования взаимосвязей и характера выявленных тенденций, а затем - их истолкования для использования в реальной педагогической практике.
Математическая модель может быть полезной при решении отдельной научно-педагогической задачи в связи с изучением определенного аспекта функционирования системы (выявление различий в средних значениях переменных и дисперсии, определение тенденций изменения переменных при переходе от условия к условию, оценка взаимодействия двух и более факторов в их влиянии на изменение переменной и др.).
Приведем пример предпринятого нами эксперимента, имеющего целью получение количественной оценки эффективности применения систем учебных вопросов в качестве основного средства стимулирования мышления учащихся при объяснении учителем нового материала. В эксперименте приняли участие учителя математики и учащиеся VI классов школ г. Перми. Предусматривалось два варианта изложения учебной информации (в параллельных классах, где математику преподавал один и тот же учитель). В одном из них он использовал систему вопросов, относящихся к содержанию учебного материала и побуждающих учащихся к активной мыслительной деятельности. Эти вопросы можно свести в три группы: 1) центральные вопросы, ответы на которые требуют рассуждений на данном этапе обучения; 2) те, что касаются наиболее существенных этапов формирования ответов на вопросы первой группы; 3) вопросы "мелкие", незначительные, связанные с деталями и техникой поиска ответов на вопросы предыдущих групп.
В контрольном варианте та же самая информация излагалась в форме короткой
стр. 31
--------------------------------------------------------------------------------
лекции (рассказа) в тех же речевых конструкциях, но без использования каких-либо вопросов. Время объяснения материала во всех случаях было одинаковым. С целью выяснения у учащихся уровня понимания только что изложенного материала в конце каждого экспериментального урока они выполняли контрольную работу, состоящую из 10-15 заданий. Весь ход урока для контроля отражался в специальных протоколах, где точно фиксировались вопросы учителя, время объяснения, психологическое оформление вопросов, психологическая обстановка в классе.
Полученные данные обрабатывались следующим образом. Для каждого урока в экспериментальных и контрольных классах подсчитывалось среднее отклонение эффективности (ЛЭ). Оно вычислялось как разность между коэффициентом усвоения на данном уроке и аналогичным фоновым показателем.
Для уроков, на которых объяснение нового материала проводилось без использования вопросов, это отклонение оказалось очень незначительным, с применением систем вопросов - в интервале 0,15-0,35 (по пятибалльной шкале). Результаты эксперимента свидетельствуют, что использование систем учебных вопросов в качестве средства стимулирования мыслительной деятельности учащихся при изложении нового материала значительно повышает уровень его усвоения.
Методика организации такого эксперимента и схема анализа его результатов типична для педагогического исследования. Но полученные количественные соотношения (значимость различий в показателях не проверена с помощью статистических критериев) не представляют собой математической модели соответствующего процесса, так как не фиксируют взаимосвязи его характеристик в виде системы, выполняющей различные функции (описательную, управленческую и прогностическую). Для построения такой модели необходимо формализовать предмет исследования, определив и иерархически упорядочив комплекс его характеристик.
Опираясь на классификацию, выделяющую три группы вопросов, соотносящихся с разными иерархическими уровнями целей урока, можно сформировать показатели систем вопросов, используемых в процессе объяснения учителем нового материала. В данном эксперименте к ним относится количество вопросов каждой из трех групп. С помощью регрессионного анализа выявлены взаимосвязи этих показателей с оценками эффективности усвоения новой темы.
При этом было показано, что увеличение числа вопросов первой и второй групп при объяснении нового материала способствует усилению эффективности усвоения нового материала, и наоборот, увеличение числа вопросов третьей группы приводит к уменьшению этого показателя. Иными словами, обилие мелких второстепенных вопросов вредит в процессе объяснения учителем нового материала, наличие вопросов первой и второй групп - помогает. Соответствующий эффект можно оценить количественно.
В данном случае этапы математического моделирования представлены в свернутом виде. Особое внимание уделено интерпретации полученной зависимости - одного из возможных и простых вариантов математической модели, отражающей определенный аспект использования конкретного дидактического средства. Для целостного исследования более сложной системы нужна специальная методология такого моделирования с учетом не только сферы исследования, но и его логики. В этой методологии должна быть отражена объективная иерархия взаимосвязей характеристик педагогического процесса, требующая многоуровневого математического моделирования. В рамках системного подхода оно предполагает исследование связей объекта, вычленение среди них системообразующих связей, установление их иерархии и т.д. Однако системная формализация структур объекта должна опираться на анализ их качественной сути, которая производна от содержания идей и концепций, составляющих теоретическую базу исследования и определяющих цель моделирования.
В одном из наших исследований оправдало себя многоуровневое моделирование, поскольку изучались скрытые механизмы проявления активности ученика при изучении учебного материала различной сложности. Такое моделирование предполагало
стр. 32
--------------------------------------------------------------------------------
единство содержательно-гуманитарного и формально- логического подходов при ведущей роли первого. В начале исследования обосновывались содержательные идеи, которые конкретизировались и формализовались с помощью специальной структурной схемы взаимодействия ученика с учебным материалом, выполняющей в данном случае методологическую роль. Затем с помощью этой схемы содержательно анализировались основные структуры этого взаимодействия, частным логическим продолжением которого служит концепция активности взаимодействия систем. Многоуровневость исходных теоретических положений в содержательной базе исследования предполагает адекватное применение процедур математического моделирования.
Анализ психолого-педагогической литературы позволил выделить две стороны активности - грани некоторой целостности. Первая связана с потенциальной активностью, вторая - с реализованной. Потенциальная заключается в наличии интереса к деятельности и потребности в ее осуществлении, отражая систему мотивационно-волевых отношений личности, стремление к выполнению заданий. Реализованная же активность - деятельное участие в процессах взаимодействия ученика и объекта изучения (учебного материала), в нем преломляется потенциальная активность путем проявления психодинамических свойств личности.
Описанные исходные теоретические положения предполагают многоуровневое математическое моделирование, которое изначально заложено в гипотезе о характере взаимосвязей (в виде математической зависимости) между различными показателями. В педагогическом исследовании наиболее часто встречаются три вида взаимосвязей, отражающих: 1) влияние одной или нескольких переменных в совокупности на другую (использование критериев достоверности различий, однофакторного или двухфакторного дисперсионного анализа); 2) степень согласованности действия факторов (чаще всего с помощью корреляционного анализа); 3) наличие латентных переменных (факторов), определяющих структуру взаимосвязей в исследуемом комплексе показателей.
Гипотеза должна быть не только описательной, но и объяснительной, раскрывать причинно-следственные связи, которые предположительно можно выразить в математической форме. В одном случае причина предполагается известной, оценивается лишь воздействие соответствующих факторов. В другом - причина неизвестна и причинно-следственные связи не раскрываются. Однако в отдельных ситуациях они могут быть установлены, например, при использовании корреляционного анализа в лонгитюдном исследовании, если интересующие переменные, измеренные в одно время, коррелируют с другими переменными, измеренными в более позднее время. Когда же причиной является влияние латентной переменной, то ее интерпретация имеет большую долю субъективности (например, при обработке методом факторного анализа).
Многоуровневое моделирование имеет место при обнаружении иерархии взаимосвязей, в частности, если с целью получения каких-либо показателей строится конкретная математическая модель, параметры которой используются для создания другой модели. Построение такого типа иерархических взаимосвязей происходило на основе системного подхода к установлению дидактических закономерностей, связанных с проявлением активности. Вот его основные методологические требования.
Прежде всего необходимо определить методы получения показателей разных видов активности. Один из них заключается в использовании взаимосвязей параметров сложности и трудности объекта изучения в виде регрессионных уравнений:
Т = ax + ву + cz + d,
где х, у, z - параметры сложности: х - усредненная интегрированная оценка детерминированного функционирования (предполагающего воспроизведение известных фактов, действие по заданному алгоритму и т.п.) психики ученика в процессе взаимодействия с объектом изучения; у, z - аналогичные оценки соответственно для второго (предусматривающего выполнение комбинаций из элементарных базовых действий) и третьего (ориентированного на создание комбинаций более высокого уровня или изобретение нового способа действий на основе проявления творчества)
стр. 33
--------------------------------------------------------------------------------
уровней функционирования; Т - параметр трудности. Коэффициенты а, в , с отражают влияние параметров сложности объекта изучения на показатели трудности, зафиксированные для конкретных условий взаимодействия ученика и объекта изучения. Для каждого обучаемого предполагается получение такого уравнения в условиях лабораторного эксперимента.
На основе подобных уравнений можно не только получать характеристики разных уровней активности ученика, но и выявлять особенности его познавательной деятельности. Такие особенности связаны с выполнением умственных действий, определяемых различными уровнями функционирования психики ученика. Показатели трудности, отражающие скорость выполнения действий, связанных с различными уровнями функционирования психики ученика, и их разнообразие (в плане иерархического структурирования) можно соотнести с важными сторонами активности взаимодействия систем. Эта модель является вспомогательной, поскольку служит средством получения характеристик активности, используемых для построения других математических моделей (факторного и регрессионного анализа), фиксирующих определенные закономерности ее проявления при взаимодействии ученика с объектом изучения.
Есть и другие важные требования:
* уточнить комплекс показателей, которые по своей качественной природе наиболее значимо связаны с соответствующими дидактическими закономерностями и относятся к сфере личностных качеств человека, особенностей проявления его психодинамических свойств в процессе обучения, успешности познавательной деятельности и др.;
* создать условия, гарантирующие объективность полученных показателей (надежность методик, проведение лабораторных экспериментов, позволяющих существенно уменьшить погрешность измерения первичных показателей, и т.п.);
* использовать многоуровневую статистическую обработку экспериментальных данных: например, на первом уровне установить корреляционные зависимости, на втором - выявить ведущие факторы (латентные переменные) активности с помощью факторного анализа, проведенного на базе установленных корреляционных отношений, на третьем - провести регрессионный анализ.
Приведем пример многоуровневой обработки данных, полученных в ходе одного из экспериментов, имеющих целью выявление взаимосвязей активности студентов-математиков с эффективностью их учебной деятельности. В результате корреляционного анализа получены статистически значимые (N>50; R>0,7) взаимосвязи показателей (параметров регрессионных уравнений указанного выше типа) детерминированной и недетерминированной активности с успешностью решения математических задач и усвоения текста (отрицательные коэффициенты корреляции) и показателями, отражающими методологические умения студентов (положительные коэффициенты корреляции).
Такие взаимосвязи позволяют высказать ряд предположений о существовании определенных дидактических закономерностей. Одно из них состоит в том, что активность детерминированного взаимодействия отрицательно влияет на успешность решения задач различной сложности и самостоятельного изучения учебного текста. Другое предположение касается скорости выполнения детерминированных операций, которая сказывается на успешности как детерминированного, так и недетерминированного взаимодействия: чем больше скорость, тем меньше эффективность (изучая математику, надо больше "думать" и меньше спешить). В итоге прослеживается следующая тенденция: недетерминированная активность взаимодействия существенно определяет успешность разных видов познавательной деятельности обучаемых (изучение текста, решение задачи) и находится в тесной взаимосвязи с методологией ее организации.
Выявленные взаимосвязи могут учитываться в ходе разработки частных методик преподавания математики для аналогичных категорий обучаемых. Будучи зафиксированными для конкретных выборок, указанные зависимости не могут рассматриваться как общие и универсальные. Однако формирование на их основе соответствующей гипотезы при исследовании разнооб-
стр. 34
--------------------------------------------------------------------------------
разия проявлений сфер активности вполне оправдано.
С целью поиска факторов, существенно влияющих на успешность взаимодействия ученика и объекта изучения, в контексте описанных показателей проведен факторный анализ. В результате выделены три значимых фактора, обозначенных нами с учетом структуры их взаимосвязей так: F1 - "интенсивность взаимодействия" (значимость по общей доле воспроизводимой дисперсии - 14%), F2 - "склонность к репродуктивной деятельности" (значимость - 10,5%), F3 - "дефицит вербального интеллекта" (значимость - 10,5%). Выделение в качестве первого фактора "интенсивность взаимодействия" свидетельствует о его главной роли в комплексе анализируемых показателей и их взаимосвязей.
Подобный анализ может проводиться, например, по отношению к типичным ситуациям учебного процесса: решение задач, работа с текстом, доказательство утверждений и т.д. Указанные количественные соотношения, полученные для разных учебных ситуаций, помогают рационально подобрать комплекс дидактических средств, оптимизирующих взаимодействие ученика и объекта изучения в конкретных условиях обучения.
Склонность к репродуктивной деятельности, выделенная в качестве фактора в результате факторного анализа, оказывает отрицательное влияние на успешность решения задач, и это влияние увеличивается с возрастанием их сложности. К такому выводу приводят результаты комплексной обработки экспериментальных данных перечисленными статистическими методами, благодаря чему можно не только фиксировать статистические по своей природе взаимосвязи показателей, но и при более детальном качественном анализе определить их причинно-следственную сущность.
Выявленные в результате подобного моделирования взаимосвязи представляют собой вероятностные математические модели конкретной педагогической реальности, которые важно адекватно интерпретировать, учитывая репрезентативность выборки. Если статистические критерии позволяют утверждать, что выявленная взаимосвязь неслучайна, то она отражает определенную тенденцию. При наличии случайной зависимости можно продолжить поиск другого вида взаимосвязи. Построенные модели проанализированы нами с точки зрения дидактической целесообразности (непротиворечивости практике и известным концепциям). Иногда полезно выделить в исходной выборке несколько групп, используя определенные критерии.
Современным этапом развития системного подхода является синергетика, которая позволяет значительно углубить системный анализ, расширив тем самым представления о механизмах функционирования и развития педагогических систем. Сущность идей синергетики состоит в том, что определенными свойствами обладают взаимодействия, а не независимо существующие объекты. Это предполагает целостный количественный и качественный анализ связей, проявляющихся во взаимодействии систем. Использование ее предположения о возможности спонтанного возникновения порядка и организации из беспорядка и хаоса в результате процесса самоорганизации обогащает подходы к построению математических моделей, формирует различные варианты интерпретации нелинейных зависимостей.
Синергетика изучает пути постижения закономерностей окружающего мира путем моделирования сложных нелинейных взаимосвязей, возникающих в процессе взаимодействия систем. Однако математический аппарат, реализующий эти идеи для социальных наук, еще только складывается. Наряду с качественной теорией дифференциальных уравнений, теорией катастроф, фрактальной геометрией, теорией алгоритмов для описания взаимодействия социальных систем и моделирования механизмов их самоорганизации может быть использован интуиционизм и теория категорий. Последние соответствуют специфике гуманитарного мышления, а теория категорий по своей сути - это фрактальная логика и фрактальная математика, занимающиеся изучением превращения хаоса в порядок и наоборот.
Поведение педагогических систем, по сути неравновесных, должно описываться вероятностными математическими моделями. Если система имеет конечное число вариантов функционирования, то это по-
стр. 35
--------------------------------------------------------------------------------
зволяет делать его прогноз гораздо более достоверным и объективным, чем простая экстраполяция на основе полученных фактических данных. Поэтому можно ставить задачу выбора подходящей вероятностной модели для описания взаимодействия сложных открытых педагогических систем. При этом модель должна быть нелинейной, если рассматривается достаточно большой диапазон изменений параметров. В результате возникает несколько вероятностных решений. Учитывая ограниченные возможности соответствующего математического аппарата, рассчитывать, что всегда удастся найти адекватную нелинейную математическую модель для описания функционирования сложной педагогической системы, не приходится. В случае, если это не удалось сделать, существует возможность в окрестности определенной точки описать поведение системы линейной моделью. Однако важно иметь в виду ее ограниченность (локальный характер) и возможность получения только одного из вариантов решения. Поэтому построение такой простейшей модели - это скорее первый шаг к математическому описанию педагогического процесса.
В приведенных выше примерах математические модели в виде линейных регрессионных уравнений построены для строго фиксированных локальных условий. Более сложные математические зависимости, отражающие закономерности проявления факторов активности при взаимодействии с объектом изучения, получить не удалось. Но поскольку аналогичные тенденции обнаружены и для других локальных условий, то можно утверждать, что они носят общий характер. Тем не менее специфика педагогических ситуаций проявляется в конкретных количественных соотношениях параметров уравнения.
Для синергетики, объясняющей механизмы образования порядка из хаоса, принципиальным оказывается любое изменение начальных условий. Отсутствие статистически значимых взаимосвязей может означать либо наличие хаоса, либо действие других более сложных законов. Такие ситуации требуют особого исследования уже в рамках содержательного подхода, на основе нестандартных методов качественного анализа. Интерпретация статистически значимой модели предполагает определение точек бифуркации, т.е. критических точек разрушения старых структур и возникновения веера возможностей перехода системы в новое качество.
Таким образом, построение математических моделей педагогической реальности на основе системно- синергетических идей позволяет не только прогнозировать развитие педагогических систем, но и раскрывать механизмы его ускорения или замедления, а также пути качественных изменений. Поиск рациональных способов построения таких моделей открывает новые горизонты педагогических исследований.
Выявленные закономерности действия факторов активности при взаимодействии с объектом изучения учитывались нами, например, при разработке варианта обучения, предусматривающего системообразующую роль областей знания "математика" и "язык" в общеобразовательной школе. С целью отражения этой роли создан комплекс специальных форм и методов обучения, способствующих взаимовлиянию учебных дисциплин, развитию культуры мышления, общения и самоорганизации деятельности, в частности, за счет повышения активности ученика и специального управления ею в процессе взаимодействия с объектом изучения; предусмотрено использование проблемных задач, вопросов. заданий различной сложности и т.д.; увеличена доля недетерминированной активности учащихся на уроках с помощью форм организации учебного процесса, стимулирующих их мыслительную деятельность.
Эффективность данного варианта обучения оценивалась нами в ходе сравнительных формирующих экспериментов, предпринятых на базе средней школы N 131 г. Перми. В эксперименте принимали участие учащиеся основной школы (27 классов). Полученные результаты отражают устойчивую положительную динамику (достоверность различий начальных и итоговых показателей оценивалась по критерию Стьюдента) в развитии умственных способностей и качества образования учащихся в экспериментальных классах, несколько меньшую положительную динамику у обучающихся по системе Эльконина - Давыдова, и практически ее отсутствие при
стр. 36
--------------------------------------------------------------------------------
традиционном варианте преподавания (первоначально установлена неразличимость классов по показателям, отражающим познавательные способности учащихся).
Заметим, что педагогическое исследование не всегда предполагает математическое моделирование. Если оно имеет характер разработки, опирающейся на готовую теоретическую модель, и изначально является практико- ориентированным, то достаточно провести сравнительный эксперимент, обработка данных которого может быть ограничена получением простейших количественных соотношений или даже качественным анализом результатов. Разработать теоретические основы, сформировать авторскую концепцию невозможно без абстрагирования явления или процесса, его идеализации и формализации, которая создает предпосылки для математического моделирования.
Таким образом, математическое моделирование способно выступать в качестве средства реализации формально- логического подхода, предоставляющего возможности не только для фиксации в количественной форме взаимосвязей в педагогических системах (в более общем виде их описания с помощью абстрактных математических структур), но и для разумного его использования при углубленном их качественном анализе.
стр. 37
Они необходимы исследователю, поскольку позволяют представить педагогическую реальность в абстрактной форме, удобной для теоретического анализа. К сожалению, возможности формально-логического подхода для его проведения осмыслены недостаточно. Для многих научно- педагогических задач реализация этого подхода требует структурно-количественного анализа, эффективным средством осуществления которого является математическое моделирование. На каждом этапе педагогического исследования оно играет определенную роль, реализуя глубокие по своей природе взаимосвязи указанных двух подходов и способствуя тем самым достижению поставленной цели. Гиперболизация этой роли или, наоборот, ее игнорирование является источником ошибочных выводов, неправильных педагогических интерпретаций математических моделей.
В большинстве современных педагогических исследований не используются возможности математических методов. Роль последних сводится к обработке экспериментальных данных, чему и посвящены многочисленные публикации по применению статистических методов в педагогике и психологии (Дж. Гласс, М.И. Грабарь, Н.Ф. Джужа, К. Иберла, Л.Б. Ительсон, В.П. Мизинцев, В.И. Михеев, Е.В. Сидоренко, Г.В. Суходольский и др.). Субъективность интерпретаций результатов при обработке данных многими статистическими методами (например, факторного или кластерного анализа) делает более привлекательным использование описательной статистики. Однако с ее помощью объективно можно только констатировать фактическое состояние (описывать, обобщать или сводить к желаемому виду свойства массивов данных), но объяснить его причины невозможно. Подобная статистическая обработка данных - это простейшая форма применения математических методов, эффективность которого в значительной мере зависит от исходной формализации предмета исследования и используемых способов количественного измерения его характеристик. Причинно- следственные связи способна установить теория статистического вывода, анализа и планирования эксперимента. Рассматривая ее как составную часть моделирования, имеющего определенные этапы и осуществляемого в соответствии с логикой научного исследования, можно значительно усовершенствовать эту форму математизации научного знания.
В педагогике математические методы применяются не так широко, как в психологии, что объясняется неразработанностью подходов к их использованию с учетом специфики педагогических процессов и отсутствием необходимой методологической подготовки у исследователей. Важно учитывать объективную основу применения математических методов, которая заключается в качественной однородности изучаемых ими явлений, позволяющей их количественно и структурно сравнивать. Выделение однородного качества в педагогических процессах вызывает серьезные трудности в силу влияния субъективных факторов. Преодолеть их и расширить возможности математического моделирования можно с помощью системного подхода.
Его сущность для такого вида исследования раскрывается в трудах В.П. Беспалько, В.И. Загвязинского, Т.А. Ильиной, Г.Д. Кирилловой, Ф.Ф. Королева и других ученых. Математизированное описание основных идей системного подхода (выделение основной структуры системы, ее иерархия, специфика функционирования систем в среде и др.) предлагается И.Д. Пехлецким в виде концепции структурно- количественного анализа. Она "позволяет усовершенствовать процедуру моделирования изучаемого явления, в основе которой лежит выделение главных, с точки зрения целей исследования, компонентов дидактических структур, и расширяет сферу применения методов количественного анализа" (см.: Количественный анализ и структурные модели в процессе обучения. Л.; Пермь, 1983, с. 6). Принципиальная возможность математического описания педагогических объектов возникает, если возможно строгое фиксирование основных структур и получение их количественных характеристик по метрической или интервальной шкале. Очевидно, далеко не для всех педагогических процессов оправдано использование математических
стр. 30
--------------------------------------------------------------------------------
методов. Оно целесообразно при исследовании закономерностей познавательной деятельности учащихся и вряд ли приемлемо, когда речь идет о вопросах, касающихся духовного развития личности.
При проведении структурно-количественного анализа с помощью математического моделирования важно учитывать особенности этапов его реализации в педагогическом исследовании. Широко применяемые методы получения количественных характеристик в педагогике не в полной мере соответствуют математической сущности процедуры измерения (как отображения свойств объектов в числовое множество с соблюдением ряда требований). Во избежание серьезных погрешностей используются различные способы измерения: получение оценок одного и того же свойства с помощью различных методик, формирование на основе таких оценок интегративных показателей, проведение нелинейного шкалирования с учетом качественной природы явления, дополнение экспертного оценивания показателями, полученными в результате использования стандартизированных методик, и др.
Такой этап, как построение математической модели, достаточно сложен и, в отличие от естественных наук, для социальных процессов, отличающихся непредсказуемостью, нельзя предложить готовые алгоритмы его реализации. Математический аппарат, соответствующий специфике этих процессов, активно разрабатывается. Попытки его транслирования из естественных наук не оправдали себя, так как полученные модели либо слишком огрубляли объект, либо оказывались педагогически нецелесообразными. Как правило, они должны быть нелинейными, поскольку отражают сложные и неоднозначные взаимодействия в педагогических системах. Такие модели не только трудно интерпретировать, но часто и невозможно найти корректное обоснование выявленным взаимосвязям.
На этапе анализа модели необходимо учитывать область изменения зависимых и независимых переменных, определяемую качественной сутью объекта или явления. Но для педагогических процессов соответствующих ограничений оказывается достаточно много. Это требует детального описания параметров модели (знаков коэффициентов при переменных, их соотношений и т.п.).
Научная новизна и практическая ценность зафиксированной в модели взаимосвязи переменных выявляется при интерпретации результатов, осуществляемой в рамках выбранной или специально разработанной концептуальной платформы. Интерпретация осуществляется на двух уровнях: формального научного фиксирования взаимосвязей и характера выявленных тенденций, а затем - их истолкования для использования в реальной педагогической практике.
Математическая модель может быть полезной при решении отдельной научно-педагогической задачи в связи с изучением определенного аспекта функционирования системы (выявление различий в средних значениях переменных и дисперсии, определение тенденций изменения переменных при переходе от условия к условию, оценка взаимодействия двух и более факторов в их влиянии на изменение переменной и др.).
Приведем пример предпринятого нами эксперимента, имеющего целью получение количественной оценки эффективности применения систем учебных вопросов в качестве основного средства стимулирования мышления учащихся при объяснении учителем нового материала. В эксперименте приняли участие учителя математики и учащиеся VI классов школ г. Перми. Предусматривалось два варианта изложения учебной информации (в параллельных классах, где математику преподавал один и тот же учитель). В одном из них он использовал систему вопросов, относящихся к содержанию учебного материала и побуждающих учащихся к активной мыслительной деятельности. Эти вопросы можно свести в три группы: 1) центральные вопросы, ответы на которые требуют рассуждений на данном этапе обучения; 2) те, что касаются наиболее существенных этапов формирования ответов на вопросы первой группы; 3) вопросы "мелкие", незначительные, связанные с деталями и техникой поиска ответов на вопросы предыдущих групп.
В контрольном варианте та же самая информация излагалась в форме короткой
стр. 31
--------------------------------------------------------------------------------
лекции (рассказа) в тех же речевых конструкциях, но без использования каких-либо вопросов. Время объяснения материала во всех случаях было одинаковым. С целью выяснения у учащихся уровня понимания только что изложенного материала в конце каждого экспериментального урока они выполняли контрольную работу, состоящую из 10-15 заданий. Весь ход урока для контроля отражался в специальных протоколах, где точно фиксировались вопросы учителя, время объяснения, психологическое оформление вопросов, психологическая обстановка в классе.
Полученные данные обрабатывались следующим образом. Для каждого урока в экспериментальных и контрольных классах подсчитывалось среднее отклонение эффективности (ЛЭ). Оно вычислялось как разность между коэффициентом усвоения на данном уроке и аналогичным фоновым показателем.
Для уроков, на которых объяснение нового материала проводилось без использования вопросов, это отклонение оказалось очень незначительным, с применением систем вопросов - в интервале 0,15-0,35 (по пятибалльной шкале). Результаты эксперимента свидетельствуют, что использование систем учебных вопросов в качестве средства стимулирования мыслительной деятельности учащихся при изложении нового материала значительно повышает уровень его усвоения.
Методика организации такого эксперимента и схема анализа его результатов типична для педагогического исследования. Но полученные количественные соотношения (значимость различий в показателях не проверена с помощью статистических критериев) не представляют собой математической модели соответствующего процесса, так как не фиксируют взаимосвязи его характеристик в виде системы, выполняющей различные функции (описательную, управленческую и прогностическую). Для построения такой модели необходимо формализовать предмет исследования, определив и иерархически упорядочив комплекс его характеристик.
Опираясь на классификацию, выделяющую три группы вопросов, соотносящихся с разными иерархическими уровнями целей урока, можно сформировать показатели систем вопросов, используемых в процессе объяснения учителем нового материала. В данном эксперименте к ним относится количество вопросов каждой из трех групп. С помощью регрессионного анализа выявлены взаимосвязи этих показателей с оценками эффективности усвоения новой темы.
При этом было показано, что увеличение числа вопросов первой и второй групп при объяснении нового материала способствует усилению эффективности усвоения нового материала, и наоборот, увеличение числа вопросов третьей группы приводит к уменьшению этого показателя. Иными словами, обилие мелких второстепенных вопросов вредит в процессе объяснения учителем нового материала, наличие вопросов первой и второй групп - помогает. Соответствующий эффект можно оценить количественно.
В данном случае этапы математического моделирования представлены в свернутом виде. Особое внимание уделено интерпретации полученной зависимости - одного из возможных и простых вариантов математической модели, отражающей определенный аспект использования конкретного дидактического средства. Для целостного исследования более сложной системы нужна специальная методология такого моделирования с учетом не только сферы исследования, но и его логики. В этой методологии должна быть отражена объективная иерархия взаимосвязей характеристик педагогического процесса, требующая многоуровневого математического моделирования. В рамках системного подхода оно предполагает исследование связей объекта, вычленение среди них системообразующих связей, установление их иерархии и т.д. Однако системная формализация структур объекта должна опираться на анализ их качественной сути, которая производна от содержания идей и концепций, составляющих теоретическую базу исследования и определяющих цель моделирования.
В одном из наших исследований оправдало себя многоуровневое моделирование, поскольку изучались скрытые механизмы проявления активности ученика при изучении учебного материала различной сложности. Такое моделирование предполагало
стр. 32
--------------------------------------------------------------------------------
единство содержательно-гуманитарного и формально- логического подходов при ведущей роли первого. В начале исследования обосновывались содержательные идеи, которые конкретизировались и формализовались с помощью специальной структурной схемы взаимодействия ученика с учебным материалом, выполняющей в данном случае методологическую роль. Затем с помощью этой схемы содержательно анализировались основные структуры этого взаимодействия, частным логическим продолжением которого служит концепция активности взаимодействия систем. Многоуровневость исходных теоретических положений в содержательной базе исследования предполагает адекватное применение процедур математического моделирования.
Анализ психолого-педагогической литературы позволил выделить две стороны активности - грани некоторой целостности. Первая связана с потенциальной активностью, вторая - с реализованной. Потенциальная заключается в наличии интереса к деятельности и потребности в ее осуществлении, отражая систему мотивационно-волевых отношений личности, стремление к выполнению заданий. Реализованная же активность - деятельное участие в процессах взаимодействия ученика и объекта изучения (учебного материала), в нем преломляется потенциальная активность путем проявления психодинамических свойств личности.
Описанные исходные теоретические положения предполагают многоуровневое математическое моделирование, которое изначально заложено в гипотезе о характере взаимосвязей (в виде математической зависимости) между различными показателями. В педагогическом исследовании наиболее часто встречаются три вида взаимосвязей, отражающих: 1) влияние одной или нескольких переменных в совокупности на другую (использование критериев достоверности различий, однофакторного или двухфакторного дисперсионного анализа); 2) степень согласованности действия факторов (чаще всего с помощью корреляционного анализа); 3) наличие латентных переменных (факторов), определяющих структуру взаимосвязей в исследуемом комплексе показателей.
Гипотеза должна быть не только описательной, но и объяснительной, раскрывать причинно-следственные связи, которые предположительно можно выразить в математической форме. В одном случае причина предполагается известной, оценивается лишь воздействие соответствующих факторов. В другом - причина неизвестна и причинно-следственные связи не раскрываются. Однако в отдельных ситуациях они могут быть установлены, например, при использовании корреляционного анализа в лонгитюдном исследовании, если интересующие переменные, измеренные в одно время, коррелируют с другими переменными, измеренными в более позднее время. Когда же причиной является влияние латентной переменной, то ее интерпретация имеет большую долю субъективности (например, при обработке методом факторного анализа).
Многоуровневое моделирование имеет место при обнаружении иерархии взаимосвязей, в частности, если с целью получения каких-либо показателей строится конкретная математическая модель, параметры которой используются для создания другой модели. Построение такого типа иерархических взаимосвязей происходило на основе системного подхода к установлению дидактических закономерностей, связанных с проявлением активности. Вот его основные методологические требования.
Прежде всего необходимо определить методы получения показателей разных видов активности. Один из них заключается в использовании взаимосвязей параметров сложности и трудности объекта изучения в виде регрессионных уравнений:
Т = ax + ву + cz + d,
где х, у, z - параметры сложности: х - усредненная интегрированная оценка детерминированного функционирования (предполагающего воспроизведение известных фактов, действие по заданному алгоритму и т.п.) психики ученика в процессе взаимодействия с объектом изучения; у, z - аналогичные оценки соответственно для второго (предусматривающего выполнение комбинаций из элементарных базовых действий) и третьего (ориентированного на создание комбинаций более высокого уровня или изобретение нового способа действий на основе проявления творчества)
стр. 33
--------------------------------------------------------------------------------
уровней функционирования; Т - параметр трудности. Коэффициенты а, в , с отражают влияние параметров сложности объекта изучения на показатели трудности, зафиксированные для конкретных условий взаимодействия ученика и объекта изучения. Для каждого обучаемого предполагается получение такого уравнения в условиях лабораторного эксперимента.
На основе подобных уравнений можно не только получать характеристики разных уровней активности ученика, но и выявлять особенности его познавательной деятельности. Такие особенности связаны с выполнением умственных действий, определяемых различными уровнями функционирования психики ученика. Показатели трудности, отражающие скорость выполнения действий, связанных с различными уровнями функционирования психики ученика, и их разнообразие (в плане иерархического структурирования) можно соотнести с важными сторонами активности взаимодействия систем. Эта модель является вспомогательной, поскольку служит средством получения характеристик активности, используемых для построения других математических моделей (факторного и регрессионного анализа), фиксирующих определенные закономерности ее проявления при взаимодействии ученика с объектом изучения.
Есть и другие важные требования:
* уточнить комплекс показателей, которые по своей качественной природе наиболее значимо связаны с соответствующими дидактическими закономерностями и относятся к сфере личностных качеств человека, особенностей проявления его психодинамических свойств в процессе обучения, успешности познавательной деятельности и др.;
* создать условия, гарантирующие объективность полученных показателей (надежность методик, проведение лабораторных экспериментов, позволяющих существенно уменьшить погрешность измерения первичных показателей, и т.п.);
* использовать многоуровневую статистическую обработку экспериментальных данных: например, на первом уровне установить корреляционные зависимости, на втором - выявить ведущие факторы (латентные переменные) активности с помощью факторного анализа, проведенного на базе установленных корреляционных отношений, на третьем - провести регрессионный анализ.
Приведем пример многоуровневой обработки данных, полученных в ходе одного из экспериментов, имеющих целью выявление взаимосвязей активности студентов-математиков с эффективностью их учебной деятельности. В результате корреляционного анализа получены статистически значимые (N>50; R>0,7) взаимосвязи показателей (параметров регрессионных уравнений указанного выше типа) детерминированной и недетерминированной активности с успешностью решения математических задач и усвоения текста (отрицательные коэффициенты корреляции) и показателями, отражающими методологические умения студентов (положительные коэффициенты корреляции).
Такие взаимосвязи позволяют высказать ряд предположений о существовании определенных дидактических закономерностей. Одно из них состоит в том, что активность детерминированного взаимодействия отрицательно влияет на успешность решения задач различной сложности и самостоятельного изучения учебного текста. Другое предположение касается скорости выполнения детерминированных операций, которая сказывается на успешности как детерминированного, так и недетерминированного взаимодействия: чем больше скорость, тем меньше эффективность (изучая математику, надо больше "думать" и меньше спешить). В итоге прослеживается следующая тенденция: недетерминированная активность взаимодействия существенно определяет успешность разных видов познавательной деятельности обучаемых (изучение текста, решение задачи) и находится в тесной взаимосвязи с методологией ее организации.
Выявленные взаимосвязи могут учитываться в ходе разработки частных методик преподавания математики для аналогичных категорий обучаемых. Будучи зафиксированными для конкретных выборок, указанные зависимости не могут рассматриваться как общие и универсальные. Однако формирование на их основе соответствующей гипотезы при исследовании разнооб-
стр. 34
--------------------------------------------------------------------------------
разия проявлений сфер активности вполне оправдано.
С целью поиска факторов, существенно влияющих на успешность взаимодействия ученика и объекта изучения, в контексте описанных показателей проведен факторный анализ. В результате выделены три значимых фактора, обозначенных нами с учетом структуры их взаимосвязей так: F1 - "интенсивность взаимодействия" (значимость по общей доле воспроизводимой дисперсии - 14%), F2 - "склонность к репродуктивной деятельности" (значимость - 10,5%), F3 - "дефицит вербального интеллекта" (значимость - 10,5%). Выделение в качестве первого фактора "интенсивность взаимодействия" свидетельствует о его главной роли в комплексе анализируемых показателей и их взаимосвязей.
Подобный анализ может проводиться, например, по отношению к типичным ситуациям учебного процесса: решение задач, работа с текстом, доказательство утверждений и т.д. Указанные количественные соотношения, полученные для разных учебных ситуаций, помогают рационально подобрать комплекс дидактических средств, оптимизирующих взаимодействие ученика и объекта изучения в конкретных условиях обучения.
Склонность к репродуктивной деятельности, выделенная в качестве фактора в результате факторного анализа, оказывает отрицательное влияние на успешность решения задач, и это влияние увеличивается с возрастанием их сложности. К такому выводу приводят результаты комплексной обработки экспериментальных данных перечисленными статистическими методами, благодаря чему можно не только фиксировать статистические по своей природе взаимосвязи показателей, но и при более детальном качественном анализе определить их причинно-следственную сущность.
Выявленные в результате подобного моделирования взаимосвязи представляют собой вероятностные математические модели конкретной педагогической реальности, которые важно адекватно интерпретировать, учитывая репрезентативность выборки. Если статистические критерии позволяют утверждать, что выявленная взаимосвязь неслучайна, то она отражает определенную тенденцию. При наличии случайной зависимости можно продолжить поиск другого вида взаимосвязи. Построенные модели проанализированы нами с точки зрения дидактической целесообразности (непротиворечивости практике и известным концепциям). Иногда полезно выделить в исходной выборке несколько групп, используя определенные критерии.
Современным этапом развития системного подхода является синергетика, которая позволяет значительно углубить системный анализ, расширив тем самым представления о механизмах функционирования и развития педагогических систем. Сущность идей синергетики состоит в том, что определенными свойствами обладают взаимодействия, а не независимо существующие объекты. Это предполагает целостный количественный и качественный анализ связей, проявляющихся во взаимодействии систем. Использование ее предположения о возможности спонтанного возникновения порядка и организации из беспорядка и хаоса в результате процесса самоорганизации обогащает подходы к построению математических моделей, формирует различные варианты интерпретации нелинейных зависимостей.
Синергетика изучает пути постижения закономерностей окружающего мира путем моделирования сложных нелинейных взаимосвязей, возникающих в процессе взаимодействия систем. Однако математический аппарат, реализующий эти идеи для социальных наук, еще только складывается. Наряду с качественной теорией дифференциальных уравнений, теорией катастроф, фрактальной геометрией, теорией алгоритмов для описания взаимодействия социальных систем и моделирования механизмов их самоорганизации может быть использован интуиционизм и теория категорий. Последние соответствуют специфике гуманитарного мышления, а теория категорий по своей сути - это фрактальная логика и фрактальная математика, занимающиеся изучением превращения хаоса в порядок и наоборот.
Поведение педагогических систем, по сути неравновесных, должно описываться вероятностными математическими моделями. Если система имеет конечное число вариантов функционирования, то это по-
стр. 35
--------------------------------------------------------------------------------
зволяет делать его прогноз гораздо более достоверным и объективным, чем простая экстраполяция на основе полученных фактических данных. Поэтому можно ставить задачу выбора подходящей вероятностной модели для описания взаимодействия сложных открытых педагогических систем. При этом модель должна быть нелинейной, если рассматривается достаточно большой диапазон изменений параметров. В результате возникает несколько вероятностных решений. Учитывая ограниченные возможности соответствующего математического аппарата, рассчитывать, что всегда удастся найти адекватную нелинейную математическую модель для описания функционирования сложной педагогической системы, не приходится. В случае, если это не удалось сделать, существует возможность в окрестности определенной точки описать поведение системы линейной моделью. Однако важно иметь в виду ее ограниченность (локальный характер) и возможность получения только одного из вариантов решения. Поэтому построение такой простейшей модели - это скорее первый шаг к математическому описанию педагогического процесса.
В приведенных выше примерах математические модели в виде линейных регрессионных уравнений построены для строго фиксированных локальных условий. Более сложные математические зависимости, отражающие закономерности проявления факторов активности при взаимодействии с объектом изучения, получить не удалось. Но поскольку аналогичные тенденции обнаружены и для других локальных условий, то можно утверждать, что они носят общий характер. Тем не менее специфика педагогических ситуаций проявляется в конкретных количественных соотношениях параметров уравнения.
Для синергетики, объясняющей механизмы образования порядка из хаоса, принципиальным оказывается любое изменение начальных условий. Отсутствие статистически значимых взаимосвязей может означать либо наличие хаоса, либо действие других более сложных законов. Такие ситуации требуют особого исследования уже в рамках содержательного подхода, на основе нестандартных методов качественного анализа. Интерпретация статистически значимой модели предполагает определение точек бифуркации, т.е. критических точек разрушения старых структур и возникновения веера возможностей перехода системы в новое качество.
Таким образом, построение математических моделей педагогической реальности на основе системно- синергетических идей позволяет не только прогнозировать развитие педагогических систем, но и раскрывать механизмы его ускорения или замедления, а также пути качественных изменений. Поиск рациональных способов построения таких моделей открывает новые горизонты педагогических исследований.
Выявленные закономерности действия факторов активности при взаимодействии с объектом изучения учитывались нами, например, при разработке варианта обучения, предусматривающего системообразующую роль областей знания "математика" и "язык" в общеобразовательной школе. С целью отражения этой роли создан комплекс специальных форм и методов обучения, способствующих взаимовлиянию учебных дисциплин, развитию культуры мышления, общения и самоорганизации деятельности, в частности, за счет повышения активности ученика и специального управления ею в процессе взаимодействия с объектом изучения; предусмотрено использование проблемных задач, вопросов. заданий различной сложности и т.д.; увеличена доля недетерминированной активности учащихся на уроках с помощью форм организации учебного процесса, стимулирующих их мыслительную деятельность.
Эффективность данного варианта обучения оценивалась нами в ходе сравнительных формирующих экспериментов, предпринятых на базе средней школы N 131 г. Перми. В эксперименте принимали участие учащиеся основной школы (27 классов). Полученные результаты отражают устойчивую положительную динамику (достоверность различий начальных и итоговых показателей оценивалась по критерию Стьюдента) в развитии умственных способностей и качества образования учащихся в экспериментальных классах, несколько меньшую положительную динамику у обучающихся по системе Эльконина - Давыдова, и практически ее отсутствие при
стр. 36
--------------------------------------------------------------------------------
традиционном варианте преподавания (первоначально установлена неразличимость классов по показателям, отражающим познавательные способности учащихся).
Заметим, что педагогическое исследование не всегда предполагает математическое моделирование. Если оно имеет характер разработки, опирающейся на готовую теоретическую модель, и изначально является практико- ориентированным, то достаточно провести сравнительный эксперимент, обработка данных которого может быть ограничена получением простейших количественных соотношений или даже качественным анализом результатов. Разработать теоретические основы, сформировать авторскую концепцию невозможно без абстрагирования явления или процесса, его идеализации и формализации, которая создает предпосылки для математического моделирования.
Таким образом, математическое моделирование способно выступать в качестве средства реализации формально- логического подхода, предоставляющего возможности не только для фиксации в количественной форме взаимосвязей в педагогических системах (в более общем виде их описания с помощью абстрактных математических структур), но и для разумного его использования при углубленном их качественном анализе.
стр. 37
Опубликовано 18 октября 2007 года
Новые статьи на library.by:
ПЕДАГОГИКА ШКОЛЬНАЯ:
Комментируем публикацию: Математическое моделирование в педагогическом исследовании
подняться наверх ↑
ССЫЛКИ ДЛЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ
По стандарту ВАК Республики Беларусь
Стандарт используется в белорусских учебных заведениях различного типа.
По ГОСТу Российской Федерации
Для образовательных и научно-исследовательских учреждений РФ
Прямой URL на данную страницу для блога или сайта
Предполагаемый источник
Полностью готовые для научного цитирования ссылки. Вставьте их в статью, исследование, реферат, курсой или дипломный проект, чтобы сослаться на данную публикацию №1192707630 в базе LIBRARY.BY.
подняться наверх ↑
ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!
подняться наверх ↑
ОБРАТНО В РУБРИКУ?
Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.
Добавить статью
Обнародовать свои произведения
Редактировать работы
Для действующих авторов
Зарегистрироваться
Доступ к модулю публикаций