ПЕДАГОГИКА ШКОЛЬНАЯ (последнее)
Логика и интуиция в математическом образовании
Актуальные публикации по вопросам школьной педагогики.
Важное условие обеспечения способности мышления к опосредованному отражению действительности - использование дедукции и умозаключений, на основе которых мы можем получать новые знания. Отличительной особенностью логического мышления является то, что оно от истинных посылок всегда приводит к истинному заключению, не опираясь при этом на опыт, интуицию и другие внешние факторы.
Но не только и не столько умением использовать строгую логику обусловлена способность мышления открывать новые факты. Подобное сомнение высказывал еще Г. Галилей: "Мне кажется, что логика учит познавать, правильно ли сделаны выводы из готовых рассуждений и доказательств, но чтобы она могла научить нас находить и строить такие рассуждения и доказательства - этому я не верю" [1]. Вторым важным условием этого процесса выступает способность мышления к интуитивным суждениям. "Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции," - утверждал французский математик А. Пуанкаре [2, с. 360]. Его мнение разделял русский математик В. А. Стеклов: "Метод открытия и изобретения один и тот же, та же интуиция, ибо при помощи логики никто ничего не открывает" [3, с. 68].
Интуиция представляет собой способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью логически строгого доказательства (латинское слово intuitio означает "пристальное всматривание"). Таким образом, интуиция - это своего рода антипод, противовес логики и строгости.
Различают два вида интуиции в научном познании: интуицию-суждение и интуицию-догадку [4]. Первая характеризуется тем, что прямое усмотрение истины, объективной связи вещей осуществляется без логически строгого доказательства, и такого доказательства для данной истины не существует и не может существовать в принципе. Интуиция-суждение представляет собой единовременный синтетический целостный акт обобщающего характера. В качестве ярчайшего примера можно привести открытие Ньютоном закона всемирного тяготения. Утверждение о том, что во вселенной действует этот закон, никто и никогда не сможет доказать строго логически. Однако уверенность в справедливости этого суждения впоследствии укреплялась всей практикой его использования в материальной деятельности человечества.
Интуиция-догадка - это прямое внелогическое усмотрение такого факта, который по прошествии определенного времени будет обоснован и доказан строго логическим путем. Суждение в значительной мере протекает бессознательно или подсознательно в короткие промежутки времени и проявляется как "озарение", "прозрение". Усмотренный в результате факт в рамках определенной формальной системы может быть логически сведен к некоторым исходным основным положениям, принятым за аксиомы или постулаты. При этом последующее строго логическое доказательство происходит через такой промежуток времени, который абсолютно несопоставим по продолжительности с актом "озарения". Для этого могут понадобиться часы, дни и даже годы.
Способность к интуиции-догадке наиболее ярко проявляется в человеке при его занятиях математикой. Если эта способность оказывается развита в нем сильно, он становится выдающимся математиком. Например, беспрецедентной математической интуицией обладал выдающийся индийский математик Рамануджан (1887 - 1920).
стр. 40
--------------------------------------------------------------------------------
Не имея специального образования, он фактически предсказал сложные теоремы, факты и формулы из теории чисел, которые затем строго логически были доказаны английским математиком Г. Харди. Интуитивные соображения практически всегда остаются в тени, за страницами научных работ, что существенно затрудняет их понимание. Это обстоятельство отмечал еще Ф. Клейн [5, с. 76]. Иногда совсем короткое обращение к интуиции в ходе строгого логического доказательства помогает ухватить его главную идею и тем самым уже оправдывает свою уместность.
Высокая степень развитости способности к интуиции-догадке характеризует интуицию открытия. Именно последняя движет вперед многочисленные научные области и, в первую очередь, математику. Менее развитая способность к интуиции-догадке характеризует интуицию узнавания. О ней писал Декарт в своих "Правилах для руководства ума": "Всякий может интуитивно постичь умом, что он существует, что он мыслит, что треугольник ограничивается только тремя линиями, что шар имеет только одну поверхность, и подобные этим истины, гораздо более многочисленные, чем это замечает большинство людей вследствие того, что не считает достойными внимания такие простые вещи" [6, с. 58]. Интуиция узнавания исключительно важна в процессе обучения математике. Более того, и обучение математике, в свою очередь, способствует развитию интуиции, которое может быть доведено до весьма высокого уровня. Я. Стюарт считает, что "главной целью подготовки математиков следовало бы сделать оттачивание их интуиции до такой степени, чтобы она превратилась в управляемое орудие исследования" [7, с. 13 - 14].
Логика и интуиция, являясь неотъемлемыми и неразделимыми компонентами математического творчества, призваны занять свое место и в математическом образовании. Обучение математике будет развивающим, если оно сумеет обеспечить такое их сочетание в учебном процессе, в котором они присутствуют в научном математическом поиске. К числу формальнологических относят следующие умения: умение определять понятие (через род и видовое отличие), умение классифицировать совокупности объектов (группировать объекты по заданному признаку, выделять признак, общий для данных объектов и т.п.), проводить дедуктивные рассуждения, опровергать общие утверждения с помощью примера, уметь выдерживать полноту дизъюнкций при переборах возможностей, формулировать гипотезы и ставить вопросы, проводить действия по алгоритму, составлять алгоритм деятельности. Среди компонентов интуитивного характера - зрительное угадывание закономерностей как на числовом материале, так и на геометрических чертежах, высказывание гипотез и проведение рассуждений по аналогии и по индукции, построение обобщений и конкретизации.
"Конечно, будем учиться доказывать, но также учиться догадываться", - призывал Д. Пойа. В то же время он предостерегал: "Я не верю, что существует абсолютно гарантированный метод, позволяющий научить догадываться... Все, что я могу предложить, это только примеры для подражания и возможность попрактиковаться" [8, с. 15 - 16].
Важность интуиции не только в науке, но и в образовании подчеркивал А. Пуанкаре: "Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима исследователю в выборе пути, она не менее необходима для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он выбрал его" [2, с. 166].
В процессе обучения математике вопрос о взаимоотношении логики и интуиции встает особенно остро, когда приходится решать проблему уровня строгости преподавания того или иного ее раздела. Попробуем обсудить некоторые аспекты проблемы логической строгости в изложении математических курсов. Математика зарождается в определениях и развивается в теоремах. Поэтому мы начнем с вопроса: как отыскать дидактически целесообразное соотношение логики и интуиции в выборе формулировок математических определений? Насколько такое определение должно быть логически строгим и в какой степени оно может опираться на интуицию?
Среди математиков-профессионалов бытует мнение, что самый лучший способ определить какое-либо математическое поня-
стр. 41
--------------------------------------------------------------------------------
тие - это дать ему строгое, логически безупречное определение. С математической точки зрения этот тезис оспорить невозможно. Тем не менее, практика преподавания курса математики как в школе, так и в вузе показывает, что на окончательное формирование представления о некотором математическом понятии интуитивная деятельность учащихся оказывает не меньшее влияние, чем непосредственное изучение формального определения этого понятия. Т. С. Маликов прекрасно объясняет это явление: "Внутренняя причина этого, на наш взгляд, достаточно очевидна: интуиция обращается к объективной реальности и потому отражает объект наиболее полно и целостно, учитывая совокупность его свойств в комплексе. В то же время в логике номинальное определение математического объекта, отражающего изучаемый реальный объект, подвержено лишь требованиям логического характера. Поэтому логически удовлетворительным является любое определение, обеспечивающее полное соответствие между исходным реальным объектом и его математическим вариантом лишь с точки зрения объема понятий.
Естественно, что логически вполне разумная тенденция к экономичности определений приводит к тому, что логическое определение абстрагируется от некоторых свойств соответствующего реального объекта - именно тех, которые могут быть логически выведены из остальных его свойств, положенных в основу определения, и независимо от их важности для интуитивных представлений.
С точки зрения логики, несущественно, какие именно свойства положены в основу, насколько целесообразно выделение этих свойств с дидактической точки зрения, с точки зрения интуитивного представления о рассматриваемом объекте, эффективности дальнейшего изучения соответствующего математического понятия, облегчения его применений в решении задач, и, более широко, на практике. Между тем именно эти факторы являются определяющими в обучении" [9, с. 44 - 48].
Итак, чтобы процесс формирования понятия шел у учащихся наиболее успешно, преподавателю необходимо выработать такое определение этого понятия, в котором дидактически целесообразно соотносились бы интуиция и логика. При этом по мере изучения предмета логическая строгость определений изучаемых понятий может усиливаться. Так, вначале понятие может быть введено на полностью интуитивном уровне. Затем во время работы с ним у самих учащихся возникает потребность уточнить его определение. Так может происходить несколько раз в ходе изучения курса. Каждый уровень строгости в определении понятия должен быть подготовлен преподавателем, а учащиеся должны дорасти до него, дозреть, испытать органическую потребность в таком уточнении. Усиление логической строгости должно происходить постепенно через противопоставление с интуицией и эвристическими методами рассуждений. А. Г. Мордкович выделяет два условия, при выполнении которых, по его мнению, следует вводить строгое формальное определение сложного математического понятия: "1) У учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия - опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении, на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях; 2) у учащихся появилась потребность в формальном определении понятия" [10, с. 207 - 210]. Это в полной мере относится к таким фундаментальным понятиям, как функция, вектор, многоугольник, многогранник. Методика такого подхода к определениям становится особенно актуальной в настоящее время, когда первоначальное знакомство со многими математическими понятиями, особенно в курсе геометрии, переносится из старших классов во все более младшие.
Роль логики в этом процессе состоит в том, чтобы она, взаимодействуя с интуицией и эвристическими рассуждениями, способствовала развитию у учащихся сильной математической интуиции, на основе которой можно было бы продуктивно изучать математику и творчески работать в ней.
Теперь обратимся к теоремам и их доказательствам. Теоремы составляют существо математической науки, а их доказательства образуют ее живую ткань. Теоремы, лишенные доказательства, безжизненны, мертвы. Поэтому изучать математику
стр. 42
--------------------------------------------------------------------------------
путем усвоения теорем без их доказательства бессмысленно, это - не есть изучение математики. В математике теорема может быть либо доказана, либо не доказана. Понять структуру теоремы, метод ее доказательства и само доказательство помогает математическая логика. Доказательство теоремы, проведенное в полном соответствии с требованиями логики, и есть ее логически строгое доказательство. Оно может оказаться неправильным, в него может вкрасться ошибка: скажем, не все случаи рассмотрены, сделаны неверные допущения, неверно применено логическое правило построения умозаключения и т.п. Неверное доказательство - это, по существу, уже не доказательство. Его можно исправить (например, рассмотреть упущенную возможность), или оно исправлению не подлежит (искажена логика, требуется новая идея доказательства). История математики знает примеры, когда ошибки в доказательствах теорем обнаруживались спустя годы, десятилетия и даже века (такова, например, история пятого постулата Евклида). Таким образом, с точки зрения логики либо мы имеем доказательство теоремы, либо мы его не имеем.
Тогда что же такое нестрогое доказательство математической теоремы? Это понятие явно не математическое и не логическое. Это - понятие педагогическое, методическое, выработанное теми людьми, кто преподает этот предмет. Общеизвестно, что в математике немало теорем, исчерпывающие доказательства которых весьма трудны и объемны. Конечно же, понятие трудности в данном случае, в свою очередь, весьма субъективно. Даже гениальный Лейбниц вспоминал о начале своего научного пути: "Я был математиком-самоучкой, но опыт мой был невелик, мне не хватало терпения пройти долгую цепь доказательств" [11, с. 213]. В узких рамках учебного процесса не всегда бывает возможным привести полные и подробные доказательства всех теорем курса. Вот здесь и возникает методическое понятие нестрогого доказательства.
Нестрогие доказательства должны возникать из логически строгих путем изъятия из них некоторых частей, которые при необходимости могут быть восстановлены самими учащимися или с помощью преподавателя. Например, не рассмотрены до конца все возможные случаи, при условии, что их рассмотрение происходит аналогично. Или дается лишь общая логическая схема доказательства без углубления в его детали. В самом крайнем случае может быть сообщена лишь общая идея доказательства, полная реализация которой потребует значительных усилий. При этом логика доказательства ни в коем случае не должна быть искажена. Потребность в выдаче нестрогих доказательств возникает практически у всякого преподавателя математики. Его методическая задача в этом случае состоит в том, чтобы, исходя из доказательства теоремы, сконструировать такое нестрогое доказательство, которое не нарушило бы логики исходного доказательства, которое не содержало бы математической или логической ошибки. В этом ему поможет знание основ математической логики.
По вопросу о том, в каком количестве следует вставлять в тот или иной математический курс логически нестрогие доказательства, в методике нет единого мнения. Это зависит от многих факторов: кому читается данный курс, какие цели ставятся по его изучению, сколько времени на него отводится и т.п. В то же время по этому вопросу имеются диаметрально противоположные мнения. Так, известный русский математик П. Л. Чебышев настаивал на полной доказательности курса математики. "Доказательства, лишенные строгости, - говорил он, - ничего, кроме вреда, принести не могут. Не говоря уже о напрасной потере времени, употребляемого на изучение таких доказательств, нестрогие доказательства вредно действуют на умственные способности учеников, приучая их видеть там достаточную причину, где ее нет. Если что- либо не может быть строго доказано, необходимо это прямо сказать ученикам, а не вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство" [12]. Сторонником логической строгости в доказательствах математических теорем в процессе их преподавания был и немецкий математик Д. Гильберт: "Будет большой ошибкой думать, что строгость в доказательстве - это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являют-
стр. 43
--------------------------------------------------------------------------------
ся в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств" [13, с. 17].
Противники логически строгих доказательств в преподавании математики обвиняют их сторонников в том, что те пренебрегают интуицией, преподают математику в виде формальных цепочек умозаключений и доказательств с никому не нужной логической строгостью, приводящей лишь к торжеству формализма над здравым смыслом, к схоластике. Сюда добавляется аргумент, что те, кто будет работать с математикой как с прикладной наукой, нуждаются не в логически строгих доказательствах, а лишь в конечных результатах, в рецептах, вырабатываемых математикой для приложений. Наконец, их наиболее важный и принципиальный довод состоит в том, что любое открытие, в том числе в той же математике, делается не строгим логическим путем, а почти всегда основывается на интуитивных соображениях, правдоподобных рассуждениях, фантазии и предвидении конечного результата из каких-либо общих или конкретных соображений.
Конечно, математика без логически строгих доказательств немыслима. Нельзя согласиться с мнением М. Клайна о том, что "математика - это женщина, а логика - ее одежда" [14, с. 46 - 61]. Скорее, логика - это ее плоть. Изучение логически строгих математических доказательств составляет ту сторону математики, которая в большей степени развивает, нежели образовывает, воспитывает целеустремленность, волю, настойчивость, развивает культуру и мышление. Кроме того, строгие логические доказательства помогают глубже раскрыть смысл вводимых математических понятий, овладеть ими и правильно применять на практике, помогают установить логическую структуру всего математического курса и связи между отдельными его частями, что существенно облегчает его запоминание и усвоение по сравнению с лишенным внутренней логики рецептурным методом изложения. Логические доказательства помогают полнее овладеть математическими методами, выработать необходимые для их использования навыки, лучше осознать границы применимости этих методов. Что касается математической интуиции, т.е. бессознательного открытия математических истин, то она может развиваться прежде всего на основе прочных математических знаний, четко осознанной логики математической дисциплины. Бессознательные мыслительные процессы включаются только на хорошо подготовленной почве сознательного усвоения логических конструкций математической науки. Рецептурное преподавание математики может нанести непоправимый вред развитию интуиции учащихся - это развитие может пойти по искаженному руслу. Более того, часто мнение о трудности изучения математики связано именно с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Двадцать пять столетий математика существует и развивается не как собрание практических рецептов и советов, а как дедуктивная, доказательная наука, в которой огромное число содержательных результатов выводится логическим путем из ничтожно малого числа исходных утверждений - аксиом. Ни одна педагогическая система не может игнорировать эту математическую традицию.
Выдающийся математик и педагог академик А. Д. Александров предостерегал, что при чрезмерно высоком уровне логической строгости преподавания математики многие учащиеся не столько усваивают и понимают логику формулировок и доказательств, сколько заучивают их. Одно из средств преодоления этой опасности, по его мнению, состоит в том, чтобы "уменьшить число формулировок и особенно доказательств, которые ученик должен знать - выучить, запомнить... Если мы хотим учить логическому мышлению, то и надо учить ему, а не заучиванию готовых рассуждений. Поэтому излагаемые формулировки и доказательства должны рассматриваться скорее как упражнения в логическом мышлении, чем как то, что надо знать". Чтобы усилить эту воспитательную направленность обучения математике, "учебный курс не должен быть перегружен специальным материалом. Тогда ученики действительно смогут усвоить то, что необходимо, и в меру своих сил продумать общие вопросы" [15, с. 56 - 62].
стр. 44
--------------------------------------------------------------------------------
Тем не менее, говоря о понятиях строгого и нестрогого изложения доказательства той или иной теоремы, следует обратить внимание еще на один аспект этой проблемы. Одной из основных задач всякого педагога является достижение осмысленного усвоения его учениками излагаемого им материала. Абсолютно логически строгое и пошагово безупречное доказательство теоремы не всегда приводит к пониманию учащимися этого доказательства. Ж. Адамар отмечает, что "всякое математическое рассуждение, как бы сложно оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял, до тех пор, пока я его не почувствовал как единую, общую идею" [16, с. 63]. Аналогичную мысль высказывает и А. Пуанкаре: "Математическое доказательство представляет собой не просто какое-то нагромождение силлогизмов: это силлогизмы, расположенные в известном порядке, причем этот порядок расположения элементов оказывается гораздо более важным, чем сами элементы. Если я обладаю чувством, так сказать, интуицией этого порядка, так что могу обозреть одним взглядом все рассуждения в целом, то мне не приходится опасаться, что я забуду какой-нибудь один из элементов; каждый из них сам по себе займет назначенное ему место без всякого усилия памяти с моей стороны" [2, с. 311]. Таким образом, понимание доказательства теоремы не сводится к пониманию и проверке правильности каждого шага формального доказательства, а достигается пониманием той общей идеи, которая привела именно к этой последовательности шагов. Для прояснения этой идеи невозможно обойтись без нестрогих, интуитивных соображений и образов. Интуитивные аспекты доказательства той или иной конкретной теоремы, а также целой математической теории помогают учащимся лучше понять их строгую логику и исключительно важны для преподавания.
Как же все-таки следует преподавать математику - логически строго или рецептурно? Даже сами математики признают, что сконструировать до конца логически выдержанный математический курс не удается практически никогда. Выдающийся французский математик А. Пуанкаре отмечает по этому поводу: "Нельзя все доказать и нельзя все определить. Приходится всегда делать заимствование у интуиции. Неважно, сделаем ли мы это заимствование немного раньше или немного позже, будет ли оно немного больше или меньше, лишь бы мы, правильно пользуясь теми посылками, которые даны нам интуицией, научились правильно рассуждать" [2, с. 361].
Тем не менее, строить все обучение математике лишь на правдоподобных рассуждениях и интуитивных соображениях также нельзя. Известный отечественный математик и педагог Л. Д. Кудрявцев формулирует такое положение по этому вопросу: "Преподавание математики должно быть по возможности простым, ясным, естественным и базироваться на уровне разумной строгости" [17, с. 67]. Развивая этот тезис, он говорит, что при построении математического курса нельзя ограничиться заботой только о его внутренней логической стройности, сведя его к пусть даже безупречной, но формальной логической последовательности аксиом, определений, лемм, теорем и доказательств. Необходимо уделять достаточно большое внимание разъяснению понятий, в том числе и на интуитивном уровне, рассмотрению иллюстрирующих примеров, демонстрации применения изучаемых методов к решению конкретных задач. При этом степень логической строгости изложения может варьироваться даже в пределах одного математического курса: различные его части порой приходится излагать на разном уровне строгости.
Важную роль строгая доказательность математического курса играет и в формировании научного мировоззрения, в воспитании его основы, которую образует безусловное уважение к установленной истине, требование доказывать то, что выдвигается в качестве истины, не допуская подмены доказательства ни верой, ни ссылкой на авторитет. "Стремление к истине, поиск доказательства (или опровержения), - считает А. Д. Александров, - это главная, а потому и ведущая сторона в основе научного мировоззрения. В уважении к истине, в требовании доказательства зак-
стр. 45
--------------------------------------------------------------------------------
лючается чрезвычайно важный нравственный момент" [15].
Подводя итог этому общему обсуждению вопроса о логической строгости доказательств в обучении математике, приведем слова известного венгерского математика, педагога и популяризатора науки А. Реньи: "Я принадлежу к сторонникам разумной строгости в преподавании математики, поскольку считаю, что без строгости математика не математика. Разумеется, это отнюдь не означает, что каждое утверждение необходимо строго доказывать: одну часть теоремы можно сформулировать без доказательства, другую обосновать при помощи эвристических рассуждений и лишь некоторые детали доказать со всей строгостью. Однако между различными типами информации необходимо проводить резкое различие: учащиеся всегда должны знать, что доказано и что приведено без доказательства. С особой осторожностью необходимо следить за тем, чтобы не принять за доказательство аргументацию эвристического характера. Не менее четкое различие нужно проводить между определениями и теоремами. Все это в равной мере относится к преподаванию любого раздела математики... Если преподаватель хочет убедить своих учеников в необходимости строгости, то убедить их в этом он сможет, тщательно подобрав примеры, когда небрежность, допущенная в доказательстве, приводит к явно ошибочным результатам" [18, с. 320].
Что же касается проблемы логической строгости математических доказательств в процессе преподавания математики будущим учителям в педвузе, то здесь уместно вспомнить слова А. Пуанкаре по этому поводу: "Имеются ученики, не столь многочисленные, которые должны стать учителями. Последние должны дойти до конца; для них прежде всего обязательно глубокое и строгое изучение основных принципов. Но отсюда не следует, что в них не следует культивировать интуиции. Ибо они могут составить себе ложное представление о науке, если всегда будут смотреть на нее с одной только стороны, и они не сумеют развить в своих питомцах того качества, которым сами не обладают" [2].
Думается, что преподавание математических курсов в педвузе будущим учителям математики должно быть преимущественно строго доказательным. Те, кто в недалеком будущем сами будут обучать математике других, должны как можно большую часть своего предмета изучить обстоятельно и с логически строгими доказательствами. При этом материал, входящий в школьный курс, должен быть весь обоснован с полной логической строгостью. Материал математических курсов, выходящий за рамки школьной математики, должен быть профессионально ориентирован на школьный курс, тесно с ним связан, и его преподавание должно вестись на уровне разумной строгости. При этом знание основ логики - необходимый инструмент будущего учителя математики. Он, во-первых, поможет ему ориентироваться в уровне строгости доказательств теорем вузовского курса, научит отличать логически строгие доказательства от нестрогих, эвристических. Во-вторых, он создаст основу для будущей методической работы над школьным курсом математики, когда самостоятельно придется решать вопрос об уровне строгости преподавания этого курса в конкретных условиях учебного процесса.
Литература
1. Галилей Г. Избр. труды. Т. 1. М., 1964.
2. Пуанкаре А. О науке. М., 1983.
3. Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М., 1986.
4. Фейнберг Е. Л. Кибернетика, логика, искусство. М., 1981.
5. Сойер У. У. Интуитивное понимание математического доказательства // Математика в школе. 1991. N 2.
6. Декарт Р. Правила для руководства ума. М.: Л.. 1936.
7. Стюарт Я. Концепции современной математики. Минск. 1980.
8. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения, (пер. с англ.). М.. 1975.
9. Маликов Т. С. Логический и интуитивный компоненты в определениях математических понятий // Математика в школе. 1987. N 1.
10. Меморандум американских математиков // На путях обновления школьного курса математики. М., 1976.
11. Погребысский И. Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. М.. 1971.
12. Прудников В. Е. Чебышев - ученый и педагог. М., 1964.
стр. 46
--------------------------------------------------------------------------------
13. Гильберт Д. Математические проблемы // Проблемы Гильберта. М. 1969.
14. Клайн М. Логика против педагогики // Математика: Сб. научно- методических статей. Вып. 3. М.. 1973.
15. Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. N 3.
16. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970.
17. Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении. М., 1977.
18. Реньи А. Трилогия о математике. М., 1980.
стр. 47
Но не только и не столько умением использовать строгую логику обусловлена способность мышления открывать новые факты. Подобное сомнение высказывал еще Г. Галилей: "Мне кажется, что логика учит познавать, правильно ли сделаны выводы из готовых рассуждений и доказательств, но чтобы она могла научить нас находить и строить такие рассуждения и доказательства - этому я не верю" [1]. Вторым важным условием этого процесса выступает способность мышления к интуитивным суждениям. "Доказывают при помощи логики, изобретают при помощи интуиции," - утверждал французский математик А. Пуанкаре [2, с. 360]. Его мнение разделял русский математик В. А. Стеклов: "Метод открытия и изобретения один и тот же, та же интуиция, ибо при помощи логики никто ничего не открывает" [3, с. 68].
Интуиция представляет собой способность постижения истины путем прямого ее усмотрения без обоснования с помощью логически строгого доказательства (латинское слово intuitio означает "пристальное всматривание"). Таким образом, интуиция - это своего рода антипод, противовес логики и строгости.
Различают два вида интуиции в научном познании: интуицию-суждение и интуицию-догадку [4]. Первая характеризуется тем, что прямое усмотрение истины, объективной связи вещей осуществляется без логически строгого доказательства, и такого доказательства для данной истины не существует и не может существовать в принципе. Интуиция-суждение представляет собой единовременный синтетический целостный акт обобщающего характера. В качестве ярчайшего примера можно привести открытие Ньютоном закона всемирного тяготения. Утверждение о том, что во вселенной действует этот закон, никто и никогда не сможет доказать строго логически. Однако уверенность в справедливости этого суждения впоследствии укреплялась всей практикой его использования в материальной деятельности человечества.
Интуиция-догадка - это прямое внелогическое усмотрение такого факта, который по прошествии определенного времени будет обоснован и доказан строго логическим путем. Суждение в значительной мере протекает бессознательно или подсознательно в короткие промежутки времени и проявляется как "озарение", "прозрение". Усмотренный в результате факт в рамках определенной формальной системы может быть логически сведен к некоторым исходным основным положениям, принятым за аксиомы или постулаты. При этом последующее строго логическое доказательство происходит через такой промежуток времени, который абсолютно несопоставим по продолжительности с актом "озарения". Для этого могут понадобиться часы, дни и даже годы.
Способность к интуиции-догадке наиболее ярко проявляется в человеке при его занятиях математикой. Если эта способность оказывается развита в нем сильно, он становится выдающимся математиком. Например, беспрецедентной математической интуицией обладал выдающийся индийский математик Рамануджан (1887 - 1920).
стр. 40
--------------------------------------------------------------------------------
Не имея специального образования, он фактически предсказал сложные теоремы, факты и формулы из теории чисел, которые затем строго логически были доказаны английским математиком Г. Харди. Интуитивные соображения практически всегда остаются в тени, за страницами научных работ, что существенно затрудняет их понимание. Это обстоятельство отмечал еще Ф. Клейн [5, с. 76]. Иногда совсем короткое обращение к интуиции в ходе строгого логического доказательства помогает ухватить его главную идею и тем самым уже оправдывает свою уместность.
Высокая степень развитости способности к интуиции-догадке характеризует интуицию открытия. Именно последняя движет вперед многочисленные научные области и, в первую очередь, математику. Менее развитая способность к интуиции-догадке характеризует интуицию узнавания. О ней писал Декарт в своих "Правилах для руководства ума": "Всякий может интуитивно постичь умом, что он существует, что он мыслит, что треугольник ограничивается только тремя линиями, что шар имеет только одну поверхность, и подобные этим истины, гораздо более многочисленные, чем это замечает большинство людей вследствие того, что не считает достойными внимания такие простые вещи" [6, с. 58]. Интуиция узнавания исключительно важна в процессе обучения математике. Более того, и обучение математике, в свою очередь, способствует развитию интуиции, которое может быть доведено до весьма высокого уровня. Я. Стюарт считает, что "главной целью подготовки математиков следовало бы сделать оттачивание их интуиции до такой степени, чтобы она превратилась в управляемое орудие исследования" [7, с. 13 - 14].
Логика и интуиция, являясь неотъемлемыми и неразделимыми компонентами математического творчества, призваны занять свое место и в математическом образовании. Обучение математике будет развивающим, если оно сумеет обеспечить такое их сочетание в учебном процессе, в котором они присутствуют в научном математическом поиске. К числу формальнологических относят следующие умения: умение определять понятие (через род и видовое отличие), умение классифицировать совокупности объектов (группировать объекты по заданному признаку, выделять признак, общий для данных объектов и т.п.), проводить дедуктивные рассуждения, опровергать общие утверждения с помощью примера, уметь выдерживать полноту дизъюнкций при переборах возможностей, формулировать гипотезы и ставить вопросы, проводить действия по алгоритму, составлять алгоритм деятельности. Среди компонентов интуитивного характера - зрительное угадывание закономерностей как на числовом материале, так и на геометрических чертежах, высказывание гипотез и проведение рассуждений по аналогии и по индукции, построение обобщений и конкретизации.
"Конечно, будем учиться доказывать, но также учиться догадываться", - призывал Д. Пойа. В то же время он предостерегал: "Я не верю, что существует абсолютно гарантированный метод, позволяющий научить догадываться... Все, что я могу предложить, это только примеры для подражания и возможность попрактиковаться" [8, с. 15 - 16].
Важность интуиции не только в науке, но и в образовании подчеркивал А. Пуанкаре: "Нам нужна способность, которая позволяла бы видеть цель издали, а эта способность есть интуиция. Она необходима исследователю в выборе пути, она не менее необходима для того, кто идет по его следам и хочет знать, почему он выбрал его" [2, с. 166].
В процессе обучения математике вопрос о взаимоотношении логики и интуиции встает особенно остро, когда приходится решать проблему уровня строгости преподавания того или иного ее раздела. Попробуем обсудить некоторые аспекты проблемы логической строгости в изложении математических курсов. Математика зарождается в определениях и развивается в теоремах. Поэтому мы начнем с вопроса: как отыскать дидактически целесообразное соотношение логики и интуиции в выборе формулировок математических определений? Насколько такое определение должно быть логически строгим и в какой степени оно может опираться на интуицию?
Среди математиков-профессионалов бытует мнение, что самый лучший способ определить какое-либо математическое поня-
стр. 41
--------------------------------------------------------------------------------
тие - это дать ему строгое, логически безупречное определение. С математической точки зрения этот тезис оспорить невозможно. Тем не менее, практика преподавания курса математики как в школе, так и в вузе показывает, что на окончательное формирование представления о некотором математическом понятии интуитивная деятельность учащихся оказывает не меньшее влияние, чем непосредственное изучение формального определения этого понятия. Т. С. Маликов прекрасно объясняет это явление: "Внутренняя причина этого, на наш взгляд, достаточно очевидна: интуиция обращается к объективной реальности и потому отражает объект наиболее полно и целостно, учитывая совокупность его свойств в комплексе. В то же время в логике номинальное определение математического объекта, отражающего изучаемый реальный объект, подвержено лишь требованиям логического характера. Поэтому логически удовлетворительным является любое определение, обеспечивающее полное соответствие между исходным реальным объектом и его математическим вариантом лишь с точки зрения объема понятий.
Естественно, что логически вполне разумная тенденция к экономичности определений приводит к тому, что логическое определение абстрагируется от некоторых свойств соответствующего реального объекта - именно тех, которые могут быть логически выведены из остальных его свойств, положенных в основу определения, и независимо от их важности для интуитивных представлений.
С точки зрения логики, несущественно, какие именно свойства положены в основу, насколько целесообразно выделение этих свойств с дидактической точки зрения, с точки зрения интуитивного представления о рассматриваемом объекте, эффективности дальнейшего изучения соответствующего математического понятия, облегчения его применений в решении задач, и, более широко, на практике. Между тем именно эти факторы являются определяющими в обучении" [9, с. 44 - 48].
Итак, чтобы процесс формирования понятия шел у учащихся наиболее успешно, преподавателю необходимо выработать такое определение этого понятия, в котором дидактически целесообразно соотносились бы интуиция и логика. При этом по мере изучения предмета логическая строгость определений изучаемых понятий может усиливаться. Так, вначале понятие может быть введено на полностью интуитивном уровне. Затем во время работы с ним у самих учащихся возникает потребность уточнить его определение. Так может происходить несколько раз в ходе изучения курса. Каждый уровень строгости в определении понятия должен быть подготовлен преподавателем, а учащиеся должны дорасти до него, дозреть, испытать органическую потребность в таком уточнении. Усиление логической строгости должно происходить постепенно через противопоставление с интуицией и эвристическими методами рассуждений. А. Г. Мордкович выделяет два условия, при выполнении которых, по его мнению, следует вводить строгое формальное определение сложного математического понятия: "1) У учащихся накопился достаточный опыт для адекватного восприятия вводимого понятия - опыт, содействующий пониманию всех слов, содержащихся в определении, на наглядно-интуитивном и рабочем уровнях; 2) у учащихся появилась потребность в формальном определении понятия" [10, с. 207 - 210]. Это в полной мере относится к таким фундаментальным понятиям, как функция, вектор, многоугольник, многогранник. Методика такого подхода к определениям становится особенно актуальной в настоящее время, когда первоначальное знакомство со многими математическими понятиями, особенно в курсе геометрии, переносится из старших классов во все более младшие.
Роль логики в этом процессе состоит в том, чтобы она, взаимодействуя с интуицией и эвристическими рассуждениями, способствовала развитию у учащихся сильной математической интуиции, на основе которой можно было бы продуктивно изучать математику и творчески работать в ней.
Теперь обратимся к теоремам и их доказательствам. Теоремы составляют существо математической науки, а их доказательства образуют ее живую ткань. Теоремы, лишенные доказательства, безжизненны, мертвы. Поэтому изучать математику
стр. 42
--------------------------------------------------------------------------------
путем усвоения теорем без их доказательства бессмысленно, это - не есть изучение математики. В математике теорема может быть либо доказана, либо не доказана. Понять структуру теоремы, метод ее доказательства и само доказательство помогает математическая логика. Доказательство теоремы, проведенное в полном соответствии с требованиями логики, и есть ее логически строгое доказательство. Оно может оказаться неправильным, в него может вкрасться ошибка: скажем, не все случаи рассмотрены, сделаны неверные допущения, неверно применено логическое правило построения умозаключения и т.п. Неверное доказательство - это, по существу, уже не доказательство. Его можно исправить (например, рассмотреть упущенную возможность), или оно исправлению не подлежит (искажена логика, требуется новая идея доказательства). История математики знает примеры, когда ошибки в доказательствах теорем обнаруживались спустя годы, десятилетия и даже века (такова, например, история пятого постулата Евклида). Таким образом, с точки зрения логики либо мы имеем доказательство теоремы, либо мы его не имеем.
Тогда что же такое нестрогое доказательство математической теоремы? Это понятие явно не математическое и не логическое. Это - понятие педагогическое, методическое, выработанное теми людьми, кто преподает этот предмет. Общеизвестно, что в математике немало теорем, исчерпывающие доказательства которых весьма трудны и объемны. Конечно же, понятие трудности в данном случае, в свою очередь, весьма субъективно. Даже гениальный Лейбниц вспоминал о начале своего научного пути: "Я был математиком-самоучкой, но опыт мой был невелик, мне не хватало терпения пройти долгую цепь доказательств" [11, с. 213]. В узких рамках учебного процесса не всегда бывает возможным привести полные и подробные доказательства всех теорем курса. Вот здесь и возникает методическое понятие нестрогого доказательства.
Нестрогие доказательства должны возникать из логически строгих путем изъятия из них некоторых частей, которые при необходимости могут быть восстановлены самими учащимися или с помощью преподавателя. Например, не рассмотрены до конца все возможные случаи, при условии, что их рассмотрение происходит аналогично. Или дается лишь общая логическая схема доказательства без углубления в его детали. В самом крайнем случае может быть сообщена лишь общая идея доказательства, полная реализация которой потребует значительных усилий. При этом логика доказательства ни в коем случае не должна быть искажена. Потребность в выдаче нестрогих доказательств возникает практически у всякого преподавателя математики. Его методическая задача в этом случае состоит в том, чтобы, исходя из доказательства теоремы, сконструировать такое нестрогое доказательство, которое не нарушило бы логики исходного доказательства, которое не содержало бы математической или логической ошибки. В этом ему поможет знание основ математической логики.
По вопросу о том, в каком количестве следует вставлять в тот или иной математический курс логически нестрогие доказательства, в методике нет единого мнения. Это зависит от многих факторов: кому читается данный курс, какие цели ставятся по его изучению, сколько времени на него отводится и т.п. В то же время по этому вопросу имеются диаметрально противоположные мнения. Так, известный русский математик П. Л. Чебышев настаивал на полной доказательности курса математики. "Доказательства, лишенные строгости, - говорил он, - ничего, кроме вреда, принести не могут. Не говоря уже о напрасной потере времени, употребляемого на изучение таких доказательств, нестрогие доказательства вредно действуют на умственные способности учеников, приучая их видеть там достаточную причину, где ее нет. Если что- либо не может быть строго доказано, необходимо это прямо сказать ученикам, а не вводить в заблуждение, предлагая им нестрогое доказательство" [12]. Сторонником логической строгости в доказательствах математических теорем в процессе их преподавания был и немецкий математик Д. Гильберт: "Будет большой ошибкой думать, что строгость в доказательстве - это враг простоты. Многочисленные примеры убеждают нас в противоположном: строгие методы являют-
стр. 43
--------------------------------------------------------------------------------
ся в то же время простейшими и наиболее доступными. Стремление к строгости как раз и приводит к отысканию простейших доказательств" [13, с. 17].
Противники логически строгих доказательств в преподавании математики обвиняют их сторонников в том, что те пренебрегают интуицией, преподают математику в виде формальных цепочек умозаключений и доказательств с никому не нужной логической строгостью, приводящей лишь к торжеству формализма над здравым смыслом, к схоластике. Сюда добавляется аргумент, что те, кто будет работать с математикой как с прикладной наукой, нуждаются не в логически строгих доказательствах, а лишь в конечных результатах, в рецептах, вырабатываемых математикой для приложений. Наконец, их наиболее важный и принципиальный довод состоит в том, что любое открытие, в том числе в той же математике, делается не строгим логическим путем, а почти всегда основывается на интуитивных соображениях, правдоподобных рассуждениях, фантазии и предвидении конечного результата из каких-либо общих или конкретных соображений.
Конечно, математика без логически строгих доказательств немыслима. Нельзя согласиться с мнением М. Клайна о том, что "математика - это женщина, а логика - ее одежда" [14, с. 46 - 61]. Скорее, логика - это ее плоть. Изучение логически строгих математических доказательств составляет ту сторону математики, которая в большей степени развивает, нежели образовывает, воспитывает целеустремленность, волю, настойчивость, развивает культуру и мышление. Кроме того, строгие логические доказательства помогают глубже раскрыть смысл вводимых математических понятий, овладеть ими и правильно применять на практике, помогают установить логическую структуру всего математического курса и связи между отдельными его частями, что существенно облегчает его запоминание и усвоение по сравнению с лишенным внутренней логики рецептурным методом изложения. Логические доказательства помогают полнее овладеть математическими методами, выработать необходимые для их использования навыки, лучше осознать границы применимости этих методов. Что касается математической интуиции, т.е. бессознательного открытия математических истин, то она может развиваться прежде всего на основе прочных математических знаний, четко осознанной логики математической дисциплины. Бессознательные мыслительные процессы включаются только на хорошо подготовленной почве сознательного усвоения логических конструкций математической науки. Рецептурное преподавание математики может нанести непоправимый вред развитию интуиции учащихся - это развитие может пойти по искаженному руслу. Более того, часто мнение о трудности изучения математики связано именно с туманным и нечетким ее изложением на интуитивном уровне. Двадцать пять столетий математика существует и развивается не как собрание практических рецептов и советов, а как дедуктивная, доказательная наука, в которой огромное число содержательных результатов выводится логическим путем из ничтожно малого числа исходных утверждений - аксиом. Ни одна педагогическая система не может игнорировать эту математическую традицию.
Выдающийся математик и педагог академик А. Д. Александров предостерегал, что при чрезмерно высоком уровне логической строгости преподавания математики многие учащиеся не столько усваивают и понимают логику формулировок и доказательств, сколько заучивают их. Одно из средств преодоления этой опасности, по его мнению, состоит в том, чтобы "уменьшить число формулировок и особенно доказательств, которые ученик должен знать - выучить, запомнить... Если мы хотим учить логическому мышлению, то и надо учить ему, а не заучиванию готовых рассуждений. Поэтому излагаемые формулировки и доказательства должны рассматриваться скорее как упражнения в логическом мышлении, чем как то, что надо знать". Чтобы усилить эту воспитательную направленность обучения математике, "учебный курс не должен быть перегружен специальным материалом. Тогда ученики действительно смогут усвоить то, что необходимо, и в меру своих сил продумать общие вопросы" [15, с. 56 - 62].
стр. 44
--------------------------------------------------------------------------------
Тем не менее, говоря о понятиях строгого и нестрогого изложения доказательства той или иной теоремы, следует обратить внимание еще на один аспект этой проблемы. Одной из основных задач всякого педагога является достижение осмысленного усвоения его учениками излагаемого им материала. Абсолютно логически строгое и пошагово безупречное доказательство теоремы не всегда приводит к пониманию учащимися этого доказательства. Ж. Адамар отмечает, что "всякое математическое рассуждение, как бы сложно оно ни было, должно мне представляться чем-то единым; у меня нет ощущения, что я его понял, до тех пор, пока я его не почувствовал как единую, общую идею" [16, с. 63]. Аналогичную мысль высказывает и А. Пуанкаре: "Математическое доказательство представляет собой не просто какое-то нагромождение силлогизмов: это силлогизмы, расположенные в известном порядке, причем этот порядок расположения элементов оказывается гораздо более важным, чем сами элементы. Если я обладаю чувством, так сказать, интуицией этого порядка, так что могу обозреть одним взглядом все рассуждения в целом, то мне не приходится опасаться, что я забуду какой-нибудь один из элементов; каждый из них сам по себе займет назначенное ему место без всякого усилия памяти с моей стороны" [2, с. 311]. Таким образом, понимание доказательства теоремы не сводится к пониманию и проверке правильности каждого шага формального доказательства, а достигается пониманием той общей идеи, которая привела именно к этой последовательности шагов. Для прояснения этой идеи невозможно обойтись без нестрогих, интуитивных соображений и образов. Интуитивные аспекты доказательства той или иной конкретной теоремы, а также целой математической теории помогают учащимся лучше понять их строгую логику и исключительно важны для преподавания.
Как же все-таки следует преподавать математику - логически строго или рецептурно? Даже сами математики признают, что сконструировать до конца логически выдержанный математический курс не удается практически никогда. Выдающийся французский математик А. Пуанкаре отмечает по этому поводу: "Нельзя все доказать и нельзя все определить. Приходится всегда делать заимствование у интуиции. Неважно, сделаем ли мы это заимствование немного раньше или немного позже, будет ли оно немного больше или меньше, лишь бы мы, правильно пользуясь теми посылками, которые даны нам интуицией, научились правильно рассуждать" [2, с. 361].
Тем не менее, строить все обучение математике лишь на правдоподобных рассуждениях и интуитивных соображениях также нельзя. Известный отечественный математик и педагог Л. Д. Кудрявцев формулирует такое положение по этому вопросу: "Преподавание математики должно быть по возможности простым, ясным, естественным и базироваться на уровне разумной строгости" [17, с. 67]. Развивая этот тезис, он говорит, что при построении математического курса нельзя ограничиться заботой только о его внутренней логической стройности, сведя его к пусть даже безупречной, но формальной логической последовательности аксиом, определений, лемм, теорем и доказательств. Необходимо уделять достаточно большое внимание разъяснению понятий, в том числе и на интуитивном уровне, рассмотрению иллюстрирующих примеров, демонстрации применения изучаемых методов к решению конкретных задач. При этом степень логической строгости изложения может варьироваться даже в пределах одного математического курса: различные его части порой приходится излагать на разном уровне строгости.
Важную роль строгая доказательность математического курса играет и в формировании научного мировоззрения, в воспитании его основы, которую образует безусловное уважение к установленной истине, требование доказывать то, что выдвигается в качестве истины, не допуская подмены доказательства ни верой, ни ссылкой на авторитет. "Стремление к истине, поиск доказательства (или опровержения), - считает А. Д. Александров, - это главная, а потому и ведущая сторона в основе научного мировоззрения. В уважении к истине, в требовании доказательства зак-
стр. 45
--------------------------------------------------------------------------------
лючается чрезвычайно важный нравственный момент" [15].
Подводя итог этому общему обсуждению вопроса о логической строгости доказательств в обучении математике, приведем слова известного венгерского математика, педагога и популяризатора науки А. Реньи: "Я принадлежу к сторонникам разумной строгости в преподавании математики, поскольку считаю, что без строгости математика не математика. Разумеется, это отнюдь не означает, что каждое утверждение необходимо строго доказывать: одну часть теоремы можно сформулировать без доказательства, другую обосновать при помощи эвристических рассуждений и лишь некоторые детали доказать со всей строгостью. Однако между различными типами информации необходимо проводить резкое различие: учащиеся всегда должны знать, что доказано и что приведено без доказательства. С особой осторожностью необходимо следить за тем, чтобы не принять за доказательство аргументацию эвристического характера. Не менее четкое различие нужно проводить между определениями и теоремами. Все это в равной мере относится к преподаванию любого раздела математики... Если преподаватель хочет убедить своих учеников в необходимости строгости, то убедить их в этом он сможет, тщательно подобрав примеры, когда небрежность, допущенная в доказательстве, приводит к явно ошибочным результатам" [18, с. 320].
Что же касается проблемы логической строгости математических доказательств в процессе преподавания математики будущим учителям в педвузе, то здесь уместно вспомнить слова А. Пуанкаре по этому поводу: "Имеются ученики, не столь многочисленные, которые должны стать учителями. Последние должны дойти до конца; для них прежде всего обязательно глубокое и строгое изучение основных принципов. Но отсюда не следует, что в них не следует культивировать интуиции. Ибо они могут составить себе ложное представление о науке, если всегда будут смотреть на нее с одной только стороны, и они не сумеют развить в своих питомцах того качества, которым сами не обладают" [2].
Думается, что преподавание математических курсов в педвузе будущим учителям математики должно быть преимущественно строго доказательным. Те, кто в недалеком будущем сами будут обучать математике других, должны как можно большую часть своего предмета изучить обстоятельно и с логически строгими доказательствами. При этом материал, входящий в школьный курс, должен быть весь обоснован с полной логической строгостью. Материал математических курсов, выходящий за рамки школьной математики, должен быть профессионально ориентирован на школьный курс, тесно с ним связан, и его преподавание должно вестись на уровне разумной строгости. При этом знание основ логики - необходимый инструмент будущего учителя математики. Он, во-первых, поможет ему ориентироваться в уровне строгости доказательств теорем вузовского курса, научит отличать логически строгие доказательства от нестрогих, эвристических. Во-вторых, он создаст основу для будущей методической работы над школьным курсом математики, когда самостоятельно придется решать вопрос об уровне строгости преподавания этого курса в конкретных условиях учебного процесса.
Литература
1. Галилей Г. Избр. труды. Т. 1. М., 1964.
2. Пуанкаре А. О науке. М., 1983.
3. Эрдниев П. М., Эрдниев Б. П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математике. М., 1986.
4. Фейнберг Е. Л. Кибернетика, логика, искусство. М., 1981.
5. Сойер У. У. Интуитивное понимание математического доказательства // Математика в школе. 1991. N 2.
6. Декарт Р. Правила для руководства ума. М.: Л.. 1936.
7. Стюарт Я. Концепции современной математики. Минск. 1980.
8. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения, (пер. с англ.). М.. 1975.
9. Маликов Т. С. Логический и интуитивный компоненты в определениях математических понятий // Математика в школе. 1987. N 1.
10. Меморандум американских математиков // На путях обновления школьного курса математики. М., 1976.
11. Погребысский И. Б. Готфрид Вильгельм Лейбниц. М.. 1971.
12. Прудников В. Е. Чебышев - ученый и педагог. М., 1964.
стр. 46
--------------------------------------------------------------------------------
13. Гильберт Д. Математические проблемы // Проблемы Гильберта. М. 1969.
14. Клайн М. Логика против педагогики // Математика: Сб. научно- методических статей. Вып. 3. М.. 1973.
15. Александров А. Д. О геометрии // Математика в школе. 1980. N 3.
16. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970.
17. Кудрявцев Л. Д. Мысли о современной математике и ее изучении. М., 1977.
18. Реньи А. Трилогия о математике. М., 1980.
стр. 47
Опубликовано 18 октября 2007 года
Новые статьи на library.by:
ПЕДАГОГИКА ШКОЛЬНАЯ:
Комментируем публикацию: Логика и интуиция в математическом образовании
подняться наверх ↑
ССЫЛКИ ДЛЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ
По стандарту ВАК Республики Беларусь
Стандарт используется в белорусских учебных заведениях различного типа.
По ГОСТу Российской Федерации
Для образовательных и научно-исследовательских учреждений РФ
Прямой URL на данную страницу для блога или сайта
Предполагаемый источник
Полностью готовые для научного цитирования ссылки. Вставьте их в статью, исследование, реферат, курсой или дипломный проект, чтобы сослаться на данную публикацию №1192707032 в базе LIBRARY.BY.
подняться наверх ↑
ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!
подняться наверх ↑
ОБРАТНО В РУБРИКУ?
Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.
Добавить статью
Обнародовать свои произведения
Редактировать работы
Для действующих авторов
Зарегистрироваться
Доступ к модулю публикаций