Парадокс Менона в математическом образовании

Под влиянием идей Я.А. Коменского, И.Г. Песталоцци и других великих педагогов были сформулированы представления о способах усвоения знаний. Среди основных педагогических принципов назывались непрерывность, постепенность и природосообразность обучения. При анализе "способов научения" математическим дисциплинам была осознана необходимость разработки специальных методов обучения, способствующих наглядному и доступному изложению, например, популярных "Начал" Евклида. С этой целью создавались разнообразные методики - хорошо аргументированные руководства для учителей. Тем не менее любые методики периодически устаревают, поскольку меняются требования к обоснованию содержания и цели обучения.

Великий французский математик и философ Р. Декарт утверждал, что "нет более плодотворного занятия, чем познание самого себя". Поэт и мыслитель И.В. Гете, как бы продолжая эту мысль, говорил о том, что "человек познает сам себя только в той мере, в какой он познает мир". Гете был одним из тех выдающихся мыслителей, которые критиковали с гуманистических позиций науку тогда, когда некоторые негативные последствия ее развития только намечались. Он призывал к науке, ориентированной на человека, использующей только качественные методы исследования. Еще в античные времена мудрый Сократ полагал, что основная функция знания состоит в самопознании. Поэтому в соответствии с его знаменитым принципом "познай самого себя" целесообразно все то, что способствует умственному и духовному развитию личности.

Сократ был колоритнейшей личностью, в которой современников поражала и его наружность, и образ жизни, и парадоксальность мысли и речи. Ученик Сократа, знаменитый Платон не только создал художественно притягательный, дошедший до нас образ Сократа, но и излагал иногда от его имени собственное философское учение. Для великого философа, хорошо знающего математику, каким был Платон, избыток характерного и неповторимого в личности Сократа был поистине бесценной находкой. В диалоге "Менон" Платон устами Сократа утверждает, что человек, никогда не учившийся математике, с помощью хорошо подобранных вопросов может сам открывать даже геометрические истины. Суть сократовского метода, воплощенного в лекции-беседе, состоит в тщательном продумывании различных идей, которые принимаются или осознанно опровергаются учеником.

На первый взгляд возникает парадоксальная ситуация, когда Менон, которого обучал Сократ, знает то, чего он пока не узнал, или не знает того, что уже узнал. Заметим, что известный математик и педагог Д.Д. Мордухай-Болтовской тоже предполагал, что "мышление математика глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину" [1, с. 86]. Учитывая степень сложности античной математики, соответствующую уровню современного школьного образования, следует, однако, признать, что в дальнейшем целесообразно вести речь только о методе, который применял Сократ, обучая Менона. Математические результаты, по Сократу, следует излагать не так, как они в действительно-

стр. 28


--------------------------------------------------------------------------------

сти и в какой последовательности были найдены, а таким образом, чтобы их при надлежащей подготовке мог бы придумать ученик под руководством учителя. Даже если диалог "Менон" выдумка или миф Платона, его философское содержание наводит на мысль о всеобщей связи всех знаний. Но чтобы воспользоваться методом Сократа, необходимо постоянно заново переосмысливать закономерности развития и методологические проблемы современной математики.

Французский математик, лауреат Филдсовской премии Рене Том, входивший в один из последних составов группы, известной под собирательным псевдонимом Никола Бурбаки, считает, что одно из важнейших философских утверждений, на которые должна опираться современная математика, - это утверждение о существовании математических структур независимо от человеческого разума. В его статье "Современная математика: педагогическая или философская ошибка?" это положение объясняется тем, что старые надежды бурбакистов показать, как математические структуры естественно вытекают из иерархии множеств, подмножеств и их комбинаций, это, безусловно, заблуждение. Поэтому нельзя ни по каким разумным причинам отказаться от мысли, что важные математические структуры (алгебраическая, топологическая и др.) существуют во внешнем мире и их огромное многообразие находит все же оправдание в реальности. Если же математика - это не более чем игра ума, то как объяснить неоспоримые ее успехи в описании действительности? Между тем сама группа Бурбаки уклонилась от ответа на этот вопрос, предусмотрительно заявляя о своей некомпетентности в этой области познания.

Действительная тайна математического знания состоит не в мнимом богатстве аксиоматики, а в широких возможностях определения производных объектов на базе незначительного числа исходных понятий и отношений, т.е. в богатстве конструктивных возможностей. Развитие содержательных научных теорий все чаще упирается в границы человеческих возможностей. Для тренировки и "нагружения" мозга необходимыми знаниями приходится затрачивать немалую часть интеллектуальной жизни. Главное достоинство человека французский математик и мыслитель Блез Паскаль видел в его способности мыслить, мыслить так, "как ему приличествует" [2, с. 34-38]. Только значительные усилия порождают профессионализм достойного уровня. Эти объективные трудности приводят к тому, что многие математики устраиваются в своем "переулке" математической науки и почти полностью игнорируют все то, что не касается их предмета исследований (Н. Бурбаки).

Рождение теоретической математики, обладающей своими специфическими приемами обоснования истинности результатов, для математики предстает как проблема возникновения рационального мышления. Принципы рационального мышления пронизывают нашу жизнь и даже вплетены в эмоциональные ее проявления. Эволюция теоретико-математического знания является результатом субъективной деятельности, она в немалой степени зависит от взаимоотношений ученых и научных школ, от личных симпатий и вкусов, т.е. от людей. Поэтому успешное обучение математическим истинам определяется также и личностью Учителя, что блестяще продемонстрировал Сократ.

Наиболее распространенной версией является отождествление возникновения теоретической математики с появлением доказательства как фундаментальной характеристики математического знания. Но, например, в античной Греции доказательство проводится как геометрическое построение. С точки зрения доктора философских наук П.П. Гайденко, математика превратилась в теоретическую науку тогда, когда математические исследования переместились из практико-прикладной сферы в философско-теоретическую, еще не отделившуюся от религиозно-мистического восприятия мира. Даже при поверхностном взгляде на современную математику бросается в глаза заметно увеличившаяся специализация в теоретической математике, обусловленная сложностью теоретических конструкций, что, вообще говоря, ведет к несбалансированному росту дифференциации теоретического знания.

Проблема абстрактного математического объекта, его отличия от объектов, изучае-

стр. 29


--------------------------------------------------------------------------------

мых другими науками, как и проблема сущности доказательства, активно исследуются философами науки. Сущность доказательства состоит в том, что она есть реализация предшествующего видения цели доказательства, т.е. того, что мы собирались доказать. Это осмысление достигается вне или до доказательства, которое в большей части лишь технически оформляет задуманное. Поэтому доказательная математика прогрессирует до тех пор, пока ученый видит больше, чем доказывает. Если вводить иерархию логической строгости доказательств, как это делает философ В.А. Карпунин, то на одном полюсе будет прямое доказательство, а на другом - косвенное, т.е. доказательство от противного, в котором используются наиболее сильные и все же не достаточно убедительные логические средства.

Современные аксиоматические системы представляют собой исчисления. Понятие исчисления - это, во-первых, формальный язык, во-вторых, система аксиом и, наконец, точная формулировка логических средств доказательства. Использование логических средств в философии пока еще не дошло до того, чтобы математики, исследуя предложенные исчисления, пришли к какому-нибудь нетривиальному философскому выводу. Анализируя проблему появления математики как теоретического знания, философ А.Г. Барабащев приходит к выводу, что теоретическая математика возникает как полностью самостоятельная сущность тогда, когда в ней систематически используются все типы доказательств, включая доказательство от противного, примененные к объектам специального вида, в которые включена математическая бесконечность. И первыми такими объектами были некоторые простейшие иррациональности.

Одной из характерных особенностей исторического процесса является то, что ни одно из событий не повторяется в деталях дважды. Поэтому возникновение абстрактной математики, как событие исторического процесса, также не имеет точного "двойника". Однако приблизительный аналог этого феномена, возможно, есть и в математике Нового времени, а именно формирование аксиоматических построений, охвативших большинство разделов математики и способствовавших стремительному развитию теоретических конструкций. Все объекты математики, начиная от натуральных чисел и кончая группами, топологическими векторными пространствами и категориями, абстрактны. Второй отличительной чертой математики, считает доктор физико-математических наук И.Г. Башмакова, является то, что все ее предложения относятся к бесконечному множеству объектов, а точнее - классам, содержащим бесконечное множество объектов.

Единственным способом установления истинности математических утверждений выступает доказательство. Оно выявляет связи между предложениями, показывает, от каких предложений зависит данное и какие предложения вытекают из него. Значительную роль дедуктивной логике как средству критицизма отводит Карл Поппер, так как, по его мнению, дедуктивные доказательства - это единственные доказательства, которые стремятся сохранить истину от посылок до заключений. Поэтому для успешного применения сократовского метода обучения необходимо сначала предъявить образцы безупречных дедуктивных рассуждений. Поскольку значимое дедуктивное доказательство, базирующееся на истинных посылках, не может приходить к ложным заключениям, то, критикуя теорию, мы тем самым пытаемся показать непоследовательность ее самой или ее следствий, принимаемых за истину.

Внутренняя проблематика философии математики не могла не отметить столь важный и эффективно разрабатываемый поколениями исследователей способ рассуждений в эволюции абстрактной математики, как математическое доказательство. Одно из философских размышлений профессора В.А. Успенского называется - "Что такое доказательство?" [3, с. 106-155]. Изучение трудных математических доказательств он сравнивает с альпинистским восхождением на вершину, где уровень моря соответствует начальным математическим понятиям. Этап, предшествующий сбору в общем высокогорном лагере, равнозначен этапу получения серьезной математической подготовки, а роль промежуточных лагерей и остановок для математиков играют теории и теоремы. Характерная черта и для альпинистов, и для

стр. 30


--------------------------------------------------------------------------------

математиков - это условность в выборе точки отсчета "восхождения".

Собственно восхождение начинается с такой позиции, куда профессионалы могут добраться без труда, хотя для остальных это составит немалые трудности. Поскольку такая неординарная деятельность - удел немногих, то откуда тогда у математиков берется убеждение, что теоремы, доказательства которых они так никогда и не узнают, действительно располагают доказательствами? Такое убеждение, по В.А. Успенскому, основано на доверии. Он обосновывает тезис о том, что доказательства постепенно переходят из разряда явлений индивидуального опыта в разряд явлений опыта коллективного. А смысл коллективной убедительности состоит в том, что для каждой составной части доказательства найдется специалист, член математического коллектива, для которого убедительна именно эта часть.

Если в математике отбрасывают какое-нибудь доказательство, то это чаще потому, что оно непонятно, а не потому, что оно ложно. Возможно, что позже коллеги объяснят неявные допущения и заполнят пробелы, т.е. сделают доказательство полным. В своих текстах выдающийся австрийский философ Людвиг Витгенштейн неоднократно обращается к исследованию сущности понятия математического доказательства [4, с. 32-36]. Из требований, предъявляемых им к таким доказательствам, профессор В.А. Успенский выделяет следующие два тесно связанных между собой: доказательство должно быть обозримо и воспроизводимо. Уместно заметить, что эти требования вполне в духе сократовского метода. При реализации этих достаточно очевидных требований возникают серьезные и вполне реальные проблемы - это "проблема человеческого фактора" и "проблема компьютерного фактора".

Математическое доказательство рассчитано на восприятие его человеком и поэтому является также и психологическим понятием. Убедительность доказательства зависит от багажа математических знаний: для "продвинутого математика" доказательство может быть достаточно коротким, а для новичка в соответствующем разделе математики такое короткое доказательство может оказаться непонятным. Хотя, строго говоря, "архитектурные излишества" в доказательствах можно отнести к погрешностям стиля, которые производят неприятное впечатление. Развернутое доказательство вполне может занять несколько сотен и даже тысяч страниц. Например, знаменитое полное доказательство великой теоремы Ферма, окончательное решение которой получено математиком из Принстона Эндрю Уайлсом, содержит около 1 тыс. страниц, которые в течение нескольких месяцев проверяла большая группа специалистов в области эллиптических кривых.

Математическая хронология этого события изложена в статье профессора Ю.П. Соловьева "Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма" [5, с. 135-138]. Эмпирический материал, полученный в первой половине XX в., позволил японскому математику Ютаке Танияме в 1955 г. сформулировать гипотезу: всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами является модульной. В 1985 г. немецкий математик Герхард Фрей предположил, а вскоре американский математик Кеннет Рибет доказал, что последняя теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы. В 1993 г. Эндрю Уайлс анонсировал доказательство гипотезы Таниямы для полустабильных эллиптических кривых, к которым относится эллиптическая кривая Фрея, и, по существу, заявил, что он доказал теорему Ферма. Однако в его доказательстве были обнаружены пробелы, исправление которых заняло более года. И только летом 1995 г. был опубликован текст доказательства гипотезы Таниямы, написанный Э. Уайлсом в сотрудничестве с Р. Тейлором, занимающий в оригинале около 150 страниц. Можно ли считать его обозримым и воспроизводимым?

Проблема компьютерного фактора возникает в связи с привлечением компьютеров для получения доказательства. Их использование на некоторых стадиях теоретических и прикладных математических исследований, в том числе и на этапе доказательства математических утверждений, - принципиальная особенность современной математики. Ситуация, когда это происходит, возникает чаще всего, если удается свести рассматриваемую задачу или проб-

стр. 31


--------------------------------------------------------------------------------

лему к проверке достаточно большого, трудно обозримого, хотя и конечного, числа частных случаев. Если проверка отдельных случаев вычислительно сложна или таких случаев слишком много, то для решения задачи приходится привлекать компьютер.

Реально так обстояло дело с одной из знаменитых задач математики - "проблемой четырех красок", т.е. предположением о том, что любую мыслимую политическую карту можно правильно раскрасить четырьмя красками. В 1976 г. Кенет Аппель и Вольфганг Хакен анонсировали, а через год опубликовали положительное решение проблемы, предъявив около 2 тыс. плоских графов и объявив, что свели проблему к проверке того, что каждый из этих графов обладает специальным свойством. Такая проверка проводилась на компьютере и потребовала около 300 ч машинного времени. И все же некоторые математики до сих пор сомневаются, решена ли эта проблема. Можно ли понять или воссоздать такое доказательство методом, которым Сократ обучал Менона? Вообще говоря, большие математические доказательства живут по своим макроскопическим законам. Поэтому естественно возникают сомнения в том, что необозримые доказательства, для которых компьютер становится неустранимой частью этой процедуры, являются доказательствами.

Каждую новую математическую теорию можно считать за благо, но бесцельные переходы ко все новым понятийно усложненным теориям не приветствуются даже математическим сообществом. Чем более общий характер имеют исходные прогнозы относительно некоторого результата и его значимости для математики, тем труднее обойтись одной теорией. Признанный классик философии науки XX в. Карл Поппер отвергал идею окончательного объяснения [6, с. 29-38]. Всякое объяснение может быть в дальнейшем объяснено за счет законов более высокой универсальности, поэтому не может быть объяснения, не нуждающегося в дальнейшем объяснении, так же как невозможно существование безупречного самообъясняющего описания явлений.

Проблема доказательства в современной математике естественно влияет и на методику различных уровней преподавания. Выдающийся голландский математик и педагог Ганс Фройденталь в своей интересной и поучительной книге "Математика как педагогическая задача" предостерегал, что не следует, вообще говоря, понимать слишком буквально "переоткрытие" математических истин в диалоге Сократа. "Инициатива в сократовском методе принадлежит учителю" [7, с. 78]. Учитель не только помогает ученику, поясняет Фройденталь, но и показывает, как происходит переоткрытие, и, мысленно экспериментируя, по существу, излагает его своему ученику. Быстрота реакции ума, даже при одинаковой математической эрудиции и опытности, указывает на то, что для развития соответствующих способностей необходимо понимание специфической психологии математического мышления.

Наука своими блестящими приложениями доказала, что может давать правильное знание. Хотя по-прежнему остается открытым вопрос: является ли это знание для нас полноценным? Наука по своей природе, вообще говоря, нейтральна в отношении смысла жизни и назначения человека, однако даже для античных философов истина была неотделима от образовательных ценностей.

Литература

1. Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия. Психология. Математика. М., 1998.

2. Еровенко В.А., Михайлова Н.В. О Блезе Паскале и способности человека к здравому мышлению (с позиций математического знания и образования) // Alma mater. 1999. N 11.

3. Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики. М.. 1987.

4. Еровенко В. А., Михайлова Н. В. Теорема Геделя и "онегинский недуг" современного образования // Alma mater. 2000. N 4.

5. Соловьев Ю.П. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма // Соросовский образовательный журнал. 1998. N> 2.

6. Еровенко В. А., Михайлова Н. В. Философия науки Карла Поппера в культурном контексте эволюции абстрактной математики // Вестник Белорусского государственного университета. Сер. 3. 2000. N 1.

7. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 1. М., 1982.

стр. 32