Вы здесь:
Рефераты и курсовые по философии
А.С.Есенин-Вольпин - Формулы или формулоиды?
До 1979 г. я выработал несколько «прототеорий» (касающихся употребления модальностей, семиотических концепций, отождествлений и т.д. в основаниях математики), которыми был намерен восполнить пробелы, образующиеся после устранения глубоко укоренившейся веры в единственность натурального ряда чисел (0, 1, 2, ...). Об этом я уже писал и, по-видимому, вскоре буду писать вновь. Расщепление этого ряда привело к возможности погрузить казавшиеся трудными проблемы оснований теории множеств в некое месиво прототеоретических конструкций, включившее в себя и разного рода парадоксы, и способы их преодоления. G-W среди этих парадоксов не было, потому что употребление различных натуральных рядов приводило к пересмотру тех концепций, к которым применимы геделевские приемы арифметизации метатеорий. Но, начиная с упомянутого года, появилась возможность успешно заменять различные «бесконечные» ряды чисел объектами, финитными в «традиционном» смысле. Возникли финитные (в этом смысле) доказательства непротиворечивости для (расширенной) системы Цермело-Френкеля (ZF), «логика» которой была, однако, несколько урезана.
Лишь в конце 1988 г. мне удалось преодолеть эти «логические» ограничения. Возникли финитные доказательства непротиворечивости для систем ZF (с недостижимыми числами) и T, т. е. шпеккеровской разновидности куайновской системы NF (на которую тоже были в 1991-92 гг., распространены такие доказательства). Одновременно и автоматически возник, в конце работы, G-W а также некоторые «Re-парадоксы», состоящие в некоей формализации относительности понятий конечности и бесконечности, примененных к одному и тому же «множеству». Для оснований математики эти парадоксы не вызывали опасных проблем, так как их удается устранить, пользуясь прототеориями.
Возникший труд был весьма обширен и читателю пришлось бы преодолеть (вряд ли только один) увесистый том прежде, чем добраться до важных результатов, оказавшихся в самом конце. Публикация такого материала по меньшей мере затруднительна. Теперь появляется доказательство противоречия в арифметике, получаемое путем фиштизации доказательства второй теоремы о неполноте. Доказательства непротиворечивости ZF и других важных систем при этом даже не упоминаются. Значение новой работы для этих доказательств состоит лишь в усмотрении того, что препятствие, казавшееся вряд ли преодолимым, хотя и очень серьезно, но не относится специально к таким доказательствам.
Причину появления противоречивых доказательств я предлагаю усматривать в широком распространении «реалистических» (или «платонических») подходов за пределами их обоснованной применимости. «Сущности» явлений иногда расщепляются незаметно для рассуждающего, который не догадывается о необходимости вовремя изменить обозначения. Объекты, которые следовало бы обозначить по-разному и различать, сливаются для рассуждающего в один. При пересчете таких объектов легко может возникнуть путаница.
Это происходит в случаях самсреферентнюс обозначений. Такие обозначения встречаются и в доказательствах теорем о неполноте, и, вполне сходным образом, в заданиях этих противоречивых «доказательств». Встречаются они и в античном парадоксе лжеца. Рассматривая фразу «я лгу», следует различать (по крайней мере) две вхождения слова «лгу»: в запись этой фразы (скажем, на бумаге) и в то вхождение этой фразы, которое этой записью упоминается. Гёдель явно отмечает связь своих доказательств с этим парадоксом лжеца, но соответствующего различения не сделал, заменяв его отождествлением некоторой формулы G (S (v p)), расписанной в одной из строк его доказательства и имеющей в его нумерации номер, равный S (v p), в этом ее «явном» вхождении и другом, которое этим явным вхождением ее части «S (v p)» упоминается - да еще не просто, а особым образом, так что ёе статус во втором вхождении оказывается несовместимым с ее статусом в первом.
Я называю такие отождествления «диагональными», и притом «отрицательными». Иногда они бросаются в глаза, как в обсуждаемых сейчас случаях, но это отнюдь не означает, что их неявного употребления легко избежать с помощью формального критерия, отметающего любые возможности злоупотреблять ими в рассуждениях. «Диагональные отождествления» допускают необозримое множество видоизменений, к которым трудно применять (заранее данные) критерии. Так, если S (v p) введено как V*, получаемое из S (v p A) замещением переменной A посредством нового вхождения v p , отождествляемого с прежним вхождением v p путем «диагонального» отождествления, то нелегко определить, как это V* будет отличаться от результата применения нескольких шагов, при которых A замещается S (v p , v p ) сперва посредством B+1/3 v p а затем в полученном результате посредством 2/3 v p, с последующим упрощением суммы 2/3 v p + 1/3 v p заменой ее на v p (модифицируя пример, легко избежать употребления дробей.)
Поэтому я предлагаю иной подход, сходный с тем, которым воспользовался Г. Кантор, когда «диагональные» подстановки - или отождествления - стали возникать при попытках пересчета (десятичных) разложений действительных чисел, множество таких разложений - а также чисел - было объявлено им неперечисдимым. и это привело к возникновению новых важных концепций, отнюдь не нелепых.
Также и теперь, при возникновении «парадоксов», связанных с перечислениями формул языка (скажем) арифметики, я предлагаю отказаться от того взгляда, будто все эти «формулы» образуют счетную совокупность. Объекты, допускающие хорошо известный (типа алфавитного) пересчет, следовало бы называть не формулами, а, скажем, «формулоидами»; не они, а их конкретные вхождения б математические выводы должны подлежать истолкованиям и становиться осмыслэнными «формулами». Противоречия в сфере формулоид могут возникать, как совершенно неудивительные «контрадикцоиды», от которых далеко до серьезных логических осложнений. Нет необходимости стремиться к их полному изгнанию, они могут встречаться и в теориях, непротиворечивость которых прекрасно доказывается - и в этом важная причина того, что доказательства непротиворечивости могут иметь силу, несмотря на то, что они даны средствами метатеории, оперирующей взаимно противоречащими формулоидами.
При изложении прототеорий следует принимать меры не только к достаточности анализа интуитивной работы с отождествлениями (и другими «актами прототеорий») для избежания опасной путаницы, но и к простоте классификаций (этих «актов») и уменьшению новых видов объектов. Иначе эти виды легко могут стать необозримыми. Поэтому начинать придется с изложения конкретных парадоксов, по возможности не упоминая о прототеориях, которые, впрочем, сами, когда придет время, начнут ломиться в ход традиционных рассмотрений. Значительный пересмотр традиционных взглядов и результатов становится теперь неотвратимым. С «теоремами о неполноте», по-видимому, придется распрощаться, как и с теми следствиями, которые были из них получены многими авторами, и так же может обстоять дело с некоторыми аналогами этих теорем.
Сейчас незачем обсуждать, хорошо это или плохо. Я готов представить свой последний труд к проверке кому угодно, и должен предупредить, что это потребует напряженных формалистических усилий. Лишь после осуществления этой стадии можно будет приступить к изложению моих работ 1988-91 гг. и обновленного изложения прототеорий.
Доказательства утверждений, допускающих финитную интерпретацию, будут излагаться, по возможности финитными же методами.
Комментарии:
ИНФОРМАЦИЯ ПО РЕФЕРАТУ:
СТУДЕНТАМ! Уважаемые пользователи нашей Коллекции! Мы напоминаем, что наша коллекция общедоступная. Поэтому может случиться так, что ваш одногруппник также нашел эту работу. Поэтому при использовании данного реферата будьте осторожны. Постарайтесь написать свой - оригинальный и интересный реферат или курсовую работу. Только так вы получите высокую оценку и повысите свои знания.
Если у вас возникнут затруднения - обратитесь в нашу Службу заказа рефератов. Наши опытные специалисты-профессионалы точно и в срок напишут работу любой сложности: от диссертации до реферата. Прочитав такую качественную и полностью готовую к сдаче работу (написанную на основе последних литературных источников) и поработав с ней, вы также повысите ваш образовательный уровень и сэкономите ваше драгоценное время! Ссылки на сайт нашей службы вы можете найти в левом большом меню.
ВЕБ-ИЗДАТЕЛЯМ! Копирование данной работы на другие Интернет-сайты возможно, но с разрешения администрации сайта! Если вы желаете скопировать данную информацию, пожалуйста, обратитесь к администраторам Library.by. Скорее всего, мы любезно разрешим перепечатать необходимый вам текст с маленькими условиями! Любое иное копирование информации незаконно.
Поиск по БЕЛОРУССКИМ рефератам 
