Г. А. Жаркова

кандидат педагогических наук, доцент Ульяновского государственного педагогического университета им. И. Н. Ульянова

E-mail: zharkovaga@inbox.ru

Статья посвящена вопросам математического моделирования в практике педагогических измерений, позволяя определить основные переменные и параметры педагогического процесса. Рассмотренный пример исследует уровень информационной культуры учителя, динамику его изменения, влияние различных стимулов для его повышения. Предложены новые методы оценки успешности обучения, позволяющие провести тонкую дифференциацию и кластеризацию обучающихся. Математически уточняется понятие образовательной траектории обучения.

Ключевые слова: информационная культура, математическое моделирование, педагогические измерения.

Педагогика возникла как гуманитарная наука, развивается как гуманитарная наука и, по-видимому, всегда будет гуманитарной наукой. Это позволяет ей оперировать категориями, не подвластными точным наукам: личность, сознание, интеллект, образованность и многими другими, что, конечно, не может лишить ее возможностей воспользоваться достижениями такого раздела прикладной математики, как математическое моделирование, бурно развивающегося в последние десятилетия. Базой для этого является теория и практика педагогических измерений, которая должна позволить определить основные переменные и параметры педагогического процесса, шкалировать их числовые оценки.

Вопросы педагогических измерений представляют большой интерес и для учителей-практиков, ежедневно решающих проблему адекватных и обоснованных оценок успеваемости своих учеников, и для теоретиков, разрабатывающих психолого-педагогические подходы к оценке развития личности [1]. За последние годы эти проблемы приобрели особую актуальность из-за перехода всей страны к ЕГЭ.

Одним из направлений в проблематике педагогических измерений является улучшение методов интерпретации полученных результатов измерений. уточним, что речь идет о результатах измерений, полученных в ходе проведения тестов учебных достиже-

ний, предназначенных для измерения воздействия обучения [2]. При этом подразумевается, что контроль достижений проводится регулярно, представляя собой систему начальных, промежуточных и итоговых аттестаций.

В примере, обсуждаемом ниже, мы поставили перед собой задачу обработать результаты обучения более 2500 учителей школ города ульяновска и ульяновской обл. информационным технологиям. Основная цель данных курсов - повысить уровень информационной культуры (УИК) учителя, познакомить его с возможностями современного информационного сообщества, приобщить к эффективному использованию компьютера и ресурсов Интернета в реальном школьном учебном процессе.

В данном исследовании мы поставили задачу оценить уровень информационной культуры слушателей до и после обучения, проследить распределение УИК в педагогической среде, выявить динамику изменения УИК за период обучения, раскрыть причины этого изменения. Для этих целей нами был разработан тест из 53 вопросов, который каждый слушатель выполнял дважды: в начале и в конце обучения. Ответы на каждое задание оценивались экспертами (преподавателями университета) по шкале от 0 до 5 баллов, пропорционально знаниям и умениям слушателя по некоторым общераспространенным информационным технологиям и программам.

Обработка ответов слушателей фактически позволила создать шкалу "достаточность - недостаточность уровня знаний". При обработке тестов была применена следующая методика. Пусть в тесте m заданий, на каждое из которых дан ответ, оцененный в n_i (i = 1,2, ... m) баллов (с учетом коэффициентов трудности вопроса), M - максимальное количество баллов, которое можно набрать в тесте. Тогда безразмерная средняя оценка за тест равна

Таким образом,

- результат обработки одной анкеты - и есть оценка уровня информационной культуры слушателя.

Во многих приложения эталоном "хорошего" распределения принимается нормальное распределение. Этот эталон представляется обоснованным и для педагогики, ведь результат педагогического воздействия всегда является суммой большого числа независимых факторов. По этой методике нами было обработано около 5000 заданий в тестовой форме. В первую очередь нас интересовало распределение значений УИК {u} для слушателей курсов до и после обучения.

Распределение "до" невозможно отнести к какому-либо стандартному типу: в 46% выполненных заданий u₁ = 0, в 75% - u₁ < 5. При этом в группе заданий "до" среднее значение Безусловно, это отражает катастрофическое состояние реального уровня информационной культуры в школьной преподавательской среде. Этот уровень ниже, чем у их учеников-старшеклассников. Причины известны: отсутствие мотивации к использованию компьютерных технологий и ресурсов Интернета в своей профессиональной деятельности, слабость институтов повышения квалификации работников образования, часто не имеющих ни квалифицированных кадров, ни современной техники, ни ресурсов.

Распределение значений {u} в группе тестов "после" с высоким уровнем коэффициента доверия может быть отнесено к нормальному распределению с параметрами Это отражает, с одной стороны, "правильность" хорошо поставленного учебного процесса обучения на курсах, а с другой стороны, что более важно, большую восприимчивость преподавательской среды ко всем возможностям компьютерных технологий, реально влияющих на их профессиональную деятельность.

Факт нормальности распределения УИК подчеркивает его "обычность" как некоторого знания, умения, навыка, на уровень которого влияют в процессе обучения многочисленные независимые факторы. Теперь очевидно, что распределение УИК нельзя трактовать как поляризованную структуру, где есть большая доля людей, не способных повысить свой УИК, и малая доля людей, знающих все.

Если подсчитать средние значения и а также описываемых ниже индексов успеха в обучении для различных категорий

слушателей наших курсов (пол, возраст, специальность и т. п.), то можно отметить абсолютно одинаковые результаты у мужчин и женщин, строгое убывание всех характеристик и индексов с увеличением возраста, заметно меньшие значения всех индексов у районных учителей по сравнению с городскими, а также очень высокие результаты у преподавателей информатики.

Поскольку каждый слушатель курсов выполнял задание дважды, то подсчитывалось два значения УИК: u₁ (до обучения) и u₂ (после обучения). Эту пару чисел (и₁, и₂) можно представить точкой на плоскости (см. рис. 1). Расположение каждой отдельной точки характеризует динамику изменения УИК данного слушателя, достигнутые им успехи за период обучения на курсах. Отметим, что все точки находятся выше диагонали квадрата (то есть u₁ < u₂). Таким образом, все слушатели в той или иной степени повысили свой УИК.

Рис 1. Диаграмма учебных достижений слушателей курсов с изофортами различных индексов успешности обучения

Поставим вопрос: каким показателем (индексом) выразить понятие "успех обучения" того или иного слушателя? Или, что то же самое, как оценить качество учебных достижений слушателя или определенной группы слушателей? Как на этой плоскости располагаются точки, соответствующие слушателям, показавшим одинаковые успехи в обучении? Такие линии будем называть "изофортами" (изо... + fort движение вперед), то есть линиями, соединяющими точки с одинаковыми значениями индекса успеха обучения.

На наш взгляд, многие проблемы анализа учебного процесса решались бы эффективнее и надежнее, если бы были разработаны и опробованы в реальном учебном процессе математические (в том числе и имитационные) модели. Соответственно, обработка результатов педагогических экспериментов, таких как, например, представленные на рис. 1, была бы более адекватной и точной, если бы мы могли руководствоваться некоторой математической моделью учебного процесса.

Рассмотрим несколько однопараметрических математических моделей взаимосвязи между значениями u₁ и u₂, то есть различные способы подсчета успешности обучения.

Понятие "успех обучения" того или иного слушателя за один цикл можно выразить различными числовыми показателями (индексами).

Простейшая (на практике чаще всего встречающаяся) аддитивная модель:

Пропорциональная модель:

(здесь индекс численно равен проценту уменьшения "незнания" в результате обучения). В этой модели прогнозируемое относительное уменьшение "незнания" постоянно для всех слушателей независимо от уровня их предварительных знаний (т. е. от величины u₁).

Нелинейная модель, в которой требуется, чтобы эта величина была больше для тех слушателей, у кого u₁ было больше:

Отсюда

По существу в модели (4) от слушателя требуется, кроме прогнозируемого уменьшения "незнания", дополнительно реализовать свои потенциальные возможности, пропорциональные величине своих предварительных знаний. Использование нелинейной модели можно сравнить с практикой работы профильных старших классов средней школы (в первую очередь физико-математических и информационно-математических). ученики этих классов заведомо идут на ухудшение своих оценок (по сравнению с общеобразовательными классами той же школы), добровольно принимая на себя обязательства работать на максимуме своих интеллектуальных возможностей.

Отметим, что для рассматриваемых индексов всегда справедливы неравенства

Линии уровня (изофорты) аддитивного индекса (т. е. точки, где Δ₁ = const) - прямые, параллельные диагонали квадрата (см. рис. 1). Линии уровня пропорционального индекса (Δ₂ = const) представляют собой пучок прямых, проходящих через точку (100; 100), причем на графике при u₁ = 0 будет u₂ = Δ₂ Линии уровня нелинейного индекса (Δ₃ = const) представляют собой параболы, проходящие через точку (100; 100), причем на графике при u₁ = 0 будет u₂ = Δ₃ Область, находящаяся выше соответствующей изофорты, составлена из точек (результатов эксперимента), для которых соответствующий индекс успешности больше, чем пометка на изофорте.

Опишем, как проводится сравнение индивидуальных достижений слушателей. Рассмотрим трех гипотетических слушателей, оценки уровней успешности обучения которых по результатам тестирования до и после обучения представлены на рис. 2.

Видно, что Однако разумно было бы считать, что успехи второго и тем более третьего выше, чем у первого. Таким образом, аддитивная модель не подходит для сравнения достижений обучающихся, если их предварительные знания значительно различаются.

Рис. 2. Диаграмма примера сравнения учебных достижений

При применении пропорциональной модели отметим, что "незнание" (т. е. величина 100 - u₁) первого уменьшилась в 2 раза (со 100 до 50), также как и для второго (с 75 до 37,5). Разумно считать, что их успехи в обучении одинаковы. Так как для третьего слушателя (т. е. он уменьшил свое "незнание" с 50 до 16,7, или в 3 раза), то его успехи можно считать еще более значительными.

Однако у третьего предварительные знания были больше, чем у второго и тем более чем у первого. Следовательно, у него была перед ними значительная фора, позволявшая ему рассчитывать на еще больший успех. Эта фора отражается в нелинейной модели, согласно которой т. е. их успехи по этому индексу получаются одинаковыми. Более того, так как то первый слушатель добился, согласно этой модели, лучших результатов, ведь у него не было никакой форы!

Таким образом, ясно, что аддитивную модель можно применять только для сравнения однородных по подготовке и возможностям групп обучающихся. Пропорциональная модель наиболее объективна, особенно в случаях, когда задание на обучение фиксировано. В этом случае средняя по потоку обучающихся величина может служить эталоном реального учебного задания, а индивидуальные отклонения от нее являются прообразом "оценки" слушателя. Однако если необходимо подчеркнуть инди-

видуальные различия в подготовке слушателей, то нелинейная модель и оценки, на ней основанные, представляются наиболее справедливыми и нацеленными на самостоятельное развитие личности.

Опишем возможную кластеризацию слушателей с использованием свойств индекса Δ₃.

Можно показать, что гипотеза о нормальности эмпирического распределения {Δ₃} отвергается статистическими критериями. Ее основное отличие от нормального распределения состоит в том, что гистограмма {Δ₃} имеет три-модальный характер, т. е. имеет три максимума и, соответственно, два минимума. Можно сказать, что эмпирическое распределение {Δ₃} подобно распределению смеси трех нормальных распределений. В нашем примере это означает, что точки рис. 1 разбиваются на три кластера линиями, на которых Δ₃ = 24 и Δ₃ = 64.

Отметим, что эти кластеры не связаны напрямую с какой-либо индивидуальной характеристикой слушателей (специальностью, возрастом, полом, местом работы), однако они имеют четкое психолого-педагогическое объяснение. Те слушатели, у кого 24 < Δ₃ < 64 (их 61%, кластер 2), выполнили средний уровень учебного задания (и, видимо, были нацелены только на его выполнение), не претендуя на реализацию своих интеллектуальных возможностей и профессиональных амбиций. Те слушатели, у кого Δ₃ > 64 (их 24%, кластер 3), значительно превысили уровень учебного задания, т. е. работали на максимуме своих возможностей. Слушатели, у кого Δ₃ < 24 (их 16%, кластер 1) работали на минимуме своих возможностей. Отметим, что среди них есть те, у кого значение u₁ было велико, но прирост знаний оказался мал.

Приведем таблицу распределения слушателей различных личностных категорий по описанным кластерам.

Здесь можно отметить практически одинаковые результаты у городских и районных учителей, высокую мотивированность обучения молодых преподавателей (до 35 лет), а также очень высокие индивидуальные результаты у преподавателей информатики.

Таблица распределения слушателей различных личностных категорий по кластерам

Таким образом, индекс ?₃ не только отражает особенности обучения слушателей с повышенным уровнем знаний, но и служит средством внутренней классификации обучающихся.

Отметим, что модели успешности обучения позволяют также дать определения понятию "образовательная траектория", проанализировать типы траекторий при различных способах организации учебного процесса.

ЛИТЕРАТУРА

1. Аванесов В. С. Педагогическое измерение латентных качеств // Педагогическая диагностика. - 2003. - N 4. - С. 69 - 78.

2. Диагностика успешности учителя. - М.: Педагогический поиск, 2003.

EXPERIENCE OF MATHEMATICAL MODELS USE IN PROCESSING OF PEDAGOGICAL MEASUREMENT RESULTS

G. A. Zharkova

candidate of pedagogical sciences, senior lecturer of the Ulyanovsk State Pedagogical University after I.N. Ulyanov

The article is devoted to mathematical modeling in practice teaching measurements, allowing to identify key variables and parameters of the pedagogical process. The above example investigates the level of information culture of the teacher, the dynamics of change, the impact of various incentives to improve it. The new methods to assess the success of learning, allowing to fine differentiation and clustering of students.

Keywords: information culture, mathematical modeling, pedagogical dimension.