КРАСОТА - В МАТЕМАТИКЕ, МАТЕМАТИКА - В КРАСОТЕ

Статьи, публикации, книги, учебники по вопросам математики.

NEW МАТЕМАТИКА


МАТЕМАТИКА: новые материалы (2022)

Меню для авторов

МАТЕМАТИКА: экспорт материалов
Скачать бесплатно! Научная работа на тему КРАСОТА - В МАТЕМАТИКЕ, МАТЕМАТИКА - В КРАСОТЕ. Аудитория: ученые, педагоги, деятели науки, работники образования, студенты (18-50). Minsk, Belarus. Research paper. Agreement.

Полезные ссылки

BIBLIOTEKA.BY Беларусь глазами птиц HIT.BY! Звёздная жизнь KAHANNE.COM Беларусь в Инстаграме


Автор(ы):
Публикатор:

Опубликовано в библиотеке: 2018-07-24


Математическая деятельность является предметом исследований специалистов различных областей знания: математиков, психологов, педагогов, философов и т.д. Объясняется это не только специфичностью и сложностью математического познания, но и его особой ролью в развитии мышления. Так, по мнению Ж. Пиаже, изучение математических структур ведет к образованию адекватных им умственных структур - основ и механизмов мышления человека вообще. Поэтому от усвоения этого предмета школьниками во многом зависит их успех в обучении другим дисциплинам.

Математическая деятельность, считают многие известные специалисты в этой области, пронизана стремлением к творчеству по законам красоты. Именно эстетический фактор ориентирует исследователя на выбор наиболее оптимального пути из различных альтернативных направлений научного поиска. Д.фон Нейман считал, что математика, как и искусство, движима почти исключительно эстетическими мотивами, а один из выдающихся математиков XX в. Жак Адамар утверждал, что ученый, видя структурно несовершенную, несимметричную, "кривобокую" математическую конструкцию, начинает испытывать потребность в активной деятельности по ее гармонизации и совершенствованию [1]. Это утверждение вызывает ряд вопросов: почему такая конструкция воспринимается как не вполне удачная? Какая конструкция является привлекательной? Ответы на эти и многие другие вопросы обусловлены пониманием феномена красоты.

Оказывается, что существуют разные точки зрения на содержание этого понятия. Одна из них основана на том, что чувство красоты есть продукт отражения в сознании эстетических свойств окружающего мира. К таким свойствам относят гармонию, стройность, соразмерность, которые являются атрибутом самой природы. Это позволяет сделать вывод о том, что в красоте объектов проявляется их свойство, существующее независимо от сознания. Психологическая основа данной трактовки красоты видится в интуитивном влечении психики человека к изяществу и гармонии, постигаемым чувствами.

Сторонники другой точки зрения считают, что красота - это продукт ума, свободной мысли. Так, И. Кант полагал, что красота есть целесообразность без цели, она выражает способность человека мыслить природу по законам свободы. Такому пониманию красоты вряд ли можно найти конкретное приложение в обучении.

Многих мыслителей привлекала красота человеческого лица. Некоторым из них она представлялась даром богов, особенно это касалось женской красоты, воспеваемой в поэзии, литературе, живописи. Другие пытались объяснить ее природу биологической целесообразностью, приспособленностью к природным условиям (А. П. Казанцев). При такой версии возникает ряд вопросов, на которые нет ответа: каким образом, воспринимая лицо, мы определяем степень его приспособленности к условиям существования? Как измерить его биологическую полноценность? Н. Г. Чернышевский, оценивая привлекательность лица, исходил также из идеи целесообразности, но не биологической, а социально утилитарной. Заметим, что мнения людей о красоте лица были порой даже

Статья подготовлена при финансовой поддержке Минобразования России. Грант Г02-2.2- 16.

стр. 24

противоположны: формы, которые считались эталоном красоты у одного народа, другим казались чуть ли не уродливыми.

Наконец, в 60-х гг. прошлого столетия известному психологу Р. Х. Шакурову удалось продвинуть решение этой проблемы. Им была выдвинута гипотеза о том, что красивы те черты лица, которые при зрительном восприятии укладываются в их обобщенный образ - стереотипный усредненный стандарт, сформировавшийся у человека в ходе общения с другими людьми. Под влиянием конкретной ситуации в коре головного мозга актуализируются определенные образы, бессознательно "ждущие" встречи с соответствующим им объектом. Когда ожидание, основанное на обобщенном стандарте, беспрепятственно реализуется, это переживается как встреча с красотой [2].

Говоря о красоте лица, Р. Х. Шакуров выделяет и такие его черты, как эмоциональность, оригинальность, динамизм, выражение ума. Учитывая сказанное, можно утверждать, что это - сложное качество, составляемое как статическим компонентом, образуемым обобщенным стандартом, так и динамическим, наполняемым оригинальностью, эмоциональностью и т.д.

Данное понимание красоты объясняет появление эстетического впечатления от созерцания многих объектов. Например, загадку "золотого сечения" можно объяснить тем, что наши глаза предпочитают среди прямоугольных фигур такие, длина и высота которых соотносится друг с другом как 3:2. Это - примерные размеры нашего зрительного поля, обусловленного конфигурацией глазной щели. Естественно, что в зрительной зоне мозга постепенно формируется модель этого пространства - стандарт, хотя и без четких границ. Поэтому и прямоугольные фигуры с указанным соотношением размеров кажутся более привлекательными. Заметим, что с помощью этой "божественной пропорции выявлены связи между музыкой и архитектурой. Оказалось, что и в архитектуре, и в музыке большое значение придается пропорциям, близким к "золотому сечению". Основу взаимосвязи математики, музыки, языка составляет тождественность их структур, которая скрывается за внешним различием языковых, музыкальных, математических структур. Так, в языковых параллелях таится строгая логика, присущая математическим рассуждениям, а в музыкальности стиха немало заимствовано от музыки. Анализ классических произведений искусства показал, что большая их часть построена на соблюдении отношений золотого сечения. Оказалось, что этому закону подчиняются пропорции великих пирамид - первого чуда света, а основу "Слова о полку Игореве" составляет круговая композиция с отношением числа стихов во всех трех частях произведения к числу стихов в первой и последней, равным 3,14, т.е. близкому к числу ?.

Указанное понимание красоты можно распространить и на математические объекты. Наиболее привлекательным для школьника будет тот из них, восприятие которого соответствует сформировавшемуся у него образу. Этот вывод подтверждается практикой. Известно, например, что учащиеся из предложенной им совокупности геометрических задач выбирают те, в условии которых используются фигуры, наиболее распространенные в школьном курсе геометрии. При этом особое внимание они уделяют тем задачам, при решении которых им приходится использовать методы эстетической эвристики, например - достраивание фигуры до квадрата.

Попытку раскрыть содержание эстетической привлекательности математического объекта предпринимали и математики. Так, Э. Т. Белл это содержание описывает совокупностью следующих характеристик: универсальность использова-

стр. 25

ния в различных разделах математики; продуктивность или возможность побудительного влияния на дальнейшее продвижение в данной области на основе абстракции и обобщения; максимальная емкость охвата объекта рассматриваемого типа [3]. Некоторые исследователи перечисленные характеристики дополняют новыми: глубоким контрастом между уровнями сложности выводимого факта и используемых при этом аппаратных средств, достигаемым за счет использования тех или иных эвристических процедур; четко выраженной упорядоченностью, гармонией целого и частей, как чувственной (например, через идею симметрии), так и интеллектуальной (например, через осознание стройности математических доказательств). В качестве примера математического объекта, удовлетворяющего указанным критериям, Э. Т. Белл приводит задачу построения правильных многоугольников, решенную К. Гауссом в конце XVIII в. Она явилась результатом органического синтеза алгебры, геометрии, теории чисел и послужила в прошлом стимулом для многих алгебраических исследований, а внешняя простота, ярко выраженная симметричность, безукоризненная стройность решения побудили исследователей математического творчества называть эту задачу "настоящим произведением искусства" и "математической поэмой".

По мнению В. Г. Болтянского, красота математического объекта может быть выражена посредством изоморфизма между объектом и его наглядной моделью, простотой модели и неожиданностью ее появления. Это утверждение можно подкрепить формулой "математической эстетики" из его статьи [4]: красота = наглядность + неожиданность = изоморфизм + простота + неожиданность (изоморфизм предполагает правильные, неискаженные отражения основных свойств явления в его наглядном представлении). Мера красоты тем выше, чем меньше мера сложности объекта или чем проще его наглядная модель.

Наиболее четкая характеристика эстетической привлекательности математического объекта была дана Г. Биркгофом: М=О/С, где М - мера красоты, О - мера порядка, а С - мера усилий, затрачиваемых для понимания сущности объекта [5]. Очевидно, в случае затраты минимума усилий (а это возможно, когда восприятие объекта укладывается в обобщенный его образ), мера красоты возрастает прямо пропорционально росту меры порядка. Отсюда следует, что для ученика красивыми математическими объектами будут те, восприятие которых сопряжено с наименьшими усилиями с его стороны. Эстетическая мера будет увеличиваться с упорядочиванием структуры объекта, что осуществляется в процессе его преобразования. Сказанное объясняет привлекательность симметричных объектов. С детства человек видит симметрию в бабочках, птицах, животных, волшебных узорах снежинок, бордюрах, лестничных маршах и т.д. Она воплощает порядок, царящий не только в природе. Симметрия, являясь самой впечатляющей формой порядка, понимается и как гармония отдельных составляющих системы математических знаний. Носителями симметрии являются многие арифметические и алгебраические конструкции и структуры: теория пропорций, различные числовые структуры, множество подстановок корней уравнения, симметрические многочлены и т.д. Содержание симметрии постоянно расширяется и обогащается. Примером может служить создание компьютерных образов на основе фрактальной геометрии.

Выразителем гармонии системы математических знаний выступает и логика математических выводов. Способность к логическим рассуждениям формируется в процессе наблюдения человека за собой и другими людьми как за мыслящими существами. Таким образом, логика тоже

стр. 26

есть продукт наблюдения, но только не за реально ощутимыми объектами, а за речевыми конструкциями, стандартами, которые выстраивает человек в процессе его общения с другими людьми.

На важность меры порядка в проявлении эстетического чувства обращают внимание многие математики. Так, А. Пуанкаре видит математические характеристики, которым приписывают свойства красоты и изящества, в элементах, гармонически расположенных таким образом, что ум без усилий может их охватывать целиком, угадывая детали. Эта гармония служит одновременно удовлетворением наших эстетических чувств и помощью для ума, она его поддерживает и ею он руководствуется [6]. По мнению этого ученого, именно симметрия, понимаемая как гармония отдельных составляющих системы математических знаний, их счастливое равновесие, вносит в эту систему порядок, сообщая ее компонентам внутреннее содержательное единство. Поэтому наиболее привлекательными являются изящные доказательства. Обычно изящество достигается использованием метода, который не просматривается из условия задачи при поиске способа обоснования ее требования, либо дополнительным построением, аналогией, обобщением и т.п. Усилению эстетичности математических объектов будут способствовать богатство приложений результатов исследования как в математике, так и в смежных дисциплинах, оригинальность суждений, формулируемых в процессе исследования. Привлекательными будут оригинальные доказательства, способы решения задач, самостоятельно открытые учащимися теоремы, сформулированные ими самими задачи и т.д. Таким образом, эстетическим потенциалом, основанным на идее симметрии, обладает большой объем даже школьного учебного материала, который должен быть использован при разработке методики обучения математике.

В содержании понятия простота некоторые исследователи выделяют такие признаки, как немногочисленность и общность исходных гипотез, возможность актуализации (при выдвижении этих гипотез) привычных образных представлений, а также наиболее прямой и естественный ход обоснования гипотез. Ряд математиков утверждает, что простота как эстетическое качество предполагает наличие в числе его характеристик неожиданности, выражающейся в контрасте между очевидностью и естественностью утверждений и трудностью их обоснования. Многие простые и общие теоремы высшей арифметики естественно возникают из простейших вычислений, однако при их доказательстве часто встречаются большие трудности. Такая особенность, по мнению К. Гаусса, придает высшей арифметике неотразимое очарование, сделавшее ее любимой наукой величайших математиков. В качестве эстетической привлекательности отмечается и обратный контраст между громоздкостью, сложностью условия задачи и простым изящным ее решением. Наконец, в качестве еще одной формы контраста называют несовпадение полученного решения с предполагаемым. Когда после длинных выкладок приходим к какому-нибудь поразительному по простоте результату, замечает А. Пуанкаре, мы до тех пор не чувствуем себя удовлетворенными, пока не покажем, что мы могли бы предвидеть если не весь результат в целом, то, по крайней мере, его наиболее характерные черты.

Некоторые исследователи относят к критериям эстетической привлекательности сведение сложности к простоте (В. М. Волькенштейн). Последнее понимается в смысле нахождения минимальной программы, наиболее общей и универсальной закономерности для данного круга явлений. Оценку эстетичности объекта предлагается определять как отношение наблюдаемой сложности к минимальной

стр. 27

программе. (Числитель и знаменатель дроби выражены в битах - единицах количества информации.) Минимизация программы означает отсечение избыточной информации, характеризующей наблюдаемую сложность. Такие мысли об эстетической привлекательности объекта содержатся в работах философа С. Котиной. Наиболее простым математическим выражением, отмечает она, будет такое, которое более информативно, более компактно и сможет объяснить большее количество феноменов.

Перечисленные характеристики красоты математического объекта соотносятся, как легко заметить, либо с его внешней стороной, либо с внутренней, реализующейся в его исследовании. Это было подмечено еще А. Пуанкаре, который выделял в числе эстетических факторов, заложенных в математическом содержании, красоту качества или видимых свойств, характеризующуюся мимолетностью впечатлений, и более глубокую, постигаемую только чистым разумом красоту интеллектуальную. Последняя не только создает почву, "остов для игры видимых красот, ласкающих наши чувства", но и "дает удовлетворение сама по себе".

Указанные виды красоты выполняют разные функции в математической деятельности. Первая из них реализуется созерцанием эстетически привлекательной формулировки изучаемой теоремы, задачи, рисунка. Если же рассматриваемая конструкция выглядит несовершенной, т.е, какие-либо ее элементы или она в целом не соответствуют стереотипным образам, то возникает желание ее исправить, появляется потребность в активной деятельности по гармоничному дополнению структуры математического знания. Познавательный интерес проявляется в ситуации, когда воспринимаемый стимул похож на его стандартную модель, но не укладывается в нее полностью. Абсолютно новый стимул не вызывает интереса, поскольку он не представлен в психике, нет его стереотипного образа в голове, подчеркивает Р. Х. Шакуров. Интеллектуальная красота постигается в процессе активной творческой деятельности по преобразованию объекта, выбору направления научного поиска, который, в свою очередь, осуществляется под действием эстетических факторов. Проведенные исследования показывают, что учащиеся при решении задачи чаще используют эвристики эстетического характера, ведущие либо к достраиванию рисунка до более симметричного, либо к гармонии целого и части, либо к обобщению или аналогии, либо к рассмотрению частного случая и т.д.

С повышением уровня математической подготовки школьников усиливается влияние эстетических мотивов на осуществление поисковой деятельности, расширяется круг эстетических факторов и их выбора в различных конкретных ситуациях, что способствует более высокому пониманию математической красоты, которое соотносится с творческой математической деятельностью, с изящностью рассуждений, с различными способами решения задачи. Как отмечал А. Пуанкаре, чувство изящного есть чувство эстетического удовлетворения, обусловленное взаимным приспособлением между математическим объектом и потребностями нашего ума. В силу такого именно приспособления данный объект становится как бы собственностью нашего ума и может служить орудием в дальнейшем познании.

Итак, содержание понятия красоты характеризуется следующими признаками:

* соответствием математического объекта его стандартному, стереотипному образу;

* порядком, логической строгостью;

* простотой;

* универсальностью использования этого объекта в различных разделах математики;

стр. 28

* оригинальностью, неожиданностью.

Учитывая сказанное, в эстетическом восприятии математического объекта можно выделить следующие уровни:

1) восприятие основано только на совпадении предъявляемых объектов с их образами, сформированными у школьников;

2) восприятие обусловлено тем, что предъявляемый объект не полностью соответствует своему образу, однако его "доведение" до образа как бы подсказывается структурой этого объекта (достроить фигуру, дополнить часть до целого и т.д.);

3) восприятие объекта смещается на его внутреннюю структуру. В частности, если таковым объектом является задача, то ее эстетическая привлекательность заключена в поиске различных способов ее решения, применении аналогии, обобщения, выделении из этих способов наиболее оригинального.

Понятие красоты и уровни эстетической привлекательности математического объекта помогают решить ряд дискуссионных проблем обучения математике. Отметим некоторые из них.

1. Методика обучения доказательству рекомендует как можно раньше приобщать школьников к самостоятельному открытию фактов и способов их обоснования, хотя у учащихся еще нет даже самого простого представления о процессе доказательства, его составляющих. Само требование "доказать не вызывает у них нужных ассоциаций. Процесс самостоятельного поиска доказательства основывается на ряде логических и эвристических операций, многими из которых учащиеся VI-VII классов еще не владеют. Поэтому на первых уроках геометрии следует воспользоваться готовыми доказательствами с целью изучения структуры логического вывода, связей логических шагов. Основная задача обучения математике в V-VI классах заключается в формировании обобщенных моделей фигур, стандартов логических рассуждений, эмоционально-образном воспитании учащихся. В мотивационной сфере должны преобладать эстетические мотивы. Самостоятельное доказательство должно основываться на понимании готового доказательства, порядка, что ведет к формированию устойчивых математических образов.

Учитывая, что у ребенка по мере его взросления развиваются пространственные представления об окружающем мире, приобретающие форму устойчивых образов реальных объектов, изучение элементов геометрии V-VI классах надо строить на идее фузионизма (от лат. fusio - сплавление), однако она не должна быть стержневой. В основной школе должен предлагаться систематический курс планиметрии, а в старших классах - курс стереометрии. Заканчивать изучение геометрии в средней школе следует знакомством школьников с аксиоматическим методом не только как методом организации математической теории, но и эффективным эвристическим средством, а также выходом в геометрию четырехмерного пространства. Известно, что необходимость систематических курсов некоторыми математиками и методистами оспаривается. Они предлагают, в частности, создать единый курс планиметрии и стереометрии. Однако построить его на достаточно строгом логическом уровне в основной школе невозможно. Он будет представлять собой набор различных фактов, поэтому будет невысокой как мера порядка его организации, так и мера привлекательности, что, несомненно, будет отражаться на интересе к его изучению, а следовательно, и на знаниях и умениях школьников.

2. Известны многолетние дискуссии по вопросу использования алгебраического метода решения текстовых задач. Одни участники спора выступают за раннее введение метода уравнений, другие считают, что основное внимание в начальной школе и в V-VI классах должно уделяться арифметическому методу. С по-

стр. 29

зиции красоты вряд ли будет казаться привлекательным в этом возрасте решение текстовой задачи с применением уравнений, потому что рассуждения, осуществляемые в процессе ее решения, не будут для ученика естественными.

Изначальным стимулом развития математического знания является потребность в решении конкретных практических задач, которая "неизбежно приобретает внутренний размах и выходит за рамки непосредственной полезности" [7]. Поэтому использование текстовых задач в обучении математике на ранних этапах необходимо, однако спешить с применением уравнений в их решении не следует. Последнее предполагает ряд таких умений (моделировать словесно заданные ситуации, выражать величины одну через другую и т.д.), которые как раз и формируются при решении текстовых задач арифметическим способом. Ученик, овладевший хотя бы некоторым опытом решения текстовых задач арифметическим методом, при встрече с алгебраическим методом будет в какой-то мере удивлен оригинальностью суждения при его использовании, и эта неожиданность будет усиливать привлекательность алгебраического метода.

3. Анализируя учебники геометрии для основной школы, мы видим, что "метод от противного" используется при решении задач уже на первых уроках геометрии, хотя учащиеся еще не осознали смысл прямого обоснования. Поэтому в такой ситуации применение этого метода может вызвать лишь неприязнь к изучению геометрии.

Итак, эффективность математической деятельности во многом обусловлена эстетическими закономерностями. Вместе с тем исследователи полагают, что эстетический потенциал математики заложен "глубже", чем в искусстве. Его актуализация требует специальной работы, в основе которой находятся закономерности формирования понятий, изучения теорем, иерархия уровневой эстетической привлекательности математических конструкций. Так, в процессе формирования понятий на этапе мотивации введения понятия предпочтение следует отдавать математическим объектам с явными элементами эстетических свойств во внешнем чувственном облике либо в сущностном анализе внутренних процессов, зависимостей и отношений. Примером таких объектов являются многогранники, графики, задачи с внешней привлекательностью их условий, проявляющейся в задачной ситуации, в занимательной фабуле задачи, в таблицах, схемах, рисунках.

Эстетичность задачи может быть усилена неожиданной постановкой вопроса, способом преподнесения задачи учителем, организацией деятельности по ее решению. Положительные эмоции возникают и от привлечения в материал урока художественных произведений, исторических сведений, соответствующих изучаемой теме.

Объекты, используемые на этапе мотивации введения понятия, должны служить раскрытию таких признаков красоты математических объектов, как: упорядоченность, проявляющаяся в сочетании аналитических и геометрических факторов, в симметрии формы, возможность установления неожиданных связей, контрастность между сложностью вводимого факта и простотой используемых средств; достаточно высокая степень обобщенности; возможность визуализации объекта. На данном этапе следует использовать объекты, являющиеся носителями образов математических объектов с выявленными эстетическими свойствами и обнаруживающие логику процесса. Это - различные рисунки, схемы, модели, таблицы. Такие объекты выполняют двойную функцию: с одной стороны, они способствуют созданию эстетического фона обучения математике, с другой, наглядно отображая обна-

стр. 30

руженные взаимосвязи, результаты обобщений, логику процесса познания, служат раскрытию внутренней красоты математики.

На этапе выявления существенных свойств учащиеся знакомятся с содержанием и объемом понятия в процессе различных построений, работы с моделями объектов и т.п. Таким образом они активно участвуют в "рождении" понятия, что способствует развитию интереса к его изучению. Данный этап подготавливает к формулировке определения понятия, создает для этого наглядно-образную базу. Логическая организация наглядных представлений способствует развитию привлекательности учебного материала, формирует тем самым эстетический вкус.

Этап усвоения определения понятия предполагает овладение действиями распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объектов, относящихся к объему понятия, и их совокупностей. На данном этапе получает дальнейшее развитие формирование образов объектов и стандарта логических рассуждений. Эстетическое воспитание на этапе применения понятия осуществляется через решение задач. Следует иметь в виду, что эстетический потенциал задач можно повысить посредством расширения их требований, установки на исследование задачной ситуации и составления на ее основе новых задач, использования неопределенности требования, предполагающей рассмотрение различных случаев, усиления таких эффектов, как неожиданность, простота, оригинальность.

На этапах систематизации понятий и логических операций с ними постигаются их взаимосвязи, субординация, формируются умения применять понятия в различных их комбинациях. Все это способствует развитию эстетического вкуса и эстетических мотивов школьников.

Каждому уровню эстетического восприятия можно поставить в соответствие тип задач, в процессе решения которых обеспечивается его формирование: 1) задачи, условия которых реализуют наглядную выразительность; 2) задачи, условия которых представимы такими моделями, которые можно упростить; 3) задачи, решаемые различными способами, либо с неожиданным решением. Многие задачи путем некоторой корректировки их условий можно ориентировать на заданный тип эстетической потребности. Зная, на каком уровне эстетического развития находится каждый ученик, учитель с помощью специальных задач может целенаправленно формировать эстетический вкус школьника. В свою очередь, это дает возможность управлять с помощью эстетических мотивов его учебной деятельностью.

Таким образом, красота помогает организовать конструктивную математическую деятельность школьников, в которой они принимают активное участие, проявляя свою творческую индивидуальность, и обратно, математическое познание, ориентированное на эстетическое воспитание учащихся, является для них самым продуктивным и интересным.

ЛИТЕРАТУРА

1. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., 1970.

2. Шакуров Р. Х. Эмоции. Личность. Деятельность. Казань, 2001.

3. Белл Э. Т. Творцы математики: предшественники современной математики. М., 1979.

4. Болтянский Б. Г. Математическая культура и эстетика // Математика в школе. 1982. N 2.

5. Биркгоф Г. Математика и психология. М., 1977.

6. Пуанкаре А. О науке. М., 1990.

7. Курант Р., Робине Г. Что такое математика? М., 1967.


Новые статьи на library.by:
МАТЕМАТИКА:
Комментируем публикацию: КРАСОТА - В МАТЕМАТИКЕ, МАТЕМАТИКА - В КРАСОТЕ

© Г. И. САРАНЦЕВ ()

Искать похожие?

LIBRARY.BY+ЛибмонстрЯндексGoogle

Скачать мультимедию?

подняться наверх ↑

ДАЛЕЕ выбор читателей

Загрузка...
подняться наверх ↑

ОБРАТНО В РУБРИКУ

МАТЕМАТИКА НА LIBRARY.BY


Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY на Ютубе, в VK, в FB, Одноклассниках и Инстаграме чтобы быстро узнавать о лучших публикациях и важнейших событиях дня.