ЭКОНОМИКА (последнее)
МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА, ОСНОВАННАЯ НА ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
Актуальные публикации по вопросам экономики.
В. К. Горбунов1, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой экономико-математических методов и информационных технологий Ульяновского государственного университета
МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА, ОСНОВАННАЯ НА ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ2
1. Классическая теория потребительского спроса и проблема ее обобщения
Основы современной теории потребительского спроса3 сформировались в конце XIX в. в рамках классической теории полезности. Ее вершиной стала математическая модель рационального потребительского выбора, заключающаяся в максимизации кардинальной (измеримой) функции полезности u(x) на множестве бесконечно делимых товаров конечного потребления 4, доступных при данных ценах р и расходах на данном рынке е:
Решение этой экстремальной задачи определяет отображение спроса, в регулярном случае строгой вогнутости и дважды дифференцируем ости u(x) - однозначную и дифференцируемую (векторную) функцию спроса х(р, е).
Напомним основные факты классической теории потребительского спроса (ПС), основанной на модели (1). Важную роль в этой теории играет матрица
построенная Е. Е. Слуцким в работе 1915 г.5 Функция спроса x(р, е) и матрица Слуцкого удовлетворяют следующим аналитическим свойствам:
--------------------------------------------------------------------------------
1 Горбунов Владимир Константинович, тел.: (8422) 42-61-03; e-mail: vkgorbunov@mail.ru.
2 Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ (проект N 07-02-21202 а/В).
3 Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory. N.Y., 1995; Горбунов В. К. Математическая модель потребительского спроса: теория и прикладной потенциал. М., 2004.
4 Здесь и далее обозначает скалярное произведение.
5 См.: Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Народно-хозяйственные модели: теорет. вопросы потребления. М., 1963 (оригинал опубликован на итальянском языке в 1915 г.). С. 241 - 277.
стр. 67
--------------------------------------------------------------------------------
1) расходное тождество (закон Вальраса): для любых р > 0 и е > 0 справедливо
2) однородность нулевой степени: для любого числа ? > 0 выполняется
x (?р, ?е) = х(р, е); (4)
3) матрица (2) симметричная и отрицательно полуопределенная, причем ее нуль-пространство порождается вектором цен р:
Первое свойство следует из возрастания функции полезности. Его выделение важно для аналитической характеризации функции спроса, а также для уточнения смысла параметра е как фактических потребительских расходов на данном рынке. Такой параметр является наблюдаемой величиной, представляемой торговой статистикой. Второе свойство имеет простой смысл: пропорциональное увеличение цен и расходов не влияет на спрос. Из третьего свойства спроса выводятся основные законы потребительского спроса, открытые в XIX в. А. О. Курно, Э. Энгелем, Р. Гиффеном, а также законы замещения и дополнения, сформулированные в отмеченной статье Е. Е. Слуцкого и в книге Дж.Р. Хикса7 (1939), в которой была разработана новая, порядковая теория ПС, основанная на понятии шкалы предпочтений, введенном ранее В. Парето (1909). Основным объектом новой теории стали эффекты замещения потребляемых продуктов. При этом вместо "полезности" использовалось новое понятие предельной нормы замещения (ПНЗ), допускающей статистическую оценку.
Известно8, что приведенные три свойства представляют необходимые и достаточные условия существования рационализирующей порядковой функции полезности u(x), порождающей функцию спроса х(р, е) в соответствии с моделью (1). Эти условия называются условиями интегрируемости функции спроса. Порядковая функция полезности определяется неоднозначно, с точностью до скалярного монотонного преобразования.
Современная теория спроса построена на основе понятия бинарного отношения предпочтения , определенного на множестве бесконечно делимых товаров X ? Rn+ и обладающего рядом
--------------------------------------------------------------------------------
6 Здесь и далее используются правила матричных умножений, где векторы x, p и другие из Rn считаются столбцами, а их транспозиции xT, pT - строками.
7 См.: Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал. М., 1993.
8 Hurwic L., Uzawa H. On the Integrability of Demand Functions in Preference, Utility and Demand / Ed. by J.S. Chipman et al. Ch. 6. N.Y., 1971.
стр. 68
--------------------------------------------------------------------------------
свойств, основные из которых - полнота, транзитивность и непрерывность. Эти свойства в совокупности обеспечивают существование непрерывной порядковой функции полезности u(x), являющейся индикатором данного отношения предпочтения, т.е. x y ? u(x) ? u(y). Соответственно, рациональное поведение потребителей стало вновь моделироваться как максимизация (1) функции полезности u(x), теперь порядковой. Таким образом, "изгнания" функции полезности из порядковой теории спроса Хикса по существу не получилось, так как задание семейства функций ПНЗ эквивалентно заданию некоторой порядковой функции полезности u(x), и такая функция используется для построения матрицы Слуцкого (2), признанной Дж.Р. Хиксом важнейшим объектом теории стоимости9.
Вопрос о существовании и построении функции полезности, адекватной конкретному рынку, решается теоремой Африата10. Согласно этой теореме, существование функции полезности, объясняющей статистический спрос в рамках модели (1), эквивалентно положительной разрешимости некоторой системы линейных неравенств (неравенств Африата), определяющей значения такой функции на статистических данных. Эта теорема является наиболее значительным результатом в теории потребительского спроса после работ Е. Е. Слуцкого и Дж. Р. Хикса. На основе этой теоремы Х. Вэрианом развит "непараметрический метод" анализа потребительского спроса и решения обратной задачи ПС - построение функции полезности по статистическим данным11. В рамках этого метода, в частности, появилась возможность строить аналитические (экономические) индексы потребительского спроса: для однородных предпочтений - инвариантные12, в общем случае - квазиинвариантные13.
Не каждый рынок в наблюдаемый период может быть описан моделью (1). Основными причинами этого несоответствия являются нестационарность объекта (изменение системы предпочтений потребителей в период наблюдений), а в случае стационарности - невыполнение базовых предположений о системе предпочтений.
--------------------------------------------------------------------------------
9 См.: Хикс Дж. Р. Указ. соч. С. 450.
10 Afriat S.N. The Construction of Utility Functions from Expenditure Data // International Economic Review. 1967. Vol. 8. N 1. P. 67 - 77.
11 Varian H. The Nonparametric Approach to Demand Analysis // Econometrica. 1982. Vol. 50. N 4.
12 Samuelson P.A., Swamy S. Invariant Economic Index Numbers and Canonical Duality: Survey and Synthesis // The American Economic Review. 1974. Vol. 64. N 4. P. 566 - 593.
13 См.: Горбунов В. К. Указ. соч. Гл. 4; Горбунов В. К., Козлова Л. А. Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск, 2008. N 3 (19).
стр. 69
--------------------------------------------------------------------------------
В упоминавшейся выше книге "Микроэкономическая теория" А. Мас-Колелла с соавт. (с. 7) приведен пример возможной нетранзитивности выбора между тремя предметами - яблоком (Я), бананом (Б) и апельсином (А). Вполне возможен потребитель, упорядочивающий пары этих предметов так, что Я Б, Б А, но А > Я (строгое предпочтение). Последнее отношение противоречит транзитивному следствию первых двух отношений, т.е. Я А. В примере отмечается, что предположения о транзитивности и полноте предпочтений являются ограничительными для моделирования реального потребительского выбора. Полнота отношения означает, что любые пары наборов продуктов сравнимы и это сравнение не зависит от состояний потребителя. Однако при существенном различии показателей потребительский выбор может определяться состоянием потребителя. В микроэкономической теории такие эффекты считаются несущественными, однако они могут проявляться в реальной торговой статистике. Как следствие это приведет к неразрешимости неравенств Африата, означающей неадекватность классической модели наблюдаемому рынку.
Многие зарубежные исследователи в последние десятилетия предпринимают попытки пересмотра теории ПС на основе отказа от свойств транзитивности и полноты предпочтений. Большинство из них ограничивается теоретико-множественным уровнем без построения аналитического аппарата, позволяющего вычислять спрос. Так, в 1974 г. А. Мас-Колелл предложил14 альтернативную модель потребительского выбора на основе бинарного отношения строгого предпочтения > на компактном выпуклом множестве С ? Rn+ без требований полноты и транзитивности со следующими свойствами: выпуклость множества предпочтительности P(x) = {х' ? С | x' > х}, иррефлексивность, т.е. x P(x), замкнутость дополнения множества {(x, y) ? С | y ? P(x)} (графика отображения Р). Было доказано, что в этом случае существует такой элемент х* ? С, что P(x*) = O. Этот элемент является наиболее предпочтительным, и если C = Xpe, то X(p, e) = {x ? Xpe : P(x) = O} является соответствием спроса.
Отметим две попытки построения аналитических обобщений классической модели на основе отказа от транзитивности предпочтений. В 1932 г. Р. Аллен предложил15 теорию локального потребительского выбора на основе представления потребительских предпочтений через "направление предпочтения" (preference direction), определенное в каждой точке пространства товаров. Это представление фактически является векторным полем g : X > Rn, однако
--------------------------------------------------------------------------------
14 Mas-Colell A. An Equilibrium Existence Theorem without Complete and Transitive Preferences // J. Mathematical Economics. 1974. Vol. 1. P. 237 - 246.
15 Allen R.G.D. The Foundation of a Mathematical Theory of Exchange // Economica. 1932. Vol. 12. P. 197 - 226.
стр. 70
--------------------------------------------------------------------------------
Р. Аллен и его последователи16 не использовали теорию векторных полей и не построили содержательную теорию спроса, аналогичную классической теории, основанной на модели (1).
Вторая аналитическая альтернатива классической модели (1) принадлежит В. Шаферу17, который предложил теорию "нетранзитивного потребителя" на основе полного, но не обязательно транзитивного бинарного отношения предпочтений Rr на X, представляемого непрерывной и кососимметричной вещественной функцией r на X, т.е. xRry ? r(x, y) ? 0. В транзитивном случае существует такая функция полезности u(x), что r(x, y) = u(x) - u(y). Спрос Шафера определяется вариационным неравенством: Xr (p, e) = {х ? Xpe | у ? Xpe : r(x, y) ? 0}. Содержательная теория этого спроса также не известна.
В недавней статье Р. Джона18 анализируются теории Аллена и Шафера. Здесь для модели Аллена введено бинарное отношение предпочтения Rg так, что набор y из некоторой окрестности набора х считается лучше, чем x, т.е. yRgx тогда и только тогда, когда Утверждается, что теории Аллена (локальная) и Шафера (глобальная) эквивалентны.
2. Обобщенная модель потребительского спроса19
Если мы отказываемся от использования бинарного отношения потребительского предпочтения , обладающего свойствами полноты, транзитивности и непрерывности, то мы отказываемся и от использования функции полезности, представляющей это отношение в аналитической форме. Систему предпочтений ансамбля потребителей некоторого рынка представим с помощью векторного поля q(x) в пространстве товаров Rn+.
Представление предпочтений через векторное поле по существу повторяет представление Р. Аллена, описанное выше, однако мы используем ниже такие базовые характеристики векторных полей, как потенциальность и монотонность20. Поле q(x) называется по-
--------------------------------------------------------------------------------
16 Georgescu-Roegen N. Choice and Revealed Preference // Southern Economic J. 1954. Vol. 21. N 2. P. 119 - 130; Katzner D.W. Demand and Exchange Analysis in the Absence of Integrability Conditions in Preference, Utility and Demand / Ed. by J.S. Chip-man et al. Ch 10. N.Y., 1971. P. 254 - 270.
17 Shafer W.J. The Nontransitive Consumer // Econometrica. 1974. Vol. 42. P. 913 - 919.
18 John R. Local and Global Consumer Preferences // Generalized Convexity and Relative Topics. Lecture Notes in Economics and Math Systems. Berlin, 2007. P. 315 - 325.
19 Впервые модель представлена в докладе автора "Обобщенная модель потребительского спроса" (Тезисы докладов и сообщений Шестого Всероссийского симпозиума "Стратегическое планирование и развитие предприятий" / Под ред. Г. Б. Клейнера. М., 2005. С. 55 - 57).
20 См.: Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., 1975.
стр. 71
--------------------------------------------------------------------------------
тенциальным, если существует такая скалярная дифференцируемая функция u(x), называемая потенциалом поля, что qi(x) = дu(x)/дxi. Потенциал монотонно невозрастающего поля q(x) является вогнутой функцией. Неотрицательность компонент qi(x) означает неубывание потенциала. Поле q(x) называется монотонно невозрастающим, если для любых точек x и y выполняется неравенство
Если это неравенство для x ? y строгое, то поле называется монотонно убывающим. В общем случае поле предпочтений может быть непотенциальным.
Определение 1. Векторным полем потребительских предпочтений назовем монотонно невозрастающее непрерывное отображение q : Rn+ > Rn+, компоненты которого qi(x) имеют смысл относительных ценностей товаров , а их отношения qi(x)/qj(x) являются предельными нормами замещения товара j товаром i.
Если поле предпочтений q(x) потенциальное, то его потенциал u(x) можно считать порядковой функцией полезности. Соответственно компоненты qi(x) принимают смысл классических предельных полезностей, и свойство монотонного убывания поля соответствует первому закону Госсена классической теории - закону убывания предельной полезности.
Рациональность потребительского выбора определим в соответствии со вторым законом Госсена, представляющим в классическом случае принцип оптимальности потребительского выбора.
Определение 2. Будем говорить, что выбор х > 0 потребителей с полем предпочтений q при ценах р удовлетворяет обобщенному второму закону Госсена, если для любой пары товаров (i, j) выполняются равенства
Определим рациональный выбор ансамбля потребителей, имеющих поле предпочтений q(x) и расходующих на данном рынке в ценовой ситуации p суммарное количество денег е, т.е. рыночный спрос х(р, е). Такой спрос, по предположению, должен удовлетворять обобщенному второму закону Госсена (5). Этот закон удобнее сформулировать как условие коллинеарности векторов q(x) и р, т.е. существование такого множителя ? > 0, что q(x) = ?p. По смыслу переменных спрос х(р, е) удовлетворяет расходному тождеству (3). Таким образом, получаем систему условий, которым должен удовлетворять спрос х(р, е):
стр. 72
--------------------------------------------------------------------------------
Эта система нелинейных уравнений представляет новую модель рационального потребительского выбора. В случае потенциальности поля система (6) совпадает с характеристической системой классической модели (1)21. Ниже показано, что в общем, непотенциальном случае система (6) также позволяет определить при заданных ценах р и расходах е в некоторой области ? ? Rn+1+ значения спроса х(р, е) и масштабного множителя ?(р, е) и исследовать их свойства. Множитель ?(р, е) является обобщением множителя Лагранжа классической модели (1), трактуемого как предельная полезность потребительских расходов.
Как и в классической модели, представление потребительских предпочтений в обобщенной модели также неоднозначно. Здесь в силу соотношений (5) имеет место инвариантность поля предпочтений q(x) относительно умножений на положительную скалярную функцию ?(х). Это значит, что если поле q(x) порождает функцию спроса х(р, е), то эта же функция порождается полем q?(x) = ?(x)q(x) при любой положительной функции ?(х).
Отметим, что понятие "поле предпочтений" использовалось в некоторых работах П. Самуэльсона22, У. Гормана23, известной книге X. Никайдо24 (§ 15.2), однако исключительно в рамках классической теории спроса.
3. Существование и свойства функций спроса
Для новой модели (6) в случае непрерывной дифференцируемости поля q(x) имеются проверяемые критерии основных аналитических свойств - потенциальности и монотонности25. Они определяются матрицей производных
Потенциальность поля q(x) эквивалентна симметричности этой матрицы. В этом случае существует такая функция u(x) ? C2(Rn+), что q(x) = дu(х)/дх и матрица Q(x) - суть матрица Гессе функции u(x). Критерий монотонности конечномерных отображений выра-
--------------------------------------------------------------------------------
21 См.: Горбунов В. К. Указ. соч. С. 65.
22 Samuelson P.A. A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour // Economica, New Series. 1938. Vol. 5. N 17. P. 61 - 71.
23 Gorman W.M. Community Preference Fields // Econometrica. 1953. Vol. 21. P. 63 - 80.
24 См.: Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., 1972.
25 См.: Ортега Дж., Рейнболдт В. Указ. соч. Теоремы 4.1.6 и 5.4.3.
стр. 73
--------------------------------------------------------------------------------
жается алгебраической определенностью матриц их производных. Монотонное невозрастание отображения q(x) эквивалентно отрицательной полуопределенности матрицы (7), и если матрица Q(x), отрицательно определенная, то q(x) строго монотонно убывает. Алгебраическая определенность несимметричной матрицы Q эквивалентна определенности симметричной матрицы Q + QT. Для симметричных матриц известны детерминантные и спектральные критерии определенности26.
Обобщение классической модели (1) моделью (6) может проявляться в случае непотенциальности поля q(x), следовательно, в случае несимметричности матрицы (7). При этом в силу отмеченной инвариантности поля относительно умножения на скалярную функцию нетривиальное обобщение классической модели достигается, когда спрос на данном рынке может быть порожден только непотенциальными эквивалентными полями предпочтений. Ниже показано, что это может проявиться только для рынков не менее трех товаров.
Условия существования функций спроса x(p, e) и множителя ?(p, e), а также их свойства представляются следующими теоремами.
Теорема 1. Пусть поле потребительских предпочтений q(x) непрерывно дифференцируемое в Rn+, его производная Q(x) - отрицательно определенная матрица, система (6) в некоторой положительной точке (р', е') ? Rn+1+ имеет положительное решение (x', ?'). Тогда в некоторой области ? ? Rn+l+, содержащей точку (p', e'), система (6) определяет однозначные положительные непрерывные и непрерывно дифференцируемые функции: однородную нулевой степени функцию спроса х(р, е) и однородную минус первой степени функцию ?(р, е) > 0. При этом х(р', е') = х' и ?(р', е') =?'.
Теорема 2. В условиях теоремы 1 в некоторой области ? ? Rn+1+ матрица Слуцкого (2) имеет вид
Эта матрица отрицательно полуопределенная и вырожденная, причем нуль-пространства матриц S(p, е) и ST(p, е) одномерны и определяются вектором цен р, т.е.
S(p,e) p = 0, pTS(p,e) = 0. (9)
Доказательство этих теорем проводится по схемам вывода аналогичных свойств функций спроса для классической модели27.
--------------------------------------------------------------------------------
26 См.: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1988.
27 См.: Горбунов В. К. Указ. соч. П. 3.5.1 и 3.7.
стр. 74
--------------------------------------------------------------------------------
Следствие. В условиях теоремы 1 при n = 2 матрица Слуцкого (8) симметричная.
Доказательство следствия заключается в вычитании первых уравнений каждой из систем (9), что дает равенство (S12 - S21) р2 = 0, откуда получается S21 = S12, т.е. S(p, е) = ST(p, е).
Таким образом, в случае двух товаров матрица спроса Слуцкого х(р, е), порождаемого некоторым полем предпочтений, симметричная, и такой спрос интегрируемый. Это значит, что для любого двумерного непотенциального поля предпочтений существует эквивалентное потенциальное поле, являющееся градиентом некоторой функции полезности. Соответственно новая модель (6) может быть нетривиальным обобщением классической модели (1) только для рынков трех и более товаров.
Матрица Слуцкого (8) обобщенной модели (6) сохраняет все свойства классической матрицы (2), кроме обязательной симметричности в случае n ? 3. Соответственно обобщенный спрос х(р, е) обладает содержательными свойствами классического спроса относительно характеристик ценности и нормальности и также позволяет выявить свойства замещения и дополнения в охватываемой номенклатуре товаров.
Вопрос о симметричности матрицы Слуцкого (8) в силу отмеченных выше условий интегрируемости функций спроса эквивалентен вопросу о нетривиальности обобщения классической модели (1) моделью (6). Непотенциальность некоторого поля может оказаться несущественной в силу его инвариантности относительно умножения на скалярную функцию. Может существовать эквивалентное потенциальное поле, порождающее эту же функцию спроса, следовательно и одинаковую матрицу Слуцкого. Таким образом, потенциальное поле, эквивалентное заданному непотенциальному, существует тогда и только тогда, когда соответствующая матрица Слуцкого (8) (общая для всего класса эквивалентных полей) симметричная. Соответственно в рамках обобщенной модели интегрируемые функции спроса можно называть потенциальными функциями спроса. По следствию теоремы 2 спрос двумерной модели (6) всегда потенциален.
4. Обобщенная модель и теория выявленного предпочтения
Альтернативным направлением теории потребительского спроса является теория выявленного предпочтения, предложенная в 40-е гг. XX в. П. Самуэльсоном28. Она с самого начала имела, в отличие от нормативной классической теории, прагматический позитивный
--------------------------------------------------------------------------------
28 Samuelson P.A. Consumption Theory in Terms of Revealed Preference // Economica. 1948. Vol. 15. P. 243 - 253.
стр. 75
--------------------------------------------------------------------------------
характер и сводилась к анализу торговой статистики на ее соответствие некоторой аксиоматике рациональности поведения потребителей. П. Самуэльсон ввел понятие выявленного предпочтения (ВП) на множестве статистических пар "цены-количества" и сформулировал принцип рациональности в виде аксиомы, названной позже слабой аксиомой ВП29. Эта аксиома оказалась необходимым, но недостаточным условием классической рациональности, т.е. максимизации некоторой функции полезности. С целью приведения теории Самуэльсона в соответствие с классической X. Хаутеккер в своей работе30 построил "полутранзитивное" замыкание бинарного отношения ВП и ввел сильную аксиому ВП, которая оказалась эквивалентной существованию порядковой функции полезности, рационализирующей данную статистику.
Дальнейшие попытки построения обобщенной теории спроса на основе слабой аксиомы ВП выявили31, что регулярные функции спроса, удовлетворяющие слабой аксиоме, должны удовлетворять всем трем свойствам классического спроса, приведенным в п. 1, кроме симметричности матрицы Слуцкого. Спрос, порождаемый нашей моделью, именно такой. Таким образом, новая модель (6), основанная на представлении предпочтений векторным полем, которое может быть непотенциальным, соответствует теории потребительского спроса, построенной на основе слабой аксиомы ВП32.
5. Пример непотенциального спроса
Рассмотрим векторное поле предпочтений
Здесь параметры ?1, ?2, ?3, ? положительные и ?1 + ?2 + ?3 = ? < 1.
Нетрудно убедиться, что матрица производных Q(x) поля (10) несимметричная и при достаточно малых ? отрицательно определенная. Следовательно, поле (10) непотенциальное и монотонно убывающее. Решая систему (6) с полем (10), получим функции спроса
--------------------------------------------------------------------------------
29 Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Op. cit. Par. 2.F.
30 Houthakker H.S. Revealed Preference and the Utility Function // Economica. 1950. Vol. 17. P. 159 - 174.
31 Kihlstrom R., Mas-Colell A., Sonnenschein H. The Demand Theory of the Weak Axiom of Revealed Preference // Econometrica. 1976. Vol. 44. N 5. P. 971 - 978.
32 Прямое доказательство см.: Горбунов В. К. Обобщенная модель потребительского спроса и выявленное предпочтение // Труды Средневолж. матем. об-ва. 2007. Т. 9. N 2. С. 33 - 39.
стр. 76
--------------------------------------------------------------------------------
Формулы (11) при ? = 0 представляют классический спрос Кобба-Дугласа. При достаточно малых ? > 0 этот спрос регулярен в области {р > 0, е > 0} и для всех значений ? ? 0 он однородный, т.е. имеет структуру х(р)е. Матрица Слуцкого (2) для спроса (11)
Эта матрица несимметричная, следовательно спрос (11) непотенциальный.
6. Заключение
Приведенная модель потребительского выбора (6) решает проблему построения обобщенной (относительно классической теории) аналитической теории спроса без использования функции полезности для рынков с числом товаров не менее трех. Это сделано на основе отказа от необходимого совмещения требований полноты, транзитивности и непрерывности классического отношения потребительских предпочтений. Базовым понятием новой теории вместо бинарного отношения предпочтений является новое понятие - поле потребительских предпочтений. В случае потенциальности поля система (6) эквивалентна регулярной классической модели потребительского выбора (1), где функция полезности - потенциал этого поля. Наша модель соответствует теории потребительского спроса, основанной на слабой аксиоме выявленного предпочтения. В отличие от аналитических обобщений Р. Аллена и В. Шафера, а также от исследования R. Kihlstrom, A. Mas-Colell,
стр. 77
--------------------------------------------------------------------------------
H. Sonnenschein и недавней статьи J. Quah33, имеющих абстрактный характер, мы построили содержательную обобщенную аналитическую модель потребительского спроса. Эта модель позволяет вычислять функции спроса, обладающие почти всеми базовыми свойствами классического рыночного спроса, кроме симметричности матрицы Слуцкого.
Для реализации прикладного потенциала новой модели требуется разработка методов решения соответствующей обратной задачи - построения поля предпочтений по статистическим данным о спросе. Здесь предполагается развить как классический параметрический метод, так и непараметрический метод Африата-Вэриана.
Список литературы
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1988.
Горбунов В. К. Математическая модель потребительского спроса: теория и прикладной потенциал. М., 2004.
Горбунов В. К. Обобщенная модель потребительского спроса // Тезисы докладов и сообщений Шестого Всероссийского симпозиума "Стратегическое планирование и развитие предприятий" / Под ред. Г. Б. Клейнера. М., 2005.
Горбунов В. К. Обобщенная модель потребительского спроса и выявленное предпочтение // Труды Средневолж. матем. об-ва. 2007. Т. 9. N 2.
Горбунов В. К., Козлова Л. А. Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. N 3(19).
Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., 1972.
Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., 1975.
Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Народно-хозяйственные модели: теорет. вопросы потребления. М., 1963.
Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал. М., 1993.
Afriat S.N. The Construction of Utility Functions from Expenditure Data // International Economic Review. 1967. Vol. 8. N 1.
Allen R.G.D. The Foundation of a Mathematical Theory of Exchange // Economica. 1932. Vol. 12.
Georgescu-Roegen N. Choice and Revealed Preference // Southern Economic J. 1954. Vol. 21. N 2.
Gorman W.M. Community Preference Fields // Econometrica. 1953. Vol. 21.
Houthakker U.S. Revealed Preference and the Utility Function // Economica. 1950. Vol. 17.
Hurwic L., Uzawa H. On the Integrability of Demand Functions in Preference, Utility and Demand / Ed. by J.S. Chipman et al. Ch. 6. N.Y., 1971.
--------------------------------------------------------------------------------
33 Quah J.K.-H. Weak Axiomatic Demand Theory // Economic Theory. 2006. Vol. 29. P. 677 - 699.
стр. 78
--------------------------------------------------------------------------------
John R. Local and Global Consumer Preferences // Generalized Convexity and Relative Topics. Lecture Notes in Economics and Math Systems. Berlin, 2007.
Katzner D.W. Demand and Exchange Analysis in the Absence of Integrability conditions in Preference, Utility and Demand / Ed. by J.S. Chipman et al. Ch. 10. N.Y., 1971.
Kihlstrom R., Mas-Colell A., Sonnenschein H. The Demand Theory of the Weak Axiom of Revealed Preference // Econometrica. 1976. Vol. 44. N 5.
Mas-Colell A. An Equilibrium Existence Theorem Without Complete and Transitive Preferences // J. Mathematical Economics. 1974. Vol. 1.
Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory. N.Y., 1995.
Quah J.K-H. Weak Axiomatic Demand Theory // Economic Theory. 2006. Vol. 29.
Samuelson P.A. A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour // Economica, New Series 1938. Vol. 5. N 17.
Samuelson P.A. Consumption Theory in Terms of Revealed Preference // Economica. 1948. Vol. 15.
Samuelson P.A., Swamy S. Invariant Economic Index Numbers and Canonical Duality: Survey and Synthesis // The American Economic Review. 1974. Vol. 64. N 4.
Shafer W.J. The Nontransitive Consumer // Econometrica. 1974. Vol. 42.
Varian H. The Nonparametric Approach to Demand Analysis // Econometrica. 1982. Vol. 50. N 4.
стр. 79
МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА, ОСНОВАННАЯ НА ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ2
1. Классическая теория потребительского спроса и проблема ее обобщения
Основы современной теории потребительского спроса3 сформировались в конце XIX в. в рамках классической теории полезности. Ее вершиной стала математическая модель рационального потребительского выбора, заключающаяся в максимизации кардинальной (измеримой) функции полезности u(x) на множестве бесконечно делимых товаров конечного потребления 4, доступных при данных ценах р и расходах на данном рынке е:
Решение этой экстремальной задачи определяет отображение спроса, в регулярном случае строгой вогнутости и дважды дифференцируем ости u(x) - однозначную и дифференцируемую (векторную) функцию спроса х(р, е).
Напомним основные факты классической теории потребительского спроса (ПС), основанной на модели (1). Важную роль в этой теории играет матрица
построенная Е. Е. Слуцким в работе 1915 г.5 Функция спроса x(р, е) и матрица Слуцкого удовлетворяют следующим аналитическим свойствам:
--------------------------------------------------------------------------------
1 Горбунов Владимир Константинович, тел.: (8422) 42-61-03; e-mail: vkgorbunov@mail.ru.
2 Исследование выполнено при финансовой поддержке РГНФ (проект N 07-02-21202 а/В).
3 Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory. N.Y., 1995; Горбунов В. К. Математическая модель потребительского спроса: теория и прикладной потенциал. М., 2004.
4 Здесь и далее обозначает скалярное произведение.
5 См.: Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Народно-хозяйственные модели: теорет. вопросы потребления. М., 1963 (оригинал опубликован на итальянском языке в 1915 г.). С. 241 - 277.
стр. 67
--------------------------------------------------------------------------------
1) расходное тождество (закон Вальраса): для любых р > 0 и е > 0 справедливо
2) однородность нулевой степени: для любого числа ? > 0 выполняется
x (?р, ?е) = х(р, е); (4)
3) матрица (2) симметричная и отрицательно полуопределенная, причем ее нуль-пространство порождается вектором цен р:
Первое свойство следует из возрастания функции полезности. Его выделение важно для аналитической характеризации функции спроса, а также для уточнения смысла параметра е как фактических потребительских расходов на данном рынке. Такой параметр является наблюдаемой величиной, представляемой торговой статистикой. Второе свойство имеет простой смысл: пропорциональное увеличение цен и расходов не влияет на спрос. Из третьего свойства спроса выводятся основные законы потребительского спроса, открытые в XIX в. А. О. Курно, Э. Энгелем, Р. Гиффеном, а также законы замещения и дополнения, сформулированные в отмеченной статье Е. Е. Слуцкого и в книге Дж.Р. Хикса7 (1939), в которой была разработана новая, порядковая теория ПС, основанная на понятии шкалы предпочтений, введенном ранее В. Парето (1909). Основным объектом новой теории стали эффекты замещения потребляемых продуктов. При этом вместо "полезности" использовалось новое понятие предельной нормы замещения (ПНЗ), допускающей статистическую оценку.
Известно8, что приведенные три свойства представляют необходимые и достаточные условия существования рационализирующей порядковой функции полезности u(x), порождающей функцию спроса х(р, е) в соответствии с моделью (1). Эти условия называются условиями интегрируемости функции спроса. Порядковая функция полезности определяется неоднозначно, с точностью до скалярного монотонного преобразования.
Современная теория спроса построена на основе понятия бинарного отношения предпочтения , определенного на множестве бесконечно делимых товаров X ? Rn+ и обладающего рядом
--------------------------------------------------------------------------------
6 Здесь и далее используются правила матричных умножений, где векторы x, p и другие из Rn считаются столбцами, а их транспозиции xT, pT - строками.
7 См.: Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал. М., 1993.
8 Hurwic L., Uzawa H. On the Integrability of Demand Functions in Preference, Utility and Demand / Ed. by J.S. Chipman et al. Ch. 6. N.Y., 1971.
стр. 68
--------------------------------------------------------------------------------
свойств, основные из которых - полнота, транзитивность и непрерывность. Эти свойства в совокупности обеспечивают существование непрерывной порядковой функции полезности u(x), являющейся индикатором данного отношения предпочтения, т.е. x y ? u(x) ? u(y). Соответственно, рациональное поведение потребителей стало вновь моделироваться как максимизация (1) функции полезности u(x), теперь порядковой. Таким образом, "изгнания" функции полезности из порядковой теории спроса Хикса по существу не получилось, так как задание семейства функций ПНЗ эквивалентно заданию некоторой порядковой функции полезности u(x), и такая функция используется для построения матрицы Слуцкого (2), признанной Дж.Р. Хиксом важнейшим объектом теории стоимости9.
Вопрос о существовании и построении функции полезности, адекватной конкретному рынку, решается теоремой Африата10. Согласно этой теореме, существование функции полезности, объясняющей статистический спрос в рамках модели (1), эквивалентно положительной разрешимости некоторой системы линейных неравенств (неравенств Африата), определяющей значения такой функции на статистических данных. Эта теорема является наиболее значительным результатом в теории потребительского спроса после работ Е. Е. Слуцкого и Дж. Р. Хикса. На основе этой теоремы Х. Вэрианом развит "непараметрический метод" анализа потребительского спроса и решения обратной задачи ПС - построение функции полезности по статистическим данным11. В рамках этого метода, в частности, появилась возможность строить аналитические (экономические) индексы потребительского спроса: для однородных предпочтений - инвариантные12, в общем случае - квазиинвариантные13.
Не каждый рынок в наблюдаемый период может быть описан моделью (1). Основными причинами этого несоответствия являются нестационарность объекта (изменение системы предпочтений потребителей в период наблюдений), а в случае стационарности - невыполнение базовых предположений о системе предпочтений.
--------------------------------------------------------------------------------
9 См.: Хикс Дж. Р. Указ. соч. С. 450.
10 Afriat S.N. The Construction of Utility Functions from Expenditure Data // International Economic Review. 1967. Vol. 8. N 1. P. 67 - 77.
11 Varian H. The Nonparametric Approach to Demand Analysis // Econometrica. 1982. Vol. 50. N 4.
12 Samuelson P.A., Swamy S. Invariant Economic Index Numbers and Canonical Duality: Survey and Synthesis // The American Economic Review. 1974. Vol. 64. N 4. P. 566 - 593.
13 См.: Горбунов В. К. Указ. соч. Гл. 4; Горбунов В. К., Козлова Л. А. Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск, 2008. N 3 (19).
стр. 69
--------------------------------------------------------------------------------
В упоминавшейся выше книге "Микроэкономическая теория" А. Мас-Колелла с соавт. (с. 7) приведен пример возможной нетранзитивности выбора между тремя предметами - яблоком (Я), бананом (Б) и апельсином (А). Вполне возможен потребитель, упорядочивающий пары этих предметов так, что Я Б, Б А, но А > Я (строгое предпочтение). Последнее отношение противоречит транзитивному следствию первых двух отношений, т.е. Я А. В примере отмечается, что предположения о транзитивности и полноте предпочтений являются ограничительными для моделирования реального потребительского выбора. Полнота отношения означает, что любые пары наборов продуктов сравнимы и это сравнение не зависит от состояний потребителя. Однако при существенном различии показателей потребительский выбор может определяться состоянием потребителя. В микроэкономической теории такие эффекты считаются несущественными, однако они могут проявляться в реальной торговой статистике. Как следствие это приведет к неразрешимости неравенств Африата, означающей неадекватность классической модели наблюдаемому рынку.
Многие зарубежные исследователи в последние десятилетия предпринимают попытки пересмотра теории ПС на основе отказа от свойств транзитивности и полноты предпочтений. Большинство из них ограничивается теоретико-множественным уровнем без построения аналитического аппарата, позволяющего вычислять спрос. Так, в 1974 г. А. Мас-Колелл предложил14 альтернативную модель потребительского выбора на основе бинарного отношения строгого предпочтения > на компактном выпуклом множестве С ? Rn+ без требований полноты и транзитивности со следующими свойствами: выпуклость множества предпочтительности P(x) = {х' ? С | x' > х}, иррефлексивность, т.е. x P(x), замкнутость дополнения множества {(x, y) ? С | y ? P(x)} (графика отображения Р). Было доказано, что в этом случае существует такой элемент х* ? С, что P(x*) = O. Этот элемент является наиболее предпочтительным, и если C = Xpe, то X(p, e) = {x ? Xpe : P(x) = O} является соответствием спроса.
Отметим две попытки построения аналитических обобщений классической модели на основе отказа от транзитивности предпочтений. В 1932 г. Р. Аллен предложил15 теорию локального потребительского выбора на основе представления потребительских предпочтений через "направление предпочтения" (preference direction), определенное в каждой точке пространства товаров. Это представление фактически является векторным полем g : X > Rn, однако
--------------------------------------------------------------------------------
14 Mas-Colell A. An Equilibrium Existence Theorem without Complete and Transitive Preferences // J. Mathematical Economics. 1974. Vol. 1. P. 237 - 246.
15 Allen R.G.D. The Foundation of a Mathematical Theory of Exchange // Economica. 1932. Vol. 12. P. 197 - 226.
стр. 70
--------------------------------------------------------------------------------
Р. Аллен и его последователи16 не использовали теорию векторных полей и не построили содержательную теорию спроса, аналогичную классической теории, основанной на модели (1).
Вторая аналитическая альтернатива классической модели (1) принадлежит В. Шаферу17, который предложил теорию "нетранзитивного потребителя" на основе полного, но не обязательно транзитивного бинарного отношения предпочтений Rr на X, представляемого непрерывной и кососимметричной вещественной функцией r на X, т.е. xRry ? r(x, y) ? 0. В транзитивном случае существует такая функция полезности u(x), что r(x, y) = u(x) - u(y). Спрос Шафера определяется вариационным неравенством: Xr (p, e) = {х ? Xpe | у ? Xpe : r(x, y) ? 0}. Содержательная теория этого спроса также не известна.
В недавней статье Р. Джона18 анализируются теории Аллена и Шафера. Здесь для модели Аллена введено бинарное отношение предпочтения Rg так, что набор y из некоторой окрестности набора х считается лучше, чем x, т.е. yRgx тогда и только тогда, когда Утверждается, что теории Аллена (локальная) и Шафера (глобальная) эквивалентны.
2. Обобщенная модель потребительского спроса19
Если мы отказываемся от использования бинарного отношения потребительского предпочтения , обладающего свойствами полноты, транзитивности и непрерывности, то мы отказываемся и от использования функции полезности, представляющей это отношение в аналитической форме. Систему предпочтений ансамбля потребителей некоторого рынка представим с помощью векторного поля q(x) в пространстве товаров Rn+.
Представление предпочтений через векторное поле по существу повторяет представление Р. Аллена, описанное выше, однако мы используем ниже такие базовые характеристики векторных полей, как потенциальность и монотонность20. Поле q(x) называется по-
--------------------------------------------------------------------------------
16 Georgescu-Roegen N. Choice and Revealed Preference // Southern Economic J. 1954. Vol. 21. N 2. P. 119 - 130; Katzner D.W. Demand and Exchange Analysis in the Absence of Integrability Conditions in Preference, Utility and Demand / Ed. by J.S. Chip-man et al. Ch 10. N.Y., 1971. P. 254 - 270.
17 Shafer W.J. The Nontransitive Consumer // Econometrica. 1974. Vol. 42. P. 913 - 919.
18 John R. Local and Global Consumer Preferences // Generalized Convexity and Relative Topics. Lecture Notes in Economics and Math Systems. Berlin, 2007. P. 315 - 325.
19 Впервые модель представлена в докладе автора "Обобщенная модель потребительского спроса" (Тезисы докладов и сообщений Шестого Всероссийского симпозиума "Стратегическое планирование и развитие предприятий" / Под ред. Г. Б. Клейнера. М., 2005. С. 55 - 57).
20 См.: Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., 1975.
стр. 71
--------------------------------------------------------------------------------
тенциальным, если существует такая скалярная дифференцируемая функция u(x), называемая потенциалом поля, что qi(x) = дu(x)/дxi. Потенциал монотонно невозрастающего поля q(x) является вогнутой функцией. Неотрицательность компонент qi(x) означает неубывание потенциала. Поле q(x) называется монотонно невозрастающим, если для любых точек x и y выполняется неравенство
Если это неравенство для x ? y строгое, то поле называется монотонно убывающим. В общем случае поле предпочтений может быть непотенциальным.
Определение 1. Векторным полем потребительских предпочтений назовем монотонно невозрастающее непрерывное отображение q : Rn+ > Rn+, компоненты которого qi(x) имеют смысл относительных ценностей товаров , а их отношения qi(x)/qj(x) являются предельными нормами замещения товара j товаром i.
Если поле предпочтений q(x) потенциальное, то его потенциал u(x) можно считать порядковой функцией полезности. Соответственно компоненты qi(x) принимают смысл классических предельных полезностей, и свойство монотонного убывания поля соответствует первому закону Госсена классической теории - закону убывания предельной полезности.
Рациональность потребительского выбора определим в соответствии со вторым законом Госсена, представляющим в классическом случае принцип оптимальности потребительского выбора.
Определение 2. Будем говорить, что выбор х > 0 потребителей с полем предпочтений q при ценах р удовлетворяет обобщенному второму закону Госсена, если для любой пары товаров (i, j) выполняются равенства
Определим рациональный выбор ансамбля потребителей, имеющих поле предпочтений q(x) и расходующих на данном рынке в ценовой ситуации p суммарное количество денег е, т.е. рыночный спрос х(р, е). Такой спрос, по предположению, должен удовлетворять обобщенному второму закону Госсена (5). Этот закон удобнее сформулировать как условие коллинеарности векторов q(x) и р, т.е. существование такого множителя ? > 0, что q(x) = ?p. По смыслу переменных спрос х(р, е) удовлетворяет расходному тождеству (3). Таким образом, получаем систему условий, которым должен удовлетворять спрос х(р, е):
стр. 72
--------------------------------------------------------------------------------
Эта система нелинейных уравнений представляет новую модель рационального потребительского выбора. В случае потенциальности поля система (6) совпадает с характеристической системой классической модели (1)21. Ниже показано, что в общем, непотенциальном случае система (6) также позволяет определить при заданных ценах р и расходах е в некоторой области ? ? Rn+1+ значения спроса х(р, е) и масштабного множителя ?(р, е) и исследовать их свойства. Множитель ?(р, е) является обобщением множителя Лагранжа классической модели (1), трактуемого как предельная полезность потребительских расходов.
Как и в классической модели, представление потребительских предпочтений в обобщенной модели также неоднозначно. Здесь в силу соотношений (5) имеет место инвариантность поля предпочтений q(x) относительно умножений на положительную скалярную функцию ?(х). Это значит, что если поле q(x) порождает функцию спроса х(р, е), то эта же функция порождается полем q?(x) = ?(x)q(x) при любой положительной функции ?(х).
Отметим, что понятие "поле предпочтений" использовалось в некоторых работах П. Самуэльсона22, У. Гормана23, известной книге X. Никайдо24 (§ 15.2), однако исключительно в рамках классической теории спроса.
3. Существование и свойства функций спроса
Для новой модели (6) в случае непрерывной дифференцируемости поля q(x) имеются проверяемые критерии основных аналитических свойств - потенциальности и монотонности25. Они определяются матрицей производных
Потенциальность поля q(x) эквивалентна симметричности этой матрицы. В этом случае существует такая функция u(x) ? C2(Rn+), что q(x) = дu(х)/дх и матрица Q(x) - суть матрица Гессе функции u(x). Критерий монотонности конечномерных отображений выра-
--------------------------------------------------------------------------------
21 См.: Горбунов В. К. Указ. соч. С. 65.
22 Samuelson P.A. A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour // Economica, New Series. 1938. Vol. 5. N 17. P. 61 - 71.
23 Gorman W.M. Community Preference Fields // Econometrica. 1953. Vol. 21. P. 63 - 80.
24 См.: Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., 1972.
25 См.: Ортега Дж., Рейнболдт В. Указ. соч. Теоремы 4.1.6 и 5.4.3.
стр. 73
--------------------------------------------------------------------------------
жается алгебраической определенностью матриц их производных. Монотонное невозрастание отображения q(x) эквивалентно отрицательной полуопределенности матрицы (7), и если матрица Q(x), отрицательно определенная, то q(x) строго монотонно убывает. Алгебраическая определенность несимметричной матрицы Q эквивалентна определенности симметричной матрицы Q + QT. Для симметричных матриц известны детерминантные и спектральные критерии определенности26.
Обобщение классической модели (1) моделью (6) может проявляться в случае непотенциальности поля q(x), следовательно, в случае несимметричности матрицы (7). При этом в силу отмеченной инвариантности поля относительно умножения на скалярную функцию нетривиальное обобщение классической модели достигается, когда спрос на данном рынке может быть порожден только непотенциальными эквивалентными полями предпочтений. Ниже показано, что это может проявиться только для рынков не менее трех товаров.
Условия существования функций спроса x(p, e) и множителя ?(p, e), а также их свойства представляются следующими теоремами.
Теорема 1. Пусть поле потребительских предпочтений q(x) непрерывно дифференцируемое в Rn+, его производная Q(x) - отрицательно определенная матрица, система (6) в некоторой положительной точке (р', е') ? Rn+1+ имеет положительное решение (x', ?'). Тогда в некоторой области ? ? Rn+l+, содержащей точку (p', e'), система (6) определяет однозначные положительные непрерывные и непрерывно дифференцируемые функции: однородную нулевой степени функцию спроса х(р, е) и однородную минус первой степени функцию ?(р, е) > 0. При этом х(р', е') = х' и ?(р', е') =?'.
Теорема 2. В условиях теоремы 1 в некоторой области ? ? Rn+1+ матрица Слуцкого (2) имеет вид
Эта матрица отрицательно полуопределенная и вырожденная, причем нуль-пространства матриц S(p, е) и ST(p, е) одномерны и определяются вектором цен р, т.е.
S(p,e) p = 0, pTS(p,e) = 0. (9)
Доказательство этих теорем проводится по схемам вывода аналогичных свойств функций спроса для классической модели27.
--------------------------------------------------------------------------------
26 См.: Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1988.
27 См.: Горбунов В. К. Указ. соч. П. 3.5.1 и 3.7.
стр. 74
--------------------------------------------------------------------------------
Следствие. В условиях теоремы 1 при n = 2 матрица Слуцкого (8) симметричная.
Доказательство следствия заключается в вычитании первых уравнений каждой из систем (9), что дает равенство (S12 - S21) р2 = 0, откуда получается S21 = S12, т.е. S(p, е) = ST(p, е).
Таким образом, в случае двух товаров матрица спроса Слуцкого х(р, е), порождаемого некоторым полем предпочтений, симметричная, и такой спрос интегрируемый. Это значит, что для любого двумерного непотенциального поля предпочтений существует эквивалентное потенциальное поле, являющееся градиентом некоторой функции полезности. Соответственно новая модель (6) может быть нетривиальным обобщением классической модели (1) только для рынков трех и более товаров.
Матрица Слуцкого (8) обобщенной модели (6) сохраняет все свойства классической матрицы (2), кроме обязательной симметричности в случае n ? 3. Соответственно обобщенный спрос х(р, е) обладает содержательными свойствами классического спроса относительно характеристик ценности и нормальности и также позволяет выявить свойства замещения и дополнения в охватываемой номенклатуре товаров.
Вопрос о симметричности матрицы Слуцкого (8) в силу отмеченных выше условий интегрируемости функций спроса эквивалентен вопросу о нетривиальности обобщения классической модели (1) моделью (6). Непотенциальность некоторого поля может оказаться несущественной в силу его инвариантности относительно умножения на скалярную функцию. Может существовать эквивалентное потенциальное поле, порождающее эту же функцию спроса, следовательно и одинаковую матрицу Слуцкого. Таким образом, потенциальное поле, эквивалентное заданному непотенциальному, существует тогда и только тогда, когда соответствующая матрица Слуцкого (8) (общая для всего класса эквивалентных полей) симметричная. Соответственно в рамках обобщенной модели интегрируемые функции спроса можно называть потенциальными функциями спроса. По следствию теоремы 2 спрос двумерной модели (6) всегда потенциален.
4. Обобщенная модель и теория выявленного предпочтения
Альтернативным направлением теории потребительского спроса является теория выявленного предпочтения, предложенная в 40-е гг. XX в. П. Самуэльсоном28. Она с самого начала имела, в отличие от нормативной классической теории, прагматический позитивный
--------------------------------------------------------------------------------
28 Samuelson P.A. Consumption Theory in Terms of Revealed Preference // Economica. 1948. Vol. 15. P. 243 - 253.
стр. 75
--------------------------------------------------------------------------------
характер и сводилась к анализу торговой статистики на ее соответствие некоторой аксиоматике рациональности поведения потребителей. П. Самуэльсон ввел понятие выявленного предпочтения (ВП) на множестве статистических пар "цены-количества" и сформулировал принцип рациональности в виде аксиомы, названной позже слабой аксиомой ВП29. Эта аксиома оказалась необходимым, но недостаточным условием классической рациональности, т.е. максимизации некоторой функции полезности. С целью приведения теории Самуэльсона в соответствие с классической X. Хаутеккер в своей работе30 построил "полутранзитивное" замыкание бинарного отношения ВП и ввел сильную аксиому ВП, которая оказалась эквивалентной существованию порядковой функции полезности, рационализирующей данную статистику.
Дальнейшие попытки построения обобщенной теории спроса на основе слабой аксиомы ВП выявили31, что регулярные функции спроса, удовлетворяющие слабой аксиоме, должны удовлетворять всем трем свойствам классического спроса, приведенным в п. 1, кроме симметричности матрицы Слуцкого. Спрос, порождаемый нашей моделью, именно такой. Таким образом, новая модель (6), основанная на представлении предпочтений векторным полем, которое может быть непотенциальным, соответствует теории потребительского спроса, построенной на основе слабой аксиомы ВП32.
5. Пример непотенциального спроса
Рассмотрим векторное поле предпочтений
Здесь параметры ?1, ?2, ?3, ? положительные и ?1 + ?2 + ?3 = ? < 1.
Нетрудно убедиться, что матрица производных Q(x) поля (10) несимметричная и при достаточно малых ? отрицательно определенная. Следовательно, поле (10) непотенциальное и монотонно убывающее. Решая систему (6) с полем (10), получим функции спроса
--------------------------------------------------------------------------------
29 Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Op. cit. Par. 2.F.
30 Houthakker H.S. Revealed Preference and the Utility Function // Economica. 1950. Vol. 17. P. 159 - 174.
31 Kihlstrom R., Mas-Colell A., Sonnenschein H. The Demand Theory of the Weak Axiom of Revealed Preference // Econometrica. 1976. Vol. 44. N 5. P. 971 - 978.
32 Прямое доказательство см.: Горбунов В. К. Обобщенная модель потребительского спроса и выявленное предпочтение // Труды Средневолж. матем. об-ва. 2007. Т. 9. N 2. С. 33 - 39.
стр. 76
--------------------------------------------------------------------------------
Формулы (11) при ? = 0 представляют классический спрос Кобба-Дугласа. При достаточно малых ? > 0 этот спрос регулярен в области {р > 0, е > 0} и для всех значений ? ? 0 он однородный, т.е. имеет структуру х(р)е. Матрица Слуцкого (2) для спроса (11)
Эта матрица несимметричная, следовательно спрос (11) непотенциальный.
6. Заключение
Приведенная модель потребительского выбора (6) решает проблему построения обобщенной (относительно классической теории) аналитической теории спроса без использования функции полезности для рынков с числом товаров не менее трех. Это сделано на основе отказа от необходимого совмещения требований полноты, транзитивности и непрерывности классического отношения потребительских предпочтений. Базовым понятием новой теории вместо бинарного отношения предпочтений является новое понятие - поле потребительских предпочтений. В случае потенциальности поля система (6) эквивалентна регулярной классической модели потребительского выбора (1), где функция полезности - потенциал этого поля. Наша модель соответствует теории потребительского спроса, основанной на слабой аксиоме выявленного предпочтения. В отличие от аналитических обобщений Р. Аллена и В. Шафера, а также от исследования R. Kihlstrom, A. Mas-Colell,
стр. 77
--------------------------------------------------------------------------------
H. Sonnenschein и недавней статьи J. Quah33, имеющих абстрактный характер, мы построили содержательную обобщенную аналитическую модель потребительского спроса. Эта модель позволяет вычислять функции спроса, обладающие почти всеми базовыми свойствами классического рыночного спроса, кроме симметричности матрицы Слуцкого.
Для реализации прикладного потенциала новой модели требуется разработка методов решения соответствующей обратной задачи - построения поля предпочтений по статистическим данным о спросе. Здесь предполагается развить как классический параметрический метод, так и непараметрический метод Африата-Вэриана.
Список литературы
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М., 1988.
Горбунов В. К. Математическая модель потребительского спроса: теория и прикладной потенциал. М., 2004.
Горбунов В. К. Обобщенная модель потребительского спроса // Тезисы докладов и сообщений Шестого Всероссийского симпозиума "Стратегическое планирование и развитие предприятий" / Под ред. Г. Б. Клейнера. М., 2005.
Горбунов В. К. Обобщенная модель потребительского спроса и выявленное предпочтение // Труды Средневолж. матем. об-ва. 2007. Т. 9. N 2.
Горбунов В. К., Козлова Л. А. Построение и исследование квазиинвариантных индексов потребления // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2008. N 3(19).
Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. М., 1972.
Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., 1975.
Слуцкий Е. Е. К теории сбалансированного бюджета потребителя // Народно-хозяйственные модели: теорет. вопросы потребления. М., 1963.
Хикс Дж. Р. Стоимость и капитал. М., 1993.
Afriat S.N. The Construction of Utility Functions from Expenditure Data // International Economic Review. 1967. Vol. 8. N 1.
Allen R.G.D. The Foundation of a Mathematical Theory of Exchange // Economica. 1932. Vol. 12.
Georgescu-Roegen N. Choice and Revealed Preference // Southern Economic J. 1954. Vol. 21. N 2.
Gorman W.M. Community Preference Fields // Econometrica. 1953. Vol. 21.
Houthakker U.S. Revealed Preference and the Utility Function // Economica. 1950. Vol. 17.
Hurwic L., Uzawa H. On the Integrability of Demand Functions in Preference, Utility and Demand / Ed. by J.S. Chipman et al. Ch. 6. N.Y., 1971.
--------------------------------------------------------------------------------
33 Quah J.K.-H. Weak Axiomatic Demand Theory // Economic Theory. 2006. Vol. 29. P. 677 - 699.
стр. 78
--------------------------------------------------------------------------------
John R. Local and Global Consumer Preferences // Generalized Convexity and Relative Topics. Lecture Notes in Economics and Math Systems. Berlin, 2007.
Katzner D.W. Demand and Exchange Analysis in the Absence of Integrability conditions in Preference, Utility and Demand / Ed. by J.S. Chipman et al. Ch. 10. N.Y., 1971.
Kihlstrom R., Mas-Colell A., Sonnenschein H. The Demand Theory of the Weak Axiom of Revealed Preference // Econometrica. 1976. Vol. 44. N 5.
Mas-Colell A. An Equilibrium Existence Theorem Without Complete and Transitive Preferences // J. Mathematical Economics. 1974. Vol. 1.
Mas-Colell A., Whinston M., Green J. Microeconomic Theory. N.Y., 1995.
Quah J.K-H. Weak Axiomatic Demand Theory // Economic Theory. 2006. Vol. 29.
Samuelson P.A. A Note on the Pure Theory of Consumer's Behaviour // Economica, New Series 1938. Vol. 5. N 17.
Samuelson P.A. Consumption Theory in Terms of Revealed Preference // Economica. 1948. Vol. 15.
Samuelson P.A., Swamy S. Invariant Economic Index Numbers and Canonical Duality: Survey and Synthesis // The American Economic Review. 1974. Vol. 64. N 4.
Shafer W.J. The Nontransitive Consumer // Econometrica. 1974. Vol. 42.
Varian H. The Nonparametric Approach to Demand Analysis // Econometrica. 1982. Vol. 50. N 4.
стр. 79
Опубликовано 07 января 2014 года
Новые статьи на library.by:
ЭКОНОМИКА:
Комментируем публикацию: МОДЕЛЬ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО СПРОСА, ОСНОВАННАЯ НА ВЕКТОРНОМ ПОЛЕ ПРЕДПОЧТЕНИЙ
подняться наверх ↑
ССЫЛКИ ДЛЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ
По стандарту ВАК Республики Беларусь
Стандарт используется в белорусских учебных заведениях различного типа.
По ГОСТу Российской Федерации
Для образовательных и научно-исследовательских учреждений РФ
Прямой URL на данную страницу для блога или сайта
Предполагаемый источник
Полностью готовые для научного цитирования ссылки. Вставьте их в статью, исследование, реферат, курсой или дипломный проект, чтобы сослаться на данную публикацию №1389084315 в базе LIBRARY.BY.
подняться наверх ↑
ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!
подняться наверх ↑
ОБРАТНО В РУБРИКУ?
Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.
Добавить статью
Обнародовать свои произведения
Редактировать работы
Для действующих авторов
Зарегистрироваться
Доступ к модулю публикаций