РАЗНОЕ (последнее)
Теоремы
Публикации на разные темы ("без рубрики").
Определение: Элемент наилучшего приближения – L – линейное многообразие, плотное в E. " e " x О E $ u: ¦x-u¦< e
Теорема: Для любого элемента нормированного пространства существует хотя бы один элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Для элемента из строго нормированного конечномерного пространства существует единственный элемент наилучшего приближения из конечномерного подпространства.
Теорема: Рисса о существовании почти ортогонального элемента. E-НП L М E, " e О (0,1) $ z e О EL ¦z e ¦=1 r (z e ,L)>1- e
Определение: Полное нормированное пространство- любая фундаментальная последовательность сходиться.
Теорема: О пополнении нормированного пространства. Любое нормированное пространство можно считать линейным многообразием, плотным в некотором полном нормированном пространстве.
Определение: Гильбертово пространство – нормированное пространство, полное в норме, порожденной скалярным произведением.
Теорема: Для любого элемента гильбертова пространства существует единственный элемент наилучшего приближения в конечномерном подпространстве гильбертова пространства.
Определение: L плотное в E, если " x О E $ u О L: ¦x-u¦< e
Теорема: Чтобы L было плотно в H у ортогональное дополнение к L состояло только из нулевого элемента.
Определение: Сепарабельное – нормированное пространство, содержащее некоторое счетное плотное в нем множество.
Определение: Ортогональное дополнение – множество элементов ортогональных к элементам данного пространства.
Определение: Линейный оператор – отображение, для которого A(ax+by)=aAx+bAy
Определение: Непрерывный оператор – Ax а Ax 0 при x а x 0
Определение: L (X,Y) – пространство линейных операторов
Теорема: Пусть X и Y – полные НП и A – непрерывен на некотором подпространстве пространства X, тогда он непрерывен на всем X.
Определение: Ограниченный оператор - " ¦x¦?1 $ с: ¦Ax¦?c
Теорема: A – ограниченный у " x О X ¦Ax¦?c¦x¦
Теорема: Для того чтобы А был непрерывен у чтобы он была ограничен
Теорема: {A n } равномерно ограничена и {A n }- ограничена.
Теорема: {A n x} – ограниченно у {¦A n ¦}- ограничена.
Определение: Сильная (равномерная) сходимость ¦A n -A¦ а 0, n а Ґ , обозначают A n а A
Определение: Слабая сходимость - " x О X ¦(A n -A)x¦ Y а 0, n а Ґ
Теорема: Для того, чтобы имела место сильная сходимость у {A n } сходилась равномерно на замкнутом шаре радиуса 1
Теорема: Банаха-Штенгауза A n а A n а Ґ слабо и 1) {¦A n ¦}- ограничена 2) A n а A, x’ М X, x’=x
Теорема: Хана Банаха. A:D(A) а Y, D(A) М X и $ A’:X а Y 1) A’x=Ax, x О D(A) 2) ¦A’¦=¦A¦
Определение: Равномерная ограниченность - $ a " x: ¦x(t)¦?a
Определение: Равностепенная непрерывность " t 1 ,t 2 $ d : ¦x(t 1 )-x(t 2 )¦< e
Теорема: L (X,Y) полное, если Y – полное.
Определение: Ядро – {x О X | Ax=0}
Определение: Сопряженное пространство – пространство функционалов X * := L (X,E)
Определение: Сопряженный оператор A * : Y * а X *
Теорема: Банаха A:X а Y и X,Y- полные нормированные пространства. Тогда $ A -1 и ограничен.
Определение: Оператор А – обратимый
Определение: Оператор А- непрерывнообратимый если 1) A- обратим, 2) R(A)=Y, 3) A -1 -ограничен.
Теорема: A -1 $ и ограничен у $ m>0 " x О X ¦Ax¦?m¦x¦
Теорема: Рисса о представлении линейного функционала в гильбертовом пространстве. Пусть f:X а Y – линейный ограниченный функционал и $ ! y О H " x О H f(x)=(x,y)
Определение: M М X называется бикомпактным, если из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся к элементам этого же множества последовательность.
Определение: Множество называется компактным, если любая ограниченная последовательность элементов содержит фундаментальную подпоследовательность.
Теорема: Хаусдорфа. M М X компактно у " e >0 $ конечная e -сеть
Теорема: Арцела. M М C[a,b] компактно у все элементы множества равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.
Определение: Компактный (вполне непрерывный) оператор – замкнутый шар пространства X переводит в замкнутый шар пространства Y.
Определение: s (X,Y) – подпространство компактных операторов
Теорема: Шаудера. A О s (X,Y) у A * О s (X * ,Y * )
Линейные нормированные пространства
Пространства векторов
сферическая норма
кубическая норма
ромбическая норма
p>1
Пространства последовательностей
p>1
или пространство ограниченных последовательностей
пространство последовательностей, сходящихся к нулю
пространство сходящихся последовательностей
Пространства функций
пространство непрерывных на функций
пространство k раз непрерывно дифференцируемых на функций
Ј p [a,b] пространство функций, интегрируемых в степени p (не Гильбертово)
- пополнение Ј p [a,b] (Гильбертово)
Неравенство Гёльдера p,q>0
Неравенство Минковского
Опубликовано 04 июня 2010 года
Новые статьи на library.by:
РАЗНОЕ:
Комментируем публикацию: Теоремы
подняться наверх ↑
ССЫЛКИ ДЛЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ
По стандарту ВАК Республики Беларусь
Стандарт используется в белорусских учебных заведениях различного типа.
По ГОСТу Российской Федерации
Для образовательных и научно-исследовательских учреждений РФ
Прямой URL на данную страницу для блога или сайта
Предполагаемый источник
Полностью готовые для научного цитирования ссылки. Вставьте их в статью, исследование, реферат, курсой или дипломный проект, чтобы сослаться на данную публикацию №1275679064 в базе LIBRARY.BY.
подняться наверх ↑
ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!
подняться наверх ↑
ОБРАТНО В РУБРИКУ?
Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.
Добавить статью
Обнародовать свои произведения
Редактировать работы
Для действующих авторов
Зарегистрироваться
Доступ к модулю публикаций