РАЗНОЕ (последнее)
Отображения в пространстве R(p 1 ,p 2 )
Публикации на разные темы ("без рубрики").
Отображения в пространстве R(p 1 ,p 2 )
§1. Пространство R(p 1 ,p 2 ).
А 1 - аффинная прямая. Отнесем прямую А 1 к подвижному реперу r = {a, ` e}, где а и ` e соответственно точка и вектор.
Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a= q ` e , d ` e= W ` e (1),
причем формы Пфаффа q и W подчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :
D q = q Щ W , DW=W Щ W=0.
Пусть e* - относительная длина вектора e* = ` e + d ` e + 1/2d 2 ` e + 1/6d 3 ` e +... по отношению к вектору ` е. Тогда ` e* =e* ` e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора ` e* , близкого к ` e , по отношению к ` e.
Пусть R(p 1 ,p 2 ) – пространство всех пар (p 1 ,p 2 ) точек p 1 ,p 2 прямой А 1. Поместим начало а репера r в середину Q отрезка р 1 р 2 , а конец вектора ` е – в точку р 1 ; при этом р 2 совместится с концом вектора - ` е.
Условия стационарности точек р 1 и р 2 в таком репере имеют соответственно вид: W+ q =0, -W+ q =0.
Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р 1 ,р 2 ) являются формы Пфаффа : W+ q , -W+ q .
Очевидно, что dim R(p 1 ,p 2 ) =2. Заметим ,что в репере r форма 2 W является дифференциалом относительной длины отрезка р 1 *р 2 * , близкого к р 1 р 2 ,по отношению к р 1 р 2 .
§ 2. Отображение f.
А 2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={ p, ` e j }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А 2 имеют соответственно вид : dp = W j e j ; d ` e j = W j k ;
DW j = W k ^ W k j ; DW j = W j y ^ W y k .
Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение f плоскости А 2 в пространстве R(p 1 ,p 2 ):f:A 2 ® R(p 1 ,p 2 ).
Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)
Поместим начало Р репера R в точку f -1 (p 1 ,p 2 ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :
Q + W= l j W j ; Q-W= m j W j (2)
Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f -1 : R(p 1 ,p 2 ) ® A 2 обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f -1 имеют вид :
W j = l j (Q+W)+ m j (Q-W) (3)
Из (2) и (3) получаем :
l k l j + m k m j = d j k
l j l j =1
m j m j =1 (*)
l j m j =0
m j l j =0
Указанную пару { r;R } реперов пространств А 1 и А 2 будем называть репером нулевого порядка отображения f .
§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f.
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.
D(? j W j -W-Q)=0 ,
получаем :
d? j =? k W j k +14(? j ? k -? k ? j )W k +? jk W k
D(? j W j +W-Q)=0
получаем :
d? j =? k W j k +14(? j ? k -? k ? j )W k +? jk W k
Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид:
Q+W=? j W j
Q-W=? j W j
d? j =? k W j k +14(? j ? k -? k ? j )W k +? jk W k
d? j =? k W j k +14(? j ? k -? k ? j )W k +? jk W j
Из этих уравнений вытекает, что система величин Г 1 = {? j ,? j } является геометрическим объектом. Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :
d? k ^W j k +? k dW j k +14(?j? k -? k ? j )^W k +14(? j ? k -? k ? j )dW k +d? jk ^W k +? jk dW k =0 .
получим:
(d? jt -? kt W j k -? jk W t k +14(? k ? jt -? k ? jk )W k +116? t ? k (? j -? j )W k )^W t =0
d? k ^W j k +? k dW j k +14d(? j ? k -? k ? j )^W k +14(? j ? k -? k ? j )dW k +d? jk ^W k +? jk dW k =0
получим:
(d? jt -? kt W j k -? jt W t k +14(? k ? jt -? k ? jt )W k +116? t ? k (? j -? j )W k )^W t =0
обозначим:
? j =d? j -? t W j t
? j =d? j -? t W j t
? jk =d? jk -? tk W k t -? jt W k t
? jk =d? tk W j t -? jt W k t
Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения f примет вид:
Q+W=? j W j
Q-W=? j W j
d? j =? k W j k +14(? j ? k -? k ? j )W k +? jk W k
d? j =? k W j k +14(? j ? k -? k ? j )W k +? jk W k (4)
? jk =(14(? ? ? jk -? ? ? jk )+116? k ? ? (? j -? j )+? jk? )W ?
? jk =(14(? ? ? jk -? ? ? jk )+116? k ? ? (? j -? j )+? jk? )W ?
Из уравнений (4) вытекает, что система величин Г 2 = {? j ,? j ,? jk ,? jk } образует геометрический объект. Он называется фундаментальным геометрическим объектом второго порядка отображения f. Дальнейшее продолжение системы (2) приведет к фундаментальному геометрическому объекту Г Р порядка р :
Г Р = {? j ,? j ,? j1j2 ,? j1j2 ,...,? j1j2...jp ,? j1j2...jp }.
§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.
Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {? j },{? j } образует подобъекты геометрического объекта Г 1 . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:
? j X j =1 ; ? j X j =1 (6)
не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {? j ,? j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {? j ,? j } охватываются объектом Г 1 .
Из (*) получаем:
d? j =-? k W k j -14(? j +? j )? t W t -? kt ? k ? t W t -? kt W t ^? k ? j
d? j =-? k W k j -? kt ? k ? j W t -? kt ? k ? j W t +14? t (? j +? j )W t
Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г 1 . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.
Предположение 1.Конец вектора v 1 =? j e j (вектора v 2 =? j e j ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями:
? j X j =0 , ? j X j = 0 (7).
Предположение 2. Основные векторы {? j } и {? j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:
? j X j =1
V 2
V 1 ? j X j =1
Система величин ? j =? j -? j образует ковектор: d? j =? k W j k +(? jk -? jk )W k .
Определяемая им прямая ? j X j =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .
Пусть W -однородное подмногообразие в R(p 1 ,p 2 ) содержащее элементы (р 1 ,р 2 ) определяемое условием: (р 1 * ,р 2 * )?W-p 1 * p 2 * =p 1 p 2 .
Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W) многообразия W при отображении f .
Доказательство:
] (p 1 * ,p 2 * )?W и p 1 * =p 1 +dp 1 +12d 2 p 1 +... ,
p 2 * =p 2 +dp 2 +12d 2 p 2 +... .
Тогда в репере Г: p 1 * p 2 * =e p 1 p 2 , где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р 1 * р 2 * по отношению к р 1 р 2 . Таким образом, (р 1 * р 1 * )?W-W=0 .
Из (2) получим: W=? 1 W j
Следовательно, (р 1 * р 2 * )?W равносильно ? j W j =0 (9)
Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.
При фиксации элемента (р 1 ,р 2 )?R(p 1 p 2 ) определяется функция h : (p 1 * p 2 * )?h(p 1 p 2 )>e?R , так, что р 1 * р 2 * =е р 1 р 2
В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f -1 (W) является линией уровня функции h . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линии f -1 (W) .
]W 1 ,W 2 - одномерные многообразия в R(p 1 p 2 ) , содержащие элемент (р 1 р 2 ) и определяемые соответственно уравнениями:
(p 1 * ,p 2 * )єW 1 -p 2 * =p 2 .
(p 1 * ,p 2 * )єW 2 -p 1 * =p 1 .
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.
Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразия W 2 (многообразия W 1 ) при отображении f .
Дифференциальные уравнения линии f -1 (W 1 ) и f -1 (W 2 ) имеют соответственно вид:
? j W j =0
? j W j =0 .
Пусть W 0 - одномерное подмногообразие в R(p 1 p 2 ) , содержащее (р 1 р 2 ) и определяемое условием: (p 1 * p 2 * )єW 0 -Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р 1 * р 2 * . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.
Предложение 3. Прямая (? j +? j )X -j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f -1 (W 0 ) многообразия W 0 при отображении f . Дифференциальное уравнение линии f -1 (W 0 ) имеет вид: (? j +? j )W j =0 .
Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиям f -1 (W 1 ), f -1 (W 2 ) , f -1 (W), f -1 (W 0 ) составляют гармоническую четверку.
Доказательство вытекает из (7),(8),(10).
§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f.
Рассмотрим отображения:
П 1 : (р 1 ,р 2 )?R(p 1 ,p 2 )>p 1 ?A 1 (5.1)
П 2 : (р 1 ,р 2 )?R(p 1 ,p 2 )>p 2 ?A 1 (5.2)
Отображение f: A 2 >R(p 1 ,p 2 ) порождает точечные отображения:
? 1 =П 1 ?f: A 2 >A 1 (5.3)
? 2 =П 2 ?f: A 2 >A 1 (5.4)
В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений ? 1 и ? 2 меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г 1,2 ={ ? j ,? jk } и Г 2,2 = {? j ,? jk } объекта Г 2 являются фундаментальными объектами второго порядка отображений ? 1 и ? 2 .
В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:
x=1+? j X j +1/2? jk X j X k +1/4? y ? k X j X k +<3>, (5.5)
y=-1+? j X j +1/2? jk X j X k +1/4? y ? k X j X k +<3>, (5.6)
Введем системы величин:
? jk =? jk +1/4(? j ? k +? k ? j ),
? jk =? jk +1/4(? j ? k +? k ? j )
Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:
x=1+? j X j +1/2? jk X j X k +<3> (5.7)
y=-1+? j X j +1/2? jk X j X k +<3> (5.8)
В <4> доказано, что существует репер плоскости А 2 , в котором выполняется:
? 1 ? 2 1 0
=
? 1 ? 2 0 1
Этот репер является каноническим.
Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.
Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:
x=1+X 1 +1/2? jk X j X k +<3> (5.9),
y=-1+X 2 +1/2? jk X j X k +<3> (5.10).
§6. Инвариантная псевдориманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
G jk =1/2(? j ? k +? k ? j )
Из (3.1) получим:
dG jk =1/2(d? j ? k +? j ? k +d? k ? j +? k d? j )=1/2(? k ? t W j t +1/4? j ? k ? t W t -14? k ? t ? t W t +? k ? jt W t +? j ? t W k t +
+1/4? j ? k ? t W t -1/4? j ? k ? t W t -1/4? j ? t ? k W t +? j ? kt W t +? k ? t W j t +1/4? k ? j ? t W t -1/4? k ? t ? j W t +
+? k ? jt W t ),
dG jk =1/2(? k ? t + ? k ? t )W j t +1/2(? j ? t +? t ? j )W k t +G jkt W t ,
где G jkt =1/2(? k ? jt +? y ? kt +? j ? kt +? k ? jt -1/2? j ? k ? t +1/2? j ? k ? t -1/4? j ? k ? t +1/4? j ? k ? t +1/4? j ? k ? t -
-1/4? j ? k ? t ) (6.3).
Таким образом, система величин {G jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А 2 инвариантную метрику G :
dS 2 =G jk W j W k (6.4)
Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS 2 =? 2 -W 2 (6.5) в R(p 1 ,p 2 ).
Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.
Асимптотические направления определяются уравнением G jk W j W k =0 или
? j W j ? k W k =0 (6.6)
Предложение : Основные векторы V 1 и V 2 определяют асимптотические направления метрики G.
Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек (x,U) и (y,U ’ ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU ’ )
Теорема : Метрика dS 2 =? 2 -W 2 совпадает с метрикой Розенфельда .
Доказательство: В репере r имеем для координат точек p 1 ,p 2 ,p 1 +dp 1 ,p 2 +dp 2
Соответственно: 1,-1,1+?+W,-1+?-W .
Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем
dS 2 =? 2 -W 2
Следствие : Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.
В работе <3> был построен охват объекта
Г l jk =1/2G tl (G tkj +G jtk -G jkt )
псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г 2 = {? j ,? j ,? jk ,? jk }.
Он определяется формулой: Г l jk =? j ? jk +? l ? jk -? l ? t ? k +? l ? t ? k .
§7. Инвариантная риманова метрика.
Рассмотрим систему величин:
g jk =? j ? k +? j ? k (7.1)
Из (3.1) получаем:
dg jk =d? j ? k +d? k ? j +d? j ? k +d? k ? j =? k ? t W j t +1/4? k ? j ? t W t -1/4? j ? t ? j W t +? k ? jt W t +? j ? t W k t +
+1/4? j ? k ? t W t -1/4? j ? t ? k W t +? j ? kt W t +? k ? t W j t +1/4? k ? j ? t W t -1/4? k ? t ? j W t +? k ? jt W t +
+? j ? t W k t +1/4? j ? k ? t W t -1/4? j ? t ? k W t +? j ? kt W t .
dg jk =(? k ? t +? k ? t )W j t +(? j ? t +? j ? t )W k t +g jkt W t , (7.2)
где g jkt =1/2? j ? k ? t -1/2? j ? k ? t -1/4? k ? t ? j -1/4? j ? t ? k +1/4? j ? k ? t +1/4? j ? k ? t +? k ? jt +? j ? kt +
+? k ? jt +? j ? kt (7.3)
Таким образом, система величин {g jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А 2 инвариантную метрику g :
dS 2 =g jk W j W k (6 ’ .4)
Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6 ’ .4) соответствует при отображении f метрике:
dS 2 =2(? 2 +W 2 ) (6 ’ .5)
в R(p 1 ,p 2 )
Из (6 ’ .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.
Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:
GjkXjXk=1 (6 ’ .6)
или (? j X j ) 2 +(? j X j ) 2 =1 (6 ’ .7)
Из (6 ’ .7) вытекает:
Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.
Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .
V 1
V 2 рис.3.
Пусть g jk =? j ? k +? j ? k (6.8)
В силу (2.7) имеем:
g jt g tk =(? j ? t +? j ? t )(? t ? k +? t ? k )=? j ? k +? j ? k =? k j (6 ’ .9)
Таким образом, тензор g jk является тензором взаимных к g jk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.
Предложение 7.2: Поле основного вектора {? j } (вектора {? j } ) соответствует в метрике g полю основного ковектора {? j } (ковектора {? j } ).
Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .
Доказательство:
? j ? k g jk =? j ? k ? j ? k +? j ? k ? j ? k =1 ,
? j ? k g jk =? j ? k ? j ? k +? j ? k ? j ? k =1 ,
? j ? k g jk =? j ? k ? j ? k +? j ? k ? j ? k =0 .
Таким образом, f задает на А 2 структуру риманова пространства (A 2 ,g f ).
В работе <2> был построен охват объекта
? jk l =1/2g tl (g tkj +g jtk -g jkt )
римановой связности ? фундаментальным объектом
Г 2 = {? j ,? j ,? jk ,? jk }
Он определяется формулой:
? jk l =? l ? jk +? l M jk +G jk (? l -? l )+1/2(? l +? l )(? j ? k -? j ? k ) ,
где G jk =1/2(? j ? k +? k ? j ).
Опубликовано 04 июня 2010 года
Новые статьи на library.by:
РАЗНОЕ:
Комментируем публикацию: Отображения в пространстве R(p 1 ,p 2 )
подняться наверх ↑
ССЫЛКИ ДЛЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ
По стандарту ВАК Республики Беларусь
Стандарт используется в белорусских учебных заведениях различного типа.
По ГОСТу Российской Федерации
Для образовательных и научно-исследовательских учреждений РФ
Прямой URL на данную страницу для блога или сайта
Предполагаемый источник
Полностью готовые для научного цитирования ссылки. Вставьте их в статью, исследование, реферат, курсой или дипломный проект, чтобы сослаться на данную публикацию №1275677969 в базе LIBRARY.BY.
подняться наверх ↑
ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!
подняться наверх ↑
ОБРАТНО В РУБРИКУ?
Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.
Добавить статью
Обнародовать свои произведения
Редактировать работы
Для действующих авторов
Зарегистрироваться
Доступ к модулю публикаций