Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Публикации на разные темы ("без рубрики").

NEW РАЗНОЕ


РАЗНОЕ: новые материалы (2024)

Меню для авторов

РАЗНОЕ: экспорт материалов
Скачать бесплатно! Научная работа на тему Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции . Аудитория: ученые, педагоги, деятели науки, работники образования, студенты (18-50). Minsk, Belarus. Research paper. Agreement.

Полезные ссылки

BIBLIOTEKA.BY Беларусь - аэрофотосъемка HIT.BY! Звёздная жизнь


Публикатор:
Опубликовано в библиотеке: 2010-06-04
Источник: http://library.by

 

 

Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции


Примеры

Примеры: в нижеследующих примерах приведены образцы исследования элементарных функций, заданных формулами, содержащими обратные тригонометрические функции.

Пример №1. Исследовать функции arcsin(1/x) и arccos(1/y) и построить их графики.

Решение: Рассмотрим 1-ю функцию






y = arcsin(1/x)



Д(f): | 1/x | ? 1 ,



| x | ? 1 ,
( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )





Функция нечетная


 

 

( f(x) убывает на пр. [0;1] , f(y) убывает на пр. [0; ?/2 ] )


Заметим, что функция y=arccosec(x) определяется из условий cosec(y)=x и y є [- ?/2 ; ?/2 ], но из условия cosec(y)=x следует sin(y)=1/x, откуда

y=arcsin(1/x). Итак, arccos(1/x)=arcsec(x)


Д(f): ( - ? ; -1 ] U [ 1; + ? )









 

Пример №2. Исследовать функцию y=arccos(x 2 ).

Решение:



Д(f): [-1;1]
Четная

f(x) убывает на пр. [0;1]



f(x) возрастает на пр. [-1;0]

Пример №3. Исследовать функцию y=arccos 2 (x).

Решение: Пусть z = arccos(x), тогда y = z 2

f(z) убывает на пр. [-1;1] от ? до 0.

f(y) убывает на пр. [-1;1] от ? 2 до 0.


 

 

 

 





Пример №4. Исследовать функцию y=arctg(1/(x 2 -1))

Решение:

Д(f): ( - ? ; -1 ) U ( -1; 1 ) U ( 1; +? )

Т.к. функция четная, то достаточно исследовать функцию на двух промежутках:

[ 0 ; 1 ) и ( 1 ; +? )





X
0

< x <

1

< x <

+?

u=1/(x 2 -1)

-1

?

+ ?

- ?

?

0



y=arctg(u)
- ? /4

?

? /2

- ? /2

?

0






Тригонометрические операции над аркфункциями

Тригонометрические функции от одного и того же аргумента выражаются алгебраически одна через другую, поэтому в результате выполнения какой-либо тригонометрической операции над любой из аркфункций получается алгебраическое выражение.

В силу определения аркфункций:

sin(arcsin(x)) = x , cos(arccos(x)) = x

(справедливо только для x є [-1;1] )

tg(arctg(x)) = x , ctg(arcctg(x)) = x

(справедливо при любых x )

Графическое различие между функциями, заданными формулами:


y=x и y=sin(arcsin(x))










 

 

Сводка формул, получающихся в результате выполнения простейших тригонометрических операций над аркфункциями.



Аргумент


функция

arcsin(x)

arccos(x)

arctg(x)

arcctg(x)

sin

sin(arcsin(x))=x







cos



x





tg





x

1 / x

ctg





1 / x

x

Справедливость всех этих формул может быть установлена при помощи рассуждений, приведенных ниже:


Т.к. cos 2 x + sin 2 x = 1 и ? = arcsin(x)





Перед радикалом следует взять знак “+”, т.к. дуга принадлежит правой полуокружности (замкнутой) , на которой косинус неотрицательный.

Значит, имеем




Из тождества следует:



Имеем




Ниже приведены образцы выполнения различных преобразований посредством выведения формул.

Пример №1. Преобразовать выражение

Решение: Применяем формулу , имеем:

Пример №2. Подобным же образом устанавливается справедливость тождеств:





Пример №3. Пользуясь



Пример №4. Аналогично можно доказать следующие тождества:













Пример №5. Положив в формулах

, и

, получим:

,

Пример №6. Преобразуем

Положив в формуле ,

Получим:



Перед радикалами взят знак “+”, т.к. дуга принадлежит I четверти, а потому левая часть неотрицательная.

Соотношения между аркфункциями

Соотношения первого рода – соотношения между аркфункциями, вытекающими из зависимости между тригонометрическими функциями дополнительных дуг.

Теорема. При всех допустимых х имеют место тождества:









 

 

Соотношения второго рода – соотношения между аркфункциями, вытекающие из соотношений между значениями тригонометрических функций от одного и того же аргумента. Посредством соотношений 2-го рода производятся преобразования одной аркфункции в другую (но от различных аргументов).

Случай №1. Значения двух данных аркфункций заключены в одной и той же полуокружности.

Пусть, например, рассматривается дуга ?, заключенная в интервале (-? /2; ?/2).

Данная дуга может быть представлена как в виде арксинуса, так и в виде арктангенса. В самом деле, дуга имеет синус, равный sin ? ? заключена, так же как и ?, в интервале (-? /2; ?/2), ? ледовательно



Аналогично можно дугу ? представить в виде арктангенса:



А если бы дуга ? была заключена в интервале ( 0 ; ? ), то она могла бы быть представлена как в виде арккосинуса, так и в виде арккотангенса:



Так, например:





Аналогично:



Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых содержаться в одной и той же полуокружности (правой или верхней).


Выражение через арктангенс.
Пусть , тогда



Дуга , по определению арктангенса, имеет тангенс, равный и расположена в интервале (-? /2; ?/2).

Дуга имеет тот же тангенс и расположена в том же интервале (-? /2; ?/2).

Следовательно,

(1)

(в интервале ( -1 : 1 )



Выражение через арксинус.
Т.к. , то (2)

в интервале



Выражение арккосинуса через арккотангенс. Из равенства следует тождество
(3)

Случай №2. Рассмотрим две аркфункции, значения которых выбираются в различных промежутках (например, арксинус и арккосинус; арккосинус и арктангенс и т.п.). Если аргумент какой-либо аркфункции (т.е. значение тригонометрической функции) положителен, то соответственно аркфункция (дуга), заключенная в первой четверти, может быть представлена при помощи любой аркфункции; так, например,




Поэтому каждая из аркфункций от положительного аргумента может быть выражена посредством любой другой аркфункции.

Значение какой-либо аркфункции от отрицательного аргумента принадлежит либо промежутку от -?/2 до 0, либо промежутку от ?/2 до ? и не может быть представлено в виде аркфункции, значение которой принадлежит другому (из этих двух) промежутку.

Так, например, дуга не может быть значением арксинуса. В этом случае



Формулы преобразования одних аркфункций в другие, значения которых выбираются в различных полуокружностях.


Выражение арксинуса через арккосинус.
Пусть , если , то . Дуга имеет косинус, равный , а поэтому

При это равенство выполняться не может. В самом деле, в этом случае

, а для функции имеем:

так как аргумент арккосинуса есть арифметический корень , т.е. число неотрицательное.

Расположение рассматриваемых дуг пояснено на рисунке:















 

 

 

Х>0 X<0

При отрицательных значениях Х имеем Х<0, а при положительных X>0, и



Таким образом, имеем окончательно:

если , (4)

, если



 

График функции





Область определения есть сегмент [-1;1]; согласно равенству (4), закон соответствия можно выразить следующим образом:

, если

, если


Аналогично установим, что при имеем:
, если же , то



Таким образом:

, если (5)

, если


Выражение арктангенса через арккосинус. Из соотношения
при имеем:



Если же х<0, то



Итак,

, если (6)

, если



Выражение арккосинуса через арктангенс. Если , то
При имеем:



Итак,

, если (7)

, если


Выражение арктангенса через арккотангенс.
, если х>0 (8)

,если x<0

При x>0 равенство (8) легко установить; если же x<0, то

.


Выражение арксинуса через арккотангенс.
, если (9)

, если


Выражение арккотангенса через арксинус.
, если 0
, если х<0


Выражение арккотангенса через арктангенс.
, если x>0 (11)

, если x<0

Примеры:

Пример №1. Исследовать функцию

Решение. Эта функция определена для всех значений х, за исключением значения х=0 (при х=0) второе слагаемое теряет смысл). Воспользовавшись формулой (8) получим:


y= 0 , если x>0

-? , если x<0




На чертеже изображен график

данной функции




Пример №2. Исследовать функцию

Решение: Первое слагаемое определено для значений , второе – для тех же значений аргумента. Преобразим первое слагаемое по формуле (4).

Т.к. , то получаем

,

откуда:

на сегменте [0;1]

Пример №3. Исследовать функцию

Решение: Выражения, стоящие под знаками аркфункций не превосходят по абсолютной величине единицы, поэтому данная функция определена для всех значений х. Преобразуем первое слагаемое по формуле (4).



Приняв во внимание равенство

, если

, если

получим:

y = 0 , если

, если

Выполнение обратных тригонометрических операций над тригонометрическими функциями.

При преобразовании выражений вида



следует принимать во внимание в какой четверти находится аргумент х и в каком промежутке находится значение данной аркфункции. Рассмотрим, например, первое из данных выражений:



Согласно определению арксинуса, y – есть дуга правой полуокружности (замкнутая), синус которой равен sin x ;

и

Областью определения функции служит интервал , так как при всех действительных значениях х значение промежуточного аргумента содержится на сегменте . При произвольном действительном х значение y (в общем случае) отлично от значения х.

Так, например, при х=?/6 имеем:



но при х=5?/6



В силу периодичности синуса функция arcsin x также является периодической с периодом 2?, поэтому достаточно исследовать ее на сегменте [- ? /2; 3 ? /2] величиной 2?.

Если значение х принадлежит сегменту [- ? /2; ? /2] то y=x, на этом сегменте график функции совпадает с биссектрисой координатного угла.

Если значение х принадлежит сегменту [ ? /2; 3 ? /2], то в этом случае дуга ?-х принадлежит сегменту [- ? /2; ? /2]; и, так как

, то имеем y= ?-? ;

в этом промежутке график функции совпадает с прямой линией y= ?-? . Если значение х принадлежит сегменту [3 ? /2; 5 ? /2], то, пользуясь периодичностью или путем непосредственной проверки, получим:

y=х-2 ?

Если значение х принадлежит сегменту [-3 ? /2; - ? /2], то

y=- ?-?

Если значение х принадлежит сегменту [-5 ? /2; -3 ? /2], то

y=х+2 ?

Вообще, если , то

y=х-2 ? k

и если , то

y=( ?- х)+2 ? k


График функции представлен на рисунке. Это ломаная линия с бесконечным множеством прямолинейных звеньев.









 

 

Рассмотрим функцию

Согласно определению арккосинуса, имеем:

cos y = cos x , где

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел; функция периодическая, с периодом, равным 2?. Если значение Х принадлежит сегменту [0; ? ], то y = x. Если х принадлежит сегменту [ ? ; 2 ? ], то дуга 2?-х принадлежит сегменту [0; ? ] и , поэтому:



Следовательно, на сегменте [ ? ; 2 ? ] имеем y = 2 ? - x

Если х принадлежит сегменту [2 ? ; 3 ? ], то y = x - 2 ?

Если х принадлежит сегменту [3 ? ; 4 ? ], то y = 4 ? – x


Вообще, если , то y = x - 2 ? k

Если же , то y = -x + ? k

Графиком функции является ломаная линия





 



 





 

Формулы сложения

Формулы сложения дают выражения для суммы или разности двух (или нескольких) аркфункций через какую-либо данную аркфункцию. Пусть дана сумма аркфункций; над этой суммой можно выполнить любую тригонометрическую операцию. (....) В соответствии с этим дуга-функция может быть выражена посредством любой данной аркфункции. Однако в различных случаях (при одних и тех же аркфункциях) могут получаться различные формулы, в зависимости от промежутка, в котором берется значение рассматриваемой аркфункции.

Сказанное пояснено ниже на числовых примерах.

Примеры.

Пример №1. Преобразовать в арксинус сумму



Решение: эта сумма является суммой двух дуг ? и ?, где

;

В данном случае (т.к. , а следовательно, ), а также , поэтому .

Вычислив синус дуги ?, получим:



Т.к. сумма ? заключена на сегменте [- ? /2; ? /2], то



Пример №2. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арктангенса. Имеем:



Откуда



Пример №3. Представить посредством арктангенса сумму

Решение: в данном случае (в отличие от предыдущего) дуга ? оканчивается во второй четверти, т.к. , а . Вычисляем

В рассматриваемом примере , так как дуги ? и заключены в различных интервалах,

, а

В данном случае


Пример №4. Представить дугу ?, рассмотренную в предыдущем примере, в виде арккосинуса.

Решение: имеем




Обе дуги ? и расположены в верхней полуокружности и имеют одинаковый косинус, следовательно, эти дуги равны:

Так как суммы и разности любых аркфункций можно выражать при помощи произвольных аркфункций, то можно получать самые разнообразные формулы сложения. Однако все эти формулы выводятся при помощи однотипных рассуждений. Ниже в качестве примеров даются некоторые из формул сложения, по этим образцам можно получить аналогичные формулы в различных прочих случаях.


Формулы сложения аркфункций от положительных аргументов.

Пусть ? и ? – две дуги, заключенные в промежутке от 0 до ?/2 (первая четверть):

, и

Сумма ? + ? ? аключена в верхней полуокружности , следовательно, ее можно представить в виде аркфункции, значение которой выбирается в том же интервале, т.е. в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса:

;



Разность ? – ? ? аключена в правой полуокружности:

Следовательно, она может быть представлена в виде арксинуса, а также в виде арктангенса:

;



Так как значение всякой аркфункции от положительного аргумента заключено в интервале (0; ?/2) то сумму двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арккотангенса, а разность двух аркфункций от положительных аргументов можно представить в виде арккосинуса, а также в виде арктангенса.

Ниже приведены образцы соответствующих преобразований.


Преобразуем в арккосинус , где и
Имеем:



Откуда




Аналогично
, где 0 < x < 1, 0 < y < 1

, где 0 < x < 1, 0 < y < 1








Формулы сложения аркфункций от произвольных аргументов.


Выразить сумму
через арксинус
По определению арксинуса

и ,

откуда



Для дуги ? возможны следующие три случая:

Случай 1:

Если числа x и y разных знаков или хотя бы одно из них равно нулю, то имеет место случай 1.

В самом деле, при и , имеем:

, и ,

откуда



При x > 0, y > 0 для дуги ? имеет место одна из следующих двух систем неравенств:

а) б)

Необходимым и достаточным признаком, позволяющим отличить один от другого случаи а) и б), является выполнение неравенства:

в случае а) и в случае б)

В самом деле, взаимно исключающие друг друга соотношения а) и б) влекут за собой взаимно исключающие следствия и (соответственно), а потому эти следствия служат необходимыми и достаточными признаками наличия данных соотношений.

Вычислив , получим:



При x > 0, y > 0 наличие случая 1 означает выполнения неравенства а) т.е. или



Откуда

и, следовательно,

Наличие случая 1 при x < 0, y < 0 означает выполнение неравенств

;

но тогда для положительных аргументов –x и –y имеет место случай 1, а потому

или

Случай 2.

В этом случае x > 0, y > 0, т.е. выполняется неравенство б); из условия получим

Случай 3.

Этот случай имеет место при x < 0, y < 0, и

Изменив знаки на противоположные придем к предыдущему случаю:



откуда

Дуги ? и имеют одинаковый синус, но (по определению арксинуса) , следовательно в случае 1 ;

в случае 2 и в случае 3 .

Итак, имеем окончательно:

, или

; x > 0, y > 0, и (1)

; x < 0, y < 0, и


Пример:



;


2. Заменив в (1) x на –x получим:

, или

; x > 0, y > 0, и (2)

; x < 0, y < 0, и

3. Выразить сумму через арккосинус

и

имеем



Возможны следующие два случая.

Случай 1: если , то



Приняв во внимание, что обе дуги и расположены в промежутке [0;?] и что в этом промежутке косинус убывает, получим



и следовательно, , откуда

Случай 2: . Если , то

,

откуда при помощи рассуждений, аналогичных предыдущим, получим . Из сопоставления результатов следует, что случай 1 имеет место, если , а случай 2, если

.

Из равенства следует, что дуги

и имеют одинаковый косинус.

В случае 1 , в случае 2 , следовательно,


,

, (3)


4. Аналогично

,

, (4)

пример:


5.

; xy < 1

; x > 1, xy > 1 (5)

; x < 0, xy > 1

При xy =1 не имеет смысла


6.

; xy > -1

; x > 0, xy < -1 (6)

; x < 0, xy < -1


7.

;

; (7)

;

8.

; (8)

;


9.

;

; x > 1 (9)

; x < -1


10. (10)

(11)

, если (12)

, если

Новые статьи на library.by:
РАЗНОЕ:
Комментируем публикацию: Образцы исследования элементарных функций, содержащих обратные тригонометрические функции

Источник: http://library.by

Искать похожие?

LIBRARY.BY+ЛибмонстрЯндексGoogle
подняться наверх ↑

ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!

подняться наверх ↑

ОБРАТНО В РУБРИКУ?

РАЗНОЕ НА LIBRARY.BY

Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.