Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару

 

Эквивалентность пяти классов функций элементарных по Кальмару


Определение. Функция называется элементарной по Кальмару, если ее можно получить й из функций s 1 , I n m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

Определим пять классов функций, элементарных по Кальмару.

L 1 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x+y, x-y, S, а также конечного применения операций суммирования и мультиплицирования.

L 2 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, 2 x ,S, а также конечного применения операции суммирования.

L 3 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x*y, 2 x ,S, а также конечного применения операции ограниченной минимизации.

L 4 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x+y 2 x ,S, а также конечного применения операции ограниченной рекурсии.

L 5 Класс функций, получаемый из функций s 1 , I n m , x-y, x*y, S, а также конечного применения операции мультиплицирования.

Доказательство будем проводить по следующей схеме:

1. L 1 ? L 2 ? L 3 ? L 4 ? L 1

2. L 1 ? L 5

3. L 5 ? L 3

Докажем, что L 1 ? L 2 (для этого выразим 2 x через функции L 1 )



Докажем, что L 2 ? L 3 (для этого выразим x*y и операцию ограниченной минимизации через функции L 2 )



Пусть

тогда



Докажем, что L 3 ? L 4 (для этого выразим x+y и операцию ограниченной рекурсии через функции L 3 )



Выразим операцию ограниченной рекурсии на основании следующего свойства функции Геделя.



Пусть

тогда



Отношение, примененное в операция конечной минимизации, является элементарным по Кальмару.

Докажем, что L 4 ? L 1 (для этого выразим операции суммирования и мультиплицирования через функции L 4 )

Выразим м3ультиплицирование через ограниченную рекурсию.



Где ?(x,y)-к-ступенчатая функция.

Выразим суммирование через ограниченную рекурсию.



Докажем, что L 1 ? L 5 (для этого выразим x*y через функции L 5 )



Докажем, что L 5 ? L 3 (для этого выразим 2 x и операцию ограниченной минимизации выразим через функции L 5 )



Пусть

тогда



Эквивалентность классов доказана.