А. А. Хакимова: руководитель Бугульминского центра дистанционного обучения Института экономики, управления и права, аспирант Елабужского педагогического института

E-mail: hakimova@bug.ieml.ru

_____________________________________

Статья посвящена проблеме использования информационно-коммуникационных технологий в дистанционном обучении математическим дисциплинам студентов экономического профиля. В качестве одного из средств информационно-коммуникационных технологий, а также в качестве среды для подготовки и использования педагогических программных продуктов, предназначенных для обучения математике, предлагается применять систему компьютерной математики "Mathematica".

Ключевые слова: информационно-коммуникационные технологии, математическое программирование, задача линейного программирования, система компьютерной математики "Mathematica".

_____________________________________

Одно из приоритетных направлений развития современного общества - информатизация образования, являющаяся обязательным условием подготовки конкурентоспособных специалистов различного профиля. А в условиях рыночных отношений образование должно быть гибким и доступным. Этим требованиям соответствует такая форма обучения, как дистанционная.

Дистанционное обучение - это качественно новый и прогрессивный вид получения знаний обучающимися посредством современных информационных и коммуникационных образовательных технологий на расстоянии от учебного заведения. Особенно эта форма обучения популярна в вузах с экономическим профилем, так как традиционные формы получения образования в сфере экономики во многом не удовлетворяют ритму экономической жизни, а дистанционное образование благодаря использованию информационных и коммуникационных технологий позволяет многим студентам получить квалифицированные знания на расстоянии. Таким образом, информационные и коммуникационные технологии являются организационной основой дистанционного образования.

Что же понимают под информационными и коммуникационными технологиями? Информационные и коммуникационные технологии (ИКТ) - это "широкий спектр цифровых технологий, используемых для создания, передачи и распространения информации и оказания услуг (компьютерное оборудование, программное обеспечение, телефонные линии, сотовая связь, электронная почта, сотовые и спутниковые технологии, сети беспроводной и кабельной связи, мультимедийные средства, а также Интернет)" [1, с. 12].

ИКТ позволяют обучить студентов различным учебным дисциплинам. Наиболее эффективно использовать данные технологии в преподавании математики, так как данная дисциплина является фундаментальной в вузах экономического профиля. Многие экономические законы сформулированы на языке математики (условия оптимальности выпуска продукции, балансовая модель и т. д.), в то время как многие математические понятия (производная, интеграл и т. д.) имеют и экономический смысл.

В качестве средств ИКТ в обучении математике могут выступать системы компьютерной математики. Системы компьютерной математики (СКМ) - интегрированные программные продукты, обладающие средствами выполнения различных численных и аналитических (символьных) математических расчетов от простых арифметических вычислений до решения уравнений с частными производными, решения задач оптимизации, проверки статистических гипотез средствами конструирования математических моделей и другими инструментами, необходимыми для проведения разнообразных технических расчетов. Все они имеют развитые средства научной графики, удобную справочную систему, а также средства оформления отчетов.

На фоне различных систем компьютерной математики выделяется система "Mathematica". Этот программный продукт позволяет осуществлять широкий спектр символьных и числовых преобразований, имеет развитую дву- и трехмерную графику, язык программирования Паскаль (и не только!) высокого уровня. Система "Mathematica" позволяет создавать учебные пособия, содержащие в себе комбинированный текст, динамические и статические графические объекты, аудио и видео фрагменты, звук, анимацию. Достигается высокий уровень наглядности, а также информационной насыщенности. Это позволяет студентам экономического профиля за два года изучения курса математики усвоить элементы аналитической геометрии с аналитической алгеброй, основы математического анализа, дифференциальное и интегральное исчисление, теорию вероятности с элементами математической статистики. Особое внимание в вузах с экономическим профилем уделяется изучению экономико-математических методов и моделей. Наличие языка программирования позволяет не только решать математические задачи любой сложности, но и, что не менее важно применительно к образованию, готовить педагогические программные продукты с элементами автоматического контроля знаний и разветвленных обучающих программ.

Учитывая огромные функциональные возможности системы "Mathematica", проблема применения этой системы при обучении математике приобретает особенную актуальность, особенно в области профессиональной подготовки специалистов-экономистов по дистанционной форме обучения.

В данной работе мы рассмотрим наиболее разработанный и широко применяемый раздел экономической математики - линейное программирование. "Линейное программирование - область математического программирования, посвященная теории и методам решения экстремальных задач, характеризующихся линейной зависимостью между переменными." [2, с. 170].

"Математическое программирование - раздел математики, который ...изучает методы решения задач на нахождение экстремума функций (показателя качества решения) при ограничениях в форме уравнений и неравенств. Оно объединяет различные математические методы и дисциплины исследования операций: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, выпуклое программирование, геометрическое программирование, целочисленное программирование и др." [2, с. 186].

Общая задача линейного программирования состоит в нахождении значений переменных x = (x1, x2, ..., xn), при которых целевая функция f(x) = f (x1, x2, ..., xn), принимает экстремальное (максимальное или минимальное) значение при условии, что переменные x принадлежат некоторой области G.

Линейное программирование характеризуется тем, что:

а) функция f(x) является линейной функцией переменных x1, x2, ..., xn;

б) область G определяется системой линейных равенств или неравенств.

Рассмотрим задачу линейного программирования по определению оптимального распределения ресурсов, на основе которой мы сможем показать, как действует СКМ "Mathematica" при решении задач линейного программирования.

Задача. Намечается выпуск двух видов костюмов - мужских и женских. На женский костюм требуется 1 м шерсти, 2 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат, на мужской - 3,5 м шерсти, 0,5 м лавсана и 1 человекодень трудозатрат. Всего имеется 350 м шерсти, 240 м лавсана и 150 человекодней трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого вида необходимо сшить, чтобы обеспечить максимальную прибыль, если прибыль от реализации женского костюма составляет 10 денежных единиц, а от мужского - 20 денежных единиц. При этом следует иметь в виду, что необходимо сшить не менее 60 мужских костюмов.

Решение. На первом этапе решения задачи построим ее экономико-математическую модель. Нам необходимо определить производственный план, приносящий максимальную прибыль, следовательно, необходимо найти максимум функции f(x) = 10x1 + 20x2 при выполнении ограничений.

Первое ограничение (по шерсти) имеет вид x1 + 3,5x2 ≤ 350. Второе ограничение (по лавсану) имеет вид 2x1 + 0,5x2 ≤ 240. Третье ограничение (по труду) имеет вид x + x2 ≤ 150. Четвертое ограничение (по количеству мужских костюмов) имеет вид x2 ≥ 60. Для нахождения более корректного решения добавим условие неотрицательности для x (x1 ≥ 0).

На втором этапе составим вычислительный алгоритм.

Целевая функция: f(x) = 10x1 + 20x2.

Ограничения:

Нам необходимо найти максимальное значение целевой функции при выполнении ограничений. Мы имеем две переменные, поэтому выберем графический способ решения задачи и проверим впоследствии полученные данные с помощью встроенной функции СКМ "Mathematica".

На третьем этапе решим задачу графическим способом.

При графическом способе решения данной задачи необходимо:

1) определить область допустимых решений задачи;

2) определить линию уровня целевой функции;

3) совместить область допустимых значений и линии уровня целевой функции;

4) определить область нахождения оптимального значения.

Все эти этапы решения задачи графическим способом объединим встроенной функцией:

Show [RegionPlot [x1 + 3,5x2 ≤ 350 & 2x1 + 0,5x2 ≤ 240 & x1 + x2 ≤ 150 & x2 ≥ 60 & x1 ≥ 0, {x1, 0,150}, {x2, 0, 150}, AspectRatio → Automatic], ContourPlot [10x1 + 20x2, {x1, 0, 150}, {x2, 0, 150}, Contours → {1000, 1500, 2000, 2500}, ContourShading → False], AspectRatio → Automatic, Axes → Automatic].

С помощью встроенной функции Region-Plot построен график, на котором выделена область, определяемая системой неравенств (1).

Для построения линии уровня целевой функции приравниваем целевую функцию к постоянной величине a: 10x1 + 20x2 = a. Меняя значения а, получим семейство параллельных прямых, каждая из которых является линией уровня целевой функции.

С помощью встроенной функции ContourPlot построим четыре линии уровня целевой функции, меняя значение a: a = 1000, a2 = 1500, a3 = 2000, a4 = 2500.

Из полученного изображения можно сделать вывод, что максимальное значение целевой функции стремится к значению, равному 2500.

С помощью встроенной функции Maximize проверим полученный результат:

Maximize [{F[x1, x2], con1, con2, con3, con4, con5}, {x1, x2}]].

Аргументы функции Maximize вводятся заранее: F[x1, x2] = 10x1 + 20x2, они определяет целевую функцию, а глобальные присваивания con1 = x + 3,5x2 ≤ 350, con2 = 2x1 + 0,5x2 ≤ 240, con3 = x1 + x2 ≤ 150, con4 = x2 ≥ 60, con5 = x1 ≥ 0 определяют ограничения.

Результат вычисления будет следующим: {2300, {x1 → 70, x2 → 80}}.

На четвертом этапе произведем анализ результатов.

Максимальное значение целевой функции будет равно 2300 при выпуске 70 женских и 80 мужских костюмов.

Как показывает вышеприведенный пример, СКМ "Mathematica" при условии правильного введения исходных данных позволяет за считанные минуты решать задачи линейного программирования. Внимание студента концентрируется не на вычислительных моментах, а на содержании самой задачи, на более глубоком ее понимании. При этом студент приобретает умения и навыки по построению математических моделей, интерпретации и анализу результатов.

Исследования, проведенные в условиях дистанционного обучения математике в вузах экономического профиля, апробированы в г. Бугульма, Институте экономики, управления и права (г. Бугульма). Данные исследования подтвердили, что использование СКМ "Mathematica" при обучении математике способствуют формированию продуктивного мышления и конструктивных математических знаний, умений и навыков, а также знаний прикладных аспектов математики, содействующих целостному процессу профессиональной подготовки специалистов экономического профиля.

ЛИТЕРАТУРА

1. Использование современных информационных и коммуникационных технологий в учебном процессе: Учебно-метод. пособ. / Авт.-сост. Д. П. Тевс, В. Н. Подковырова, Е. И. Апольских, М. В. Афонина. - Барнаул: БГПУ 2006.

2. Лопатчиков Л. И. Экономико-математический словарь: Словарь современной экономической науки. - 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Дело, 2003.

USE OF MATHEMATICS COMPUTER SYSTEM "MATEMATICA" IN REMOTE TRAINING TO MATHEMATICS AT HIGHER SCHOOLS OF ECONOMIC PROFILE

A.A. Khakimova

head of the Bugulma Centre of Remote Training of the Institute of Economy, Management and Law, post-graduate student of the Elabuga Pedagogical Institute

The article is devoted to problem of information communication technologies use in remote training to mathematical disciplines of economic profile students. Author offers to apply mathematics computer system "Matematica" as one of means of information communication technologies, and as environment for preparation and use of pedagogical software products intended for training to mathematics.

Keywords: information communication technologies, mathematical programming, problem of linear programming, mathematics computer system "Matematica".