Вы здесь:
ПСИХОЛОГИЯ
РАЗНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ МЫШЛЕНИЯ ШКОЛЬНИКОВ
К. В. ВОСКАНЯН
В педагогической психологии проведено достаточно большое число исследований, посвященных проблеме формирования и развития мышления школьников, и вместе с тем еще слабо изучены психологические особенности теоретического мышления способных детей. В частности, та особенность мышления, которая проявляется при решении одной и той же задачи разными способами.
До настоящего времени в психологической науке не обращали серьезного внимания на разные способы решения, например, геометрических задач. Разные способы решения этих задач становятся возможными благодаря применению восходящего анализа чертежа, который позволяет выявлять скрытые связи и отношения между разными геометрическими фигурами, опираясь на которые возможно удовлетворить требованиям задачи. Соответственно, каждый способ решения задачи осуществляется при сочетании разных геометрических понятий, в результате чего мыслительный процесс приобретает новое качество и становится подлинно теоретическим. Надо отметить, что в психологии пока мало известно об операциональной структуре мыслительного процесса при решении одной и той же геометрической задачи разными способами, так как последнее недостаточно сформировано у школьников при традиционных формах обучения.
Как показал анализ результатов индивидуальных экспериментов, некоторые школьники, имеющие математические способности, опираются не столько на условия задачи, сколько на ее требования и искомое. Именно в этих случаях обнаруживается способность решать одну и ту же задачу разными способами.
В традиционной психологии соотношение исходных условий и искомого рассматривалось односторонне, исходило из последовательности: условия — искомое. До сих пор не изучены проявления тех особенностей мышления, которые обнаруживаются при ориентации ребенка именно на такую последовательность.
27
«Искомое» очень часто представляет собой совокупность эквивалентных искомых. Каждое эквивалентное искомое в процессе решения задачи выступает равнозначно и может вполне однозначно определить направленность мыслительной деятельности. Именно в этом случае появляется возможность решать задачу несколькими способами. Более того, при решении задач на доказательство посредством разных способов раскрываются пути формирования теоретического мышления школьников и его содержание. Все это дает мыслительному процессу не только творческий, но и системный характер. Как отмечает Б. Ф. Ломов [6], природа психического может быть понята только на основе системного подхода. Ясно, что системный характер мышления нужно формировать уже в школьном возрасте при условии, если научить школьников анализировать одно и то же явление с разных сторон. Не вникая в сущность проблемы системного подхода к мышлению, отметим, что в нашем исследовании системным качеством обладало мышление у тех школьников, которые одну и ту же задачу решали разными способами, и прежде всего — аналитическим.
Аналитический способ доказательства позволяет учащемуся применить восходящий анализ, опираться на требование задач, выявлять качественные особенности искомых понятий. Задача рассматривается в целом, с учетом соотношения требования и условий. При этом требование задачи выступает как исходное звено ее решения, как средство последующего анализа условий и определяет направленность и избирательность мышления учащихся. Выявляются все скрытые связи и соотношения между искомыми понятиями, после чего выявленные отношения последовательно, логически синтезируются, и ход рассуждения повторяется в обратном порядке.
По свидетельству Д. Пойя, известный древнегреческий математик Папп подробно излагает роль аналитического способа доказательства теорем и в решении задач, где исходным пунктом рассуждения как раз и является требование. Доказательство теорем и решение задач необходимо начинать с предположения о том, что они уже решены. На основе этого может быть сделан целый ряд предшествующих предположений. Ход рассуждений продолжается до тех пор, пока последнее умозаключение можно применить как начало синтеза и оно выступит как исходное предположение. Только после этого субъект сможет осуществить синтез решения, где исходным пунктом будет выступать уже известное и все последующие рассуждения, выявленные в ходе восходящего анализа [9].
В течение многих лет мы проводили констатирующие индивидуальные эксперименты со школьниками VII классов Еревана (100 человек). Во время эксперимента предлагалось каждому школьнику решить три геометрические задачи на доказательство.
Во время эксперимента испытуемым сообщалось, что предлагаемые задачи имеют разные способы решения, которые они должны были выявить самостоятельно. В случае, если задача решалась одним способом, экспериментатор изменял ее основное требование другим — ему эквивалентным. фактически, косвенным путем от школьников требовалось найти хотя бы минимальное число других способов решения задачи. Максимальное число решений испытуемые выявляли по собственному желанию.
28
При этом 41 испытуемый не смог решить предлагаемые задачи; 38 — решили задачи только двумя способами; 15 — решили 10 способами; 6 школьников решили задачу 12 — 14 способами. Были предложены задачи следующего типа: «Доказать, что при пересечении биссектрис углов параллелограмма образуется прямоугольник».
Так, дано, что 1) ABCD параллелограмм, т. е. AB//CD, AD//BC, 2) АВ=CD, AD=BC. 3) ÐBAD=ÐBCD, ÐABC=ÐADC, 4) Ð1=Ð5, Ð2=Ð3, Ð9=Ð11=Ð13=Ð16, ÐBAD=ÐADC=2d, ÐCBA+ÐBAD=2d.
Доказать, что фигура OKPQ — прямоугольник, т. е. 1) ÐKOQ=ÐOQP=ÐQPK=ÐPKO=90°, или 2) OK//QP и OQ//KP, ÐAKD=90°. 3) OK=QP и OQ=KP и ÐBQC=90°; 4) OK=QP, OK//OP и ÐKOQ=90°; 5) ÐKOQ+ÐOQP=2d или ÐQPK+ÐPKO=2d; ÐPKO+ÐKOQ=2d и ÐKPQ=90°; 6) DОКО=DКОР и ÐKOQ=ÐQPK=90°; 7) ON=NP, KN=NQ и ÐOKP=90°; 8) KQ=OP и ÐOKP=ÐOQP=90°.
Проанализируем ход рассуждений тех школьников, которые решили одну и ту же задачу самыми разными способами (от 10 до 14). В ходе экспериментов мы не обнаружили феномена внезапного, инсайтного решения задачи. Как правило, имел место развернутый способ рассуждения от общего к частному: от разных эквивалентных искомых к исходным условиям. В ходе рассуждения исходное требование задачи неоднократно преобразовывалось, в результате чего содержащиеся в задаче скрытые проблемные ситуации превращались в простые теоремы или задачи, имеющие свои конкретные условия и искомое.
На основе обнаружения скрытых частных требований и условий задачи оказалось возможным превратить исходную задачу в ряд частных промежуточных задач. Именно поэтому испытуемые, опираясь на разные эквивалентные свойства исходного требования задачи, могли продемонстрировать разные способы ее решения. В частности, в представленной выше геометрической задаче осуществлялись переходы от одной фигуры к другой. Точкой опоры такого перехода служили общие элементы разных фигур: общая вершина, общая точка, общая сторона и т. д.
Так, в ходе решения геометрической задачи испытуемые приписывали искомому все те особенности, которые отвечали требованию задачи, но уже на основе развернутого доказательства. Проиллюстрируем это интерпретацией разных способов решения задачи. Действительно, исходным пунктом решения школьником геометрической задачи выступало ее основное требование. Они приписывали искомому все те свойства и признаки, которые требуются в задаче.
Так, например, некоторые способы решения данной задачи опираются на свойства взаимно перпендикулярных прямых. Учащиеся допускали, что фигура OKPQ будет прямоугольником,
29
если каждый из его внутренних углов будет прямым, т. е.: ÐKOQ=ÐOQP=ÐQPK=ÐPKO=90°. После этого учащиеся переходили к рассмотрению тех фигур, которые имеют общие элементы с вышеуказанными углами, так как последние функционально не только связаны с другими фигурами, но и являются их элементами и вместе составляют определенную целостность. Естественно, изменение каждого элемента этого целого вызывает изменение и в других элементах. Вот почему после первого допущения учащиеся старались выяснить все функции и роль тех элементов, которые должны подвергаться изменению.
Результаты анализа протекания мыслительного процесса на этом этапе решения показали, что учащиеся убеждались в правомерности данного допущения лишь в том случае, если рассматриваемые углы являются либо вертикальными, либо смежными с внутренними углами фигуры OKPQ. На основе этого допущения учащиеся пришли к выводу, что прямыми должны быть и углы: АОВ, ВОН, CPD, AKD, BQC и т. д. Следовательно, те треугольники, в структуру которых включаются эти углы как элементы, должны обладать свойствами прямоугольного треугольника. Анализируя связи и соотношения, существующие между углами треугольников АВО, CPD, AKD, BQC, ВОН и др., они заметили, что два других угла этих треугольников даны по условию, т. е. каждый из них является половиной суммы углов, прилежащего к одной стороне данного параллелограмма ABCD. А так как сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 2d, то половина—d.
Таким образом, видно, что вся цепь рассуждений в данном случае была направлена на выявление всех тех исходных фигур, опираясь на которые появляется возможность решить задачу разными способами. Очевидно, что на этом этапе завершается аналитический ход рассуждения, но решение задачи на этом не заканчивается. Анализ процесса решения показал, что испытуемые не останавливаются на этом этапе, так как надо доказать правильность первого допущения. Используя все выявленные данные, испытуемые уже самостоятельно осуществили и синтетический акт, последовательно, шаг за шагом осуществляя процесс доказательства.
Первым звеном синтетического акта мышления является доказательство о прямоугольности треугольников АОВ, CPD, AKD, BQC, ВОН и т. д., т. е. последним звеном аналитического акта. В дальнейшем посредством дедуктивных умозаключений учащиеся пришли к выводу, что все внутренние углы четырехугольника OKPQ — прямые, а фигура является прямоугольником.
Анализ разных способов решения задач убеждает нас в том, что выбор одного из путей решения обусловлен актуализацией в сознании учащегося дифференцированного знания, вызванного конкретными особенностями чертежа. Иными словами, учащиеся, воспринимая определенный элемент чертежа, в первую очередь воспроизводят в чертеже одну из особенностей отдельной фигуры, которая и служит основой для дальнейшего хода рассуждений. Покажем, как это происходит.
Так, если в прежних решениях взаимную перпендикулярность прямых испытуемые доказывали, прибегая к нахождению суммы внутренних углов треугольников, то в данном случае в качестве детерминанта выступило
30
свойство равнобедренного треугольника. Ход рассуждений мог быть следующим: «Есть биссектриса угла, которая пересекает основание треугольника АН, значит, если ВО будет перпендикулярна АН, то образованные углы АОВ, ВОН, KOQ, QOA будут прямыми». Поэтому при анализе треугольника АВН учащийся приходил к выводу, что фигура равнобедренная, так как Ð5=Ð1 и Ð1=Ð6, следовательно Ð5=Ð6. После этого он оборачивал ход рассуждения и доказывал, что треугольник АВН равнобедренный, а ВО — биссектриса угла при вершине и, следовательно, BO^AH. Соответственно ÐKOQ=90°. Аналогичным путем он доказывал, что DP^CF, следовательно, ÐKPQ=90°; а если ÐAKD=ÐOKP=90°, то фигура OKPQ — прямоугольник.
Указанные способы доказательства свидетельствуют о том, что в мышлении школьника имело место не простое воспроизведение отдельных знаний, общих сведений, а происходил сознательный, целенаправленный выбор знания, детерминирующего решение задачи на основе чертежа. Ход решения задачи показывает, что первоначально приписываемые геометрическим фигурам свойства вызывают в свою очередь необходимые промежуточные предположения. Последние связаны неявными проблемными ситуациями и таковыми остаются до тех пор, пока не преобразуются в простые задачи или теоремы. Когда проблемные ситуации приобретают форму задачи, то промежуточные предположения выступают в качестве искомого. Отметим, что аналитический ход рассуждений продолжается до тех пор, пока не выявлено исходное предположение синтетического акта.
Во многих случаях выявление исходных геометрических фигур требует вскрытия нескольких промежуточных проблемных ситуаций и превращения их в задачи. В тех случаях, когда учащийся не может превратить проблемную ситуацию в задачу, он и не может решить исходно заданную задачу. Хотя проблемная ситуация объективно и существует.
Актуализация знаний учащимися в процессе решения задачи показывает, что применение разных способов ее решения создает новые ситуации, не входящие в исходные условия. Эти знания чаще всего связаны с разными признаками и свойствами искомых понятий в основной задаче. Восходящий анализ позволяет учащимся логически определить исходные геометрические фигуры, исключая поиск этих фигур методом «проб и ошибок».
Актуализация знания совершается от начала аналитического и до завершения синтетического актов, т. е. до конечной цели доказательства. Благодаря этому постепенно вскрываются все те условия, которые объективно существуют в целостном чертеже. Эти условия определяют выбор способа решения. Обобщения, осуществляемые в мышлении учащегося, протекают сначала от общего к частному, т. е. от искомого к условию до выявления исходного предположения, от которого собственно и начинается синтетический акт. Ясно, что при таком способе рассуждения требуется применение большого количества знаний и понятий. Фактически каждый способ доказательства особым образом синтезирует необходимые знания, определяя и необходимый способ доказательства.
Эффективность мыслительных процессов при решении геометрических
31
задач зависит от четкого взаимоперехода внешних и внутренних условий. Так, актуализация разных признаков и свойств искомого понятия находит свое выражение во внутренних условиях, а информация, полученная в результате анализа чертежа, изменяет сам ход дальнейших рассуждений. Учащийся последовательно выявляет новые данные, которые дополняют условие задачи. Анализ решения экспериментальных задач учащимися показывает, что информация, полученная при работе с чертежом, подключается к ходу рассуждений. При переходе от одного этапа анализа к другому учитываются результаты предыдущих этапов. Эти результаты фиксируются с помощью знаковых моделей, которые позволяют исправлять допущенные ошибки.
Для подтверждения достоверности вышеуказанных фактов проанализируем еще несколько способов решения. Некоторые учащиеся, чтобы решить задачу, осуществляли дополнительные построения и тем самым расширяли функцию чертежа. Так, они рассматривали биссектрисы углов BAD, ADC, DCB. СВА параллелограмма ABCD вместе с основным требованием задачи. Фигура OKPQ образовалась при пересечении биссектрис АН и BF, DM и CF. Внутренние углы OKPQ образовались при пересечении этих биссектрис. Соединяя точки Н и Е, а также М и F, образовали четырехугольники АВНЕ и MPDC, внутри которых АН и BF, CF и DM выступали как диагонали. Предполагалось, что диагонали четырехугольника взаимоперпендикулярны, если четырехугольники АВНЕ и CDFM будут ромбами. В дальнейшем доказывалось, что фигуры АВНЕ и CDFM действительно являются ромбами, поэтому ВЕ^АН и CP^DM. Следовательно, ÐKOQ=ÐOPK=90°. Показывая, что DAKD и DBQC — прямоугольные, решали исходную задачу.
В другом случае доказывалось, что фигура OKPQ будет прямоугольником. если DОКР=DКОQ и ÐOKP=ÐKOQ=90°, а также, если DОМК=DQNP, или DONQ=DONP и ÐOKP= =90°. Поэтому они соединяли точку К с точкой Q и точку О с точкой Р. Таким образом, образовались дополнительные фигуры — треугольники, с помощью которых задача и решалась нестандартным путем. Самостоятельность, оригинальность решения в данном случае состояла в том, что не только использовались исходные данные, но и привлекались дополнительные условия, которые вели к творческому решению.
Общее число решений геометрических задач всегда зависит не только от свойств и признаков искомого понятия, но и от свойств и признаков промежуточных задач. Каждое из сочетание дает новый способ решения. Таким образом, подтвердилось наше исходное предположение, что аналитический способ действительно позволяет учащимся анализировать чертежи творчески, определяя роль и функции отдельных элементов чертежа, конструировать новое целое из его отдельных частей. Конечно, все это зависит также от индивидуально-психологических особенностей учащегося. Одни в процессе решения больше обращались к вербальным знаниям, другие — опирались на чертеж, третьи — использовали и то, и другое.
Однако очевидно, что во всех случаях именно аналитический способ рассуждения при решении геометрических задач выявляет способность к нестандартным решениям и является основой формирования творческого мышления.
32
1. Брушлинский А. В. Мышление в прогнозирование; Логико-психологический анализ. М., 1979.
2. Брушлинский А. В. Мышление: процесс, деятельность, общение. М., 1982.
3. Гегель Г. Сочинения: В V т. М., 1937. Т. 5.
4. Давыдов В. В. Виды обобщения в обучении. М., 1972.
5. Исследования мышления в советской психологии / Под ред. Е. В. Шороховой. М. , 1966.
6. Ломов Б. ф. О системном подходе в психологии // Вопр. психол. 1975. № 2. С. 31 — 45.
7. Матюшкин А. М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении. М., 1972.
8. Менчинская Н. А. Психология обучения арифметике. М., 1955.
9. Пойа Д. Как решить задачу: Пособие для учителей / Под ред. Ю. М. Гайдука. М., 1961.
10. Рубинштейн C.Л. О мышлении и путях его исследования. М., 1958.
11. Рубинштейн C.Л. Принципы и пути развития психологии. М., 1959.
Поступила в редакцию 23. 1 1995 г.
Комментарии:
ИНФОРМАЦИЯ ПО РЕФЕРАТУ:
СТУДЕНТАМ! Уважаемые пользователи нашей Коллекции! Мы напоминаем, что наша коллекция общедоступная. Поэтому может случиться так, что ваш одногруппник также нашел эту работу. Поэтому при использовании данного реферата будьте осторожны. Постарайтесь написать свой - оригинальный и интересный реферат или курсовую работу. Только так вы получите высокую оценку и повысите свои знания.
Если у вас возникнут затруднения - обратитесь в нашу Службу заказа рефератов. Наши опытные специалисты-профессионалы точно и в срок напишут работу любой сложности: от диссертации до реферата. Прочитав такую качественную и полностью готовую к сдаче работу (написанную на основе последних литературных источников) и поработав с ней, вы также повысите ваш образовательный уровень и сэкономите ваше драгоценное время! Ссылки на сайт нашей службы вы можете найти в левом большом меню.
ВЕБ-ИЗДАТЕЛЯМ! Копирование данной работы на другие Интернет-сайты возможно, но с разрешения администрации сайта! Если вы желаете скопировать данную информацию, пожалуйста, обратитесь к администраторам Library.by. Скорее всего, мы любезно разрешим перепечатать необходимый вам текст с маленькими условиями! Любое иное копирование информации незаконно.
Поиск по БЕЛОРУССКИМ рефератам 
