ФИЛОСОФИЯ (последнее)
Катречко С.Л. - Бесконечность и теория поиска вывода
Актуальные публикации по вопросам философии. Книги, статьи, заметки.
«Чрезвычайно важной целью математической деятельности является открытие методов, с помощью которых бесконечное может изучаться конечным интеллектом»
Ван Хао
Название конференции «Бесконечность в логике, философии и истории математики» неожиданно поставило меня в тупик, поскольку я осознал, что не понимаю самого термина «бесконечность». Это чувство усилилось после фразы Хао Вана «физические явления не подходят для изучения и обоснования математики, сущностью которой является бесконечность» [1], поскольку этот термин связан, видимо, с самой сердце виной математической (логической? — К.С.) деятельности. Проработка текстов Г. Вейля внесла некоторую ясность: «представление об итерации — ряде натуральных чисел — составляет самую основу математического мышления; «бесконечность» математической проблемы базируется, однако, на том, что последний фундамент математики образуют бесконечный ряд натуральных чисел» [2]; «наши умозаключения должны основываться на свидетельствах относительно ясного и простого процесса, посредством которого порождаются натуральные числа», а «эта интуиция возможности «всегда увеличить на единицу» — открытой счетной бесконечности — лежит в основе всей математики» [3]. Однако размышления Г. Вейля могут послужить лишь некоторой базой для ответа на вопрос о том, что такое бесконечность, поскольку сведение бесконечности лишь к счетной бесконечности натурального ряда неудовлетворительно по отношению ко всем разделам математики и логики, поскольку вычислимость (счетность) не всегда основывается на ряде натуральных чисел.
Итак, прежде всего, необходимо определиться с пониманием термина «бесконечность» в более широком смысле. Именно с пониманием, поскольку стандартного определения, в основе которого лежала бы какая-то остенсивная процедура дать невозможно. На бесконечность невозможно указать пальцем. Однако любая остенсивная процедура, любое определение предмета предполагают использование бесконечности, поскольку любое определение является ограничением. С этим, видимо, и связан первоначальный смысл этого термина: бесконечность — то, что препятствует ограничительным процедурам, тот «остаток», который указывает на ограниченность ограничительных процедур. В этом смысле, дать «положительное» определение бесконечности вообще невозможно, ибо бесконечность по своей природе нечто неопределяемое, нечто «отрицательное».
Бесконечное противоположно конечному; бесконечность противостоит человеку, который, как конечное существо, окружен бесконечным. Любая деятельность человека наталкивается на проблему бесконечного, вернее собственно феномен бесконечности и заключается в том, что человек рано или поздно сталкивается с «проблемой», которая мешает его успешной работе. Проблема вообще и есть указатель того, что проделанная ранее попытка «приручения» бесконечности исчерпала себя, а решение проблемы изобретение новых средств и методов работы с бесконечностью. Тем самым бесконечное (проблема бесконечности) — то, с чем трудно работать, то, что не удается «ухватить» известными методами, то, что требует «приручения».
Таким образом, можно говорить не только об узком понимании бесконечности (см. выше понимание Г. Вейля) как, например, проблемы потенциальной и актуальной бесконечности или проблемы континуума, но и понимании бесконечности в более широком контексте, как проблемы неизмеримости, не-формализуемости, не-разрешимости, не-вычислимости, не-эффективности (тезис 1).
Видимо, достаточно остро проблема бесконечного стоит в науке (теоретической деятельности) именно с ней связаны, например, принцип фальсификации К. Поппера и «научная революция» Т. Куна, соотношение неопределенностей В. Гейзенберга и ряд теорем об ограниченностях формализмов (теоремы Тарского, Геделя, Черча—Россера). Можно сформулировать и более сильный тезис: проблема бесконечности — и есть проблема собственно науки. Вне теории этой проблемы вообще не существует. Более того, вслед за Д. Гильбертом, который утверждает, что «мы должны бесконечное в смысле бесконечной совокупности понимать как нечто кажущееся», «бесконечное нигде не реализуется, его нет в природе» [4], можно считать, что проблема бесконечного — это скорее не проблема онтологии, а гносеологии. Конкретизируя эту мысль, можно сказать, что проблема бесконечного — эта проблема выбора подходящего языка описания (тезис 2). Наглядной иллюстрацией вышесказанного может служить ситуация, описанная в фантастическом рассказе, где робот на просьбу разделить торт (единицу) отвечает, что сделать это невозможно (очевидно, в силу невозможности завершить процесс вычисления 1:3 в десятичной системе счисления — К.С.). Однако при переходе к обычным дробям «бесконечность» процесса вычисления исчезает, поскольку 1 : 3 = 1/3. Поэтому неудивительно, что особенно остро проблема бесконечности стоит в математике как образце научности [на это указывает и сходство греческих терминов «mathematike» (математика) «mathema» (наука)]. Собственно, первое проявление проблемы бесконечного открытие феномена несоизмеримости в античной математике (сопоставление этого факта с примером позволяет выдвинуть гипотезу о том, что проблема бесконечности связана, прежде всего, не с геометрией, а с арифметикой, математикой числа).
Второй блок вопросов, связанных с проблемой бесконечного, может быть сформулирован так: как возможно работать с бесконечностью? каким образом конечный интеллект может изучать бесконечное? Позволим себе здесь лишь сформулировать наш тезис — тезис 3 — без приведения какой-либо развернутой аргументации: работать с бесконечностью позволяет логическая (математическая) форма (о понимании термина «логическая форма» см., например в [4], [5]). Именно форма оформляет, ограничивает содержание, превращая бесконечное в конечное.
Необходимо подчеркнуть тесную взаимосвязь тезисов 2 и 3, которые вместе составляют положительный и отрицательный моменты феномена формализации: именно формализация позволяет «приручить» бесконечность (тезис 3), без этого с ней вообще невозможно работать, но за это приходится расплачиваться некоторыми «потерями» (ограничительные результаты логики, математики и физики). Осознание этой дилеммы и составляет собственно проблему бесконечного.
Неудивительно поэтому, что эту проблему (проблему бесконечного как проблему «приручения» бесконечности со всеми вытекающими отсюда отрицательными последствиями) осознали в математике достаточно давно, начиная, видимо, с Н. Кузанского и В. Лейбница, которые считали, что сущность математики состоит в отражении в конечных символах идеи бесконечности (в отличие от Бога, который обладает этой идеей в непосредственной интуиции). Более современные математики различных философских ориентаций также сходны между собой в этом отношении:
Д. Гильберт «Оперирование с бесконечным может стать надежным только через конечное (выделено мной — К.С.)» [6];
Г. Вейль «Величие математики я усматриваю именно в том, что почти во всех ее теоремах в силу самой ее сущности всякий вопрос о бесконечном решается на уровне конечного» [2];
Хао Ван «Чрезвычайно важной целью математической деятельностью является открытие методов, с помощью которых бесконечное может изучаться конечным интеллектом (выделено мной — К.С.)» [1].
Именно эти слова Хао Вана, вынесенные в эпиграф, и составляют главный тезис, обоснованию которого и посвящена данная статья.
Однако, прежде всего, необходимо ответить на одно принципиальное возражение, которое может быть сформулировано в виде вопроса: а зачем вообще необходима бесконечность в математике (логике); может быть необходимо изгнать бесконечность из математики? Заостренная формулировка этого возражения принадлежит Ю. Гуревичу (он, видимо, понимает термин «бесконечность» в узком смысле, т.е. как «счетную бесконечность» Г. Вейля [7]), который считает что развитие современной науки, ориентированной на взаимодействие человека с ЭВМ (появление комплекса наук computer science), должно учитывать принципиальную финитность ресурсов ЭВМ (объем памяти и мощность вычислительных средств), что предполагает разработку прежде всего финитных логических исчислений, как более приспособленных к области computer science.
Проведенный выше анализ проблемы бесконечного позволяет утверждать, что с методологической точки зрения данное противопоставление неверно, поскольку как финитные, так и нефинитные исчисления представляют собой формальные системы с присущими им обеим ограничениями (см. тезис 2 и 3). Речь может идти лишь о необходимости разработки новых методов работы с бесконечностью, поскольку развитие ЭВМ поставило перед исследователями ряд новых проблем (наиболее принципиальной в данном случае является так называемая P — NP проблема [8]), связанных с созданием эффективных («быстрых») алгоритмов решения задач. Более существенным недостатком тезиса о необходимости изгнании бесконечности из математики (логики) является указание на то, что сама математика как деятельность человека, есть деятельность биологически конечного существа с ограниченными интеллектуальными ресурсами. Поэтому появление ЭВМ на горизонте математики не является принципиально новой ситуацией, которая требует принципиально новых подходов к математике. Обращение к истории человеческого познания показывает, что человечество нашло способ преодоления своих ограничений. Этот способ «приручения» бесконечности связан с использованием особого символьного языка, позволяющем вводить абстракции. Именно абстракции и являются той формой, в которой происходит «кодирование» бесконечности. Анализ истории математики (науки) позволяет увидеть, что существенный прогресс в развитии связан с появлением в ее аппарате новых абстракций, введением в ее язык новых «метапеременных». Как пишет С. Маслов, «особенно нагляден в этом отношении переход от арифметики к алгебре, который связан с появлением «языка X-ов и Y-ов» и правил преобразований в этом языке (И. Шафаревич высказывает даже более сильное утверждение о том, что этот подход (появление новых «объектов» счета и правил оперирования с ними — принцип «координатизации») является сутью алгебраического (и математического вообще — К.С.) метода [10]), поскольку, если до появления «языка X-ов и Y-ов» решение квадратных уравнений было творческой задачей, доступным лишь профессиональным математикам, то после «изобретения» нового языка эта задача стала тривиальной и доступной ученикам средней школы (пример 1).
В качестве более современного примера приведем подход Р. Вейхрауха, создателя интеллектуальной системы FOL, (пример 2). Пусть нам дано следующее аксиоматическое исчисление:
аксиома 1: A º A; акс. 2: (A º B) º (B º A); акс. 3: (A º (B º C) º ((A º B) º C)
правило вывода: A [B], B º C Þ A [С], где A [B] (A [С]) - обозначает высказывание
А с подформулой В (С),
в котором надо построить вывод формулы W: (P º Q) º ((Q º R) º (R º P))
Как отмечается в [11], вывод формулы W в данном исчислении занимает около двух страниц. Однако Р. Вейхрауху удалось значительно упростить данную задачу, предложив следующее правило (метаправило) для исчислений подобного типа:
каждое высказывание W, построенное только из пропозициональных переменных с помощью связки эквивалентности «º» таким образом, что любая пропозициональная переменная p входит в W четное число раз (выделено мной — К.С.), является теоремой [12].
Данное правило позволяет «свести» доказательство некоторой формулы W к простому подсчету «четности» разных переменных, что значительно сокращает «вывод» данной формулы W. Это стало возможным за счет использования при построении вывода новой абстракции — «метапеременной» в терминах С. Маслова — «четного числа», которое в языке логики высказываний невыразимо.
Сформулируем основной тезис данной статьи (тезис 4): для решения проблемы бесконечного необходим переход к принципиально новой «логической форме». При этом, вместе с увеличением выразительных возможностей системы, происходит значительное повышение «дедуктивных» возможностей, поскольку новые выразительные средства позволяют сформулировать новые мощные методы решения «трудных» задач (в терминах С. Маслова, появляется возможность формулирования собственно допустимых правил вывода, существенно сокращающих длину вывода [9]).
Не затрагивая подробно диалектику выразительных и дедуктивных возможностей, отметим две ее существенных особенности. Во-первых, история развития науки показывает, что реальный процесс создания новой логической формы может совершаться двояко: либо путем введения новых абстрактных понятий (см. пример 1) — «декларативный» подход; либо путем формулирования новых допустимых правил (см. пример 2) — «процедурный» подход. Во-вторых, указание на одновременное повышение как выразительных, так и дедуктивных возможностей формальных систем не совпадает с «глобальной» логикой развития формальных систем, заключающейся: 1. в расширении ряда ограничительных результатов по мере их развития (P — NP проблема — для логики высказываний; неразрешимость — для логики предикатов; теорема о неполноте — для первопорядковой арифметики); 2. несовпадении «скорости» развития выразительных и дедуктивных возможностей формальных систем [5].
Как уже отмечалось выше, развитие ЭВМ поставило перед исследователями ряд новых проблем, связанных с поиском наиболее эффективных алгоритмов. Полноценное решение этих проблем, на наш взгляд, связано с переходом к новому типу логических исчислений — логико-эвристическим исчислениям (исчислениям поиска вывода), выразительные средства которых позволяют фиксировать дополнительную, необходимую для эффективного построения вывода, информацию [13]. При построении таких исчислений необходимо существенным образом использовать информацию о структуре испытуемого объекта S, т.е. исчисление P поиска вывода представляет из себя некоторое метаисчисление над B и S, выводимость в котором объекта k эквивалентна выводимости S в исходном исчислении B. Примеры таких исчислений представлены в работах [14, 15, 16, 17, 18].
ЛИТЕРАТУРА:
1. Ван Хао Процесс и существование в математике //Математическая логика и ее применения. — М., Мир, 1965 С.337, С.339
2. Вейль Г. Континуум //Математическое мышление. — М., Наука, 1989. С.127
3. Вейль Г. Математический способ мышления //Математическое мышление. — М., Наука, 1989. С.13
4. Витгенштейн Л. Несколько заметок о логической форме //Логос, N 6. 1995. С. 210 - 217
5. Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. — М., Изд-во МГУ, 1986.
6. Гильберт Д. О бесконечном //Основания геометрии. — М., ИЛ, 1948. С.358
7. Gurevich Y. Logic and the challenge of computer science //LMPS'87, ABSTACTS. 1987. Vol.5. Part 1. P.144 - 147.
8. Гэри М.Г., Джонсон Д.С. ЭВМ и труднорешаемые задачи. — М., Мир, 1982.
9. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М., ВИНИТИ, 1986. Т.11. (предисловие).
10. Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. — М., Советское радио, 1986.
11. Айелло Л., Чекки К., Сартини Д. Представление и использование метазнаний //ТИИЭР. 1988. Т.84. октябрь (N 10). С.12 - 31
12. Weyhrauch R.W. Prolegomena to a theory of mechanized formal rea soning //Artificial Intelligence, 1980, Vol.13. P.133-170
13. Катречко С.Л. Логика и теория поиска вывода //Наука и философия на рубеже тысячелетий: перспективы и горизонты (тез. докл. и выст. Всерос. научн. конфер.). — Курск, 11 - 12 апреля 1995. С. 54 - 56
14. Маслов С.Ю. Обратный метод установления выводимости для логических исчислений //Труды математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1968, Т.98. С.26 - 87
15. Давыдов Г.В. Синтез метода резолюций и обратного метода //Записки научных семинаров ЛОМИ, 1971, Т.20. С.24 - 35
16. Катречко С.Л. Моделирование правила расщепления в обратном методе С.Ю. Маслова //Логические методы в компьютерных науках. — М., ИФ РАН, 1992. С. 125 – 141.
17. Катречко С.Л. Исчисление поиска вывода с «условной дизъюнкцией» //Материалы XI Международ. конф. по логике, методологии и философии науки. Москва — Обнинск, 1995, Т.1. С.145 - 149
18. Катречко С.Л. Интеллектуальный бектрекинг //Логические исследования. — М., Наука, 1995. Вып.3. С.187-205
Ответ на комментариЙ к статье (1996)
Комментарий А. Кричевца заставил меня еще раз обратиться к тезисам, отстаиваемым в моей статье. В частности, центральным тезисом (тезис 3) статьи действительно является положение о том, что работать с «бесконечным» содержанием позволяет «форма». Однако является ли любая «форма», будь то математическая или логическая форма, конечным образованием? В моей статье этот вопрос так и не получил своего удовлетворительного разрешения в силу того, что он просто не был поставлен. И поэтому вместо тезиса 3 допустим «естественный» переход к тезису 3a о том, что работать с бесконечностью можно лишь конечными средствами. Тем более, что в пользу тезиса 3a удалось заручиться поддержкой ряда крупных математиков. Однако неявно этот переход предполагает положительное решение на поставленный вопрос о конечности «формы». Но более пристальный анализ показывает, что это не совсем так. Вернее, не все так просто обстоит не только с категорией «бесконечного», но и парной категорией — категорией «конечного». Поскольку у нас нет четкого однозначного критерия отличения «бесконечного» от «конечного». Мы объявляем «конечным» то, с чем мы научились работать, что является привычным, «прирученным». Все то, что мы не в состоянии «описать», «представить», а тем более то, с чем невозможно «работать», объявляется «бесконечным». В этом смысле конечны «отрезок», «окружность», «знак»..., любая «форма» вообще. Однако их конечность есть конечность относительная, конечность прагматическая. Они конечны только в определенных контекстах, только в рамках тех задач, которые они позволяют решать. С другой (алгебраической) стороны, эту прагматичность «конечности» хорошо иллюстрирует пример о разделении единицы на три, приведенный в моей статье.
Поэтому сейчас я не стал бы так категорично настаивать на «конечности» знака, как впрочем и любой синтаксической конструкции, поскольку любой синтаксис предполагает определенную семантику (онтологические допущения по Р. Карнапу [Карнап Р. Эмпиризм, семантика и онтология //Значение и необходимость, М., ИЛ, 1959]; или «парадигму» по Т. Кун [Кун Т. Структура научных революций М., Прогресс, 1975]), в рамках которой и удается на время «приручить» бесконечность, т.е. относительную точность выдать за абсолютную.
Ван Хао
Название конференции «Бесконечность в логике, философии и истории математики» неожиданно поставило меня в тупик, поскольку я осознал, что не понимаю самого термина «бесконечность». Это чувство усилилось после фразы Хао Вана «физические явления не подходят для изучения и обоснования математики, сущностью которой является бесконечность» [1], поскольку этот термин связан, видимо, с самой сердце виной математической (логической? — К.С.) деятельности. Проработка текстов Г. Вейля внесла некоторую ясность: «представление об итерации — ряде натуральных чисел — составляет самую основу математического мышления; «бесконечность» математической проблемы базируется, однако, на том, что последний фундамент математики образуют бесконечный ряд натуральных чисел» [2]; «наши умозаключения должны основываться на свидетельствах относительно ясного и простого процесса, посредством которого порождаются натуральные числа», а «эта интуиция возможности «всегда увеличить на единицу» — открытой счетной бесконечности — лежит в основе всей математики» [3]. Однако размышления Г. Вейля могут послужить лишь некоторой базой для ответа на вопрос о том, что такое бесконечность, поскольку сведение бесконечности лишь к счетной бесконечности натурального ряда неудовлетворительно по отношению ко всем разделам математики и логики, поскольку вычислимость (счетность) не всегда основывается на ряде натуральных чисел.
Итак, прежде всего, необходимо определиться с пониманием термина «бесконечность» в более широком смысле. Именно с пониманием, поскольку стандартного определения, в основе которого лежала бы какая-то остенсивная процедура дать невозможно. На бесконечность невозможно указать пальцем. Однако любая остенсивная процедура, любое определение предмета предполагают использование бесконечности, поскольку любое определение является ограничением. С этим, видимо, и связан первоначальный смысл этого термина: бесконечность — то, что препятствует ограничительным процедурам, тот «остаток», который указывает на ограниченность ограничительных процедур. В этом смысле, дать «положительное» определение бесконечности вообще невозможно, ибо бесконечность по своей природе нечто неопределяемое, нечто «отрицательное».
Бесконечное противоположно конечному; бесконечность противостоит человеку, который, как конечное существо, окружен бесконечным. Любая деятельность человека наталкивается на проблему бесконечного, вернее собственно феномен бесконечности и заключается в том, что человек рано или поздно сталкивается с «проблемой», которая мешает его успешной работе. Проблема вообще и есть указатель того, что проделанная ранее попытка «приручения» бесконечности исчерпала себя, а решение проблемы изобретение новых средств и методов работы с бесконечностью. Тем самым бесконечное (проблема бесконечности) — то, с чем трудно работать, то, что не удается «ухватить» известными методами, то, что требует «приручения».
Таким образом, можно говорить не только об узком понимании бесконечности (см. выше понимание Г. Вейля) как, например, проблемы потенциальной и актуальной бесконечности или проблемы континуума, но и понимании бесконечности в более широком контексте, как проблемы неизмеримости, не-формализуемости, не-разрешимости, не-вычислимости, не-эффективности (тезис 1).
Видимо, достаточно остро проблема бесконечного стоит в науке (теоретической деятельности) именно с ней связаны, например, принцип фальсификации К. Поппера и «научная революция» Т. Куна, соотношение неопределенностей В. Гейзенберга и ряд теорем об ограниченностях формализмов (теоремы Тарского, Геделя, Черча—Россера). Можно сформулировать и более сильный тезис: проблема бесконечности — и есть проблема собственно науки. Вне теории этой проблемы вообще не существует. Более того, вслед за Д. Гильбертом, который утверждает, что «мы должны бесконечное в смысле бесконечной совокупности понимать как нечто кажущееся», «бесконечное нигде не реализуется, его нет в природе» [4], можно считать, что проблема бесконечного — это скорее не проблема онтологии, а гносеологии. Конкретизируя эту мысль, можно сказать, что проблема бесконечного — эта проблема выбора подходящего языка описания (тезис 2). Наглядной иллюстрацией вышесказанного может служить ситуация, описанная в фантастическом рассказе, где робот на просьбу разделить торт (единицу) отвечает, что сделать это невозможно (очевидно, в силу невозможности завершить процесс вычисления 1:3 в десятичной системе счисления — К.С.). Однако при переходе к обычным дробям «бесконечность» процесса вычисления исчезает, поскольку 1 : 3 = 1/3. Поэтому неудивительно, что особенно остро проблема бесконечности стоит в математике как образце научности [на это указывает и сходство греческих терминов «mathematike» (математика) «mathema» (наука)]. Собственно, первое проявление проблемы бесконечного открытие феномена несоизмеримости в античной математике (сопоставление этого факта с примером позволяет выдвинуть гипотезу о том, что проблема бесконечности связана, прежде всего, не с геометрией, а с арифметикой, математикой числа).
Второй блок вопросов, связанных с проблемой бесконечного, может быть сформулирован так: как возможно работать с бесконечностью? каким образом конечный интеллект может изучать бесконечное? Позволим себе здесь лишь сформулировать наш тезис — тезис 3 — без приведения какой-либо развернутой аргументации: работать с бесконечностью позволяет логическая (математическая) форма (о понимании термина «логическая форма» см., например в [4], [5]). Именно форма оформляет, ограничивает содержание, превращая бесконечное в конечное.
Необходимо подчеркнуть тесную взаимосвязь тезисов 2 и 3, которые вместе составляют положительный и отрицательный моменты феномена формализации: именно формализация позволяет «приручить» бесконечность (тезис 3), без этого с ней вообще невозможно работать, но за это приходится расплачиваться некоторыми «потерями» (ограничительные результаты логики, математики и физики). Осознание этой дилеммы и составляет собственно проблему бесконечного.
Неудивительно поэтому, что эту проблему (проблему бесконечного как проблему «приручения» бесконечности со всеми вытекающими отсюда отрицательными последствиями) осознали в математике достаточно давно, начиная, видимо, с Н. Кузанского и В. Лейбница, которые считали, что сущность математики состоит в отражении в конечных символах идеи бесконечности (в отличие от Бога, который обладает этой идеей в непосредственной интуиции). Более современные математики различных философских ориентаций также сходны между собой в этом отношении:
Д. Гильберт «Оперирование с бесконечным может стать надежным только через конечное (выделено мной — К.С.)» [6];
Г. Вейль «Величие математики я усматриваю именно в том, что почти во всех ее теоремах в силу самой ее сущности всякий вопрос о бесконечном решается на уровне конечного» [2];
Хао Ван «Чрезвычайно важной целью математической деятельностью является открытие методов, с помощью которых бесконечное может изучаться конечным интеллектом (выделено мной — К.С.)» [1].
Именно эти слова Хао Вана, вынесенные в эпиграф, и составляют главный тезис, обоснованию которого и посвящена данная статья.
Однако, прежде всего, необходимо ответить на одно принципиальное возражение, которое может быть сформулировано в виде вопроса: а зачем вообще необходима бесконечность в математике (логике); может быть необходимо изгнать бесконечность из математики? Заостренная формулировка этого возражения принадлежит Ю. Гуревичу (он, видимо, понимает термин «бесконечность» в узком смысле, т.е. как «счетную бесконечность» Г. Вейля [7]), который считает что развитие современной науки, ориентированной на взаимодействие человека с ЭВМ (появление комплекса наук computer science), должно учитывать принципиальную финитность ресурсов ЭВМ (объем памяти и мощность вычислительных средств), что предполагает разработку прежде всего финитных логических исчислений, как более приспособленных к области computer science.
Проведенный выше анализ проблемы бесконечного позволяет утверждать, что с методологической точки зрения данное противопоставление неверно, поскольку как финитные, так и нефинитные исчисления представляют собой формальные системы с присущими им обеим ограничениями (см. тезис 2 и 3). Речь может идти лишь о необходимости разработки новых методов работы с бесконечностью, поскольку развитие ЭВМ поставило перед исследователями ряд новых проблем (наиболее принципиальной в данном случае является так называемая P — NP проблема [8]), связанных с созданием эффективных («быстрых») алгоритмов решения задач. Более существенным недостатком тезиса о необходимости изгнании бесконечности из математики (логики) является указание на то, что сама математика как деятельность человека, есть деятельность биологически конечного существа с ограниченными интеллектуальными ресурсами. Поэтому появление ЭВМ на горизонте математики не является принципиально новой ситуацией, которая требует принципиально новых подходов к математике. Обращение к истории человеческого познания показывает, что человечество нашло способ преодоления своих ограничений. Этот способ «приручения» бесконечности связан с использованием особого символьного языка, позволяющем вводить абстракции. Именно абстракции и являются той формой, в которой происходит «кодирование» бесконечности. Анализ истории математики (науки) позволяет увидеть, что существенный прогресс в развитии связан с появлением в ее аппарате новых абстракций, введением в ее язык новых «метапеременных». Как пишет С. Маслов, «особенно нагляден в этом отношении переход от арифметики к алгебре, который связан с появлением «языка X-ов и Y-ов» и правил преобразований в этом языке (И. Шафаревич высказывает даже более сильное утверждение о том, что этот подход (появление новых «объектов» счета и правил оперирования с ними — принцип «координатизации») является сутью алгебраического (и математического вообще — К.С.) метода [10]), поскольку, если до появления «языка X-ов и Y-ов» решение квадратных уравнений было творческой задачей, доступным лишь профессиональным математикам, то после «изобретения» нового языка эта задача стала тривиальной и доступной ученикам средней школы (пример 1).
В качестве более современного примера приведем подход Р. Вейхрауха, создателя интеллектуальной системы FOL, (пример 2). Пусть нам дано следующее аксиоматическое исчисление:
аксиома 1: A º A; акс. 2: (A º B) º (B º A); акс. 3: (A º (B º C) º ((A º B) º C)
правило вывода: A [B], B º C Þ A [С], где A [B] (A [С]) - обозначает высказывание
А с подформулой В (С),
в котором надо построить вывод формулы W: (P º Q) º ((Q º R) º (R º P))
Как отмечается в [11], вывод формулы W в данном исчислении занимает около двух страниц. Однако Р. Вейхрауху удалось значительно упростить данную задачу, предложив следующее правило (метаправило) для исчислений подобного типа:
каждое высказывание W, построенное только из пропозициональных переменных с помощью связки эквивалентности «º» таким образом, что любая пропозициональная переменная p входит в W четное число раз (выделено мной — К.С.), является теоремой [12].
Данное правило позволяет «свести» доказательство некоторой формулы W к простому подсчету «четности» разных переменных, что значительно сокращает «вывод» данной формулы W. Это стало возможным за счет использования при построении вывода новой абстракции — «метапеременной» в терминах С. Маслова — «четного числа», которое в языке логики высказываний невыразимо.
Сформулируем основной тезис данной статьи (тезис 4): для решения проблемы бесконечного необходим переход к принципиально новой «логической форме». При этом, вместе с увеличением выразительных возможностей системы, происходит значительное повышение «дедуктивных» возможностей, поскольку новые выразительные средства позволяют сформулировать новые мощные методы решения «трудных» задач (в терминах С. Маслова, появляется возможность формулирования собственно допустимых правил вывода, существенно сокращающих длину вывода [9]).
Не затрагивая подробно диалектику выразительных и дедуктивных возможностей, отметим две ее существенных особенности. Во-первых, история развития науки показывает, что реальный процесс создания новой логической формы может совершаться двояко: либо путем введения новых абстрактных понятий (см. пример 1) — «декларативный» подход; либо путем формулирования новых допустимых правил (см. пример 2) — «процедурный» подход. Во-вторых, указание на одновременное повышение как выразительных, так и дедуктивных возможностей формальных систем не совпадает с «глобальной» логикой развития формальных систем, заключающейся: 1. в расширении ряда ограничительных результатов по мере их развития (P — NP проблема — для логики высказываний; неразрешимость — для логики предикатов; теорема о неполноте — для первопорядковой арифметики); 2. несовпадении «скорости» развития выразительных и дедуктивных возможностей формальных систем [5].
Как уже отмечалось выше, развитие ЭВМ поставило перед исследователями ряд новых проблем, связанных с поиском наиболее эффективных алгоритмов. Полноценное решение этих проблем, на наш взгляд, связано с переходом к новому типу логических исчислений — логико-эвристическим исчислениям (исчислениям поиска вывода), выразительные средства которых позволяют фиксировать дополнительную, необходимую для эффективного построения вывода, информацию [13]. При построении таких исчислений необходимо существенным образом использовать информацию о структуре испытуемого объекта S, т.е. исчисление P поиска вывода представляет из себя некоторое метаисчисление над B и S, выводимость в котором объекта k эквивалентна выводимости S в исходном исчислении B. Примеры таких исчислений представлены в работах [14, 15, 16, 17, 18].
ЛИТЕРАТУРА:
1. Ван Хао Процесс и существование в математике //Математическая логика и ее применения. — М., Мир, 1965 С.337, С.339
2. Вейль Г. Континуум //Математическое мышление. — М., Наука, 1989. С.127
3. Вейль Г. Математический способ мышления //Математическое мышление. — М., Наука, 1989. С.13
4. Витгенштейн Л. Несколько заметок о логической форме //Логос, N 6. 1995. С. 210 - 217
5. Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. — М., Изд-во МГУ, 1986.
6. Гильберт Д. О бесконечном //Основания геометрии. — М., ИЛ, 1948. С.358
7. Gurevich Y. Logic and the challenge of computer science //LMPS'87, ABSTACTS. 1987. Vol.5. Part 1. P.144 - 147.
8. Гэри М.Г., Джонсон Д.С. ЭВМ и труднорешаемые задачи. — М., Мир, 1982.
9. Шафаревич И.Р. Основные понятия алгебры //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. — М., ВИНИТИ, 1986. Т.11. (предисловие).
10. Маслов С.Ю. Теория дедуктивных систем и ее применения. — М., Советское радио, 1986.
11. Айелло Л., Чекки К., Сартини Д. Представление и использование метазнаний //ТИИЭР. 1988. Т.84. октябрь (N 10). С.12 - 31
12. Weyhrauch R.W. Prolegomena to a theory of mechanized formal rea soning //Artificial Intelligence, 1980, Vol.13. P.133-170
13. Катречко С.Л. Логика и теория поиска вывода //Наука и философия на рубеже тысячелетий: перспективы и горизонты (тез. докл. и выст. Всерос. научн. конфер.). — Курск, 11 - 12 апреля 1995. С. 54 - 56
14. Маслов С.Ю. Обратный метод установления выводимости для логических исчислений //Труды математического института им. В.А. Стеклова АН СССР, 1968, Т.98. С.26 - 87
15. Давыдов Г.В. Синтез метода резолюций и обратного метода //Записки научных семинаров ЛОМИ, 1971, Т.20. С.24 - 35
16. Катречко С.Л. Моделирование правила расщепления в обратном методе С.Ю. Маслова //Логические методы в компьютерных науках. — М., ИФ РАН, 1992. С. 125 – 141.
17. Катречко С.Л. Исчисление поиска вывода с «условной дизъюнкцией» //Материалы XI Международ. конф. по логике, методологии и философии науки. Москва — Обнинск, 1995, Т.1. С.145 - 149
18. Катречко С.Л. Интеллектуальный бектрекинг //Логические исследования. — М., Наука, 1995. Вып.3. С.187-205
Ответ на комментариЙ к статье (1996)
Комментарий А. Кричевца заставил меня еще раз обратиться к тезисам, отстаиваемым в моей статье. В частности, центральным тезисом (тезис 3) статьи действительно является положение о том, что работать с «бесконечным» содержанием позволяет «форма». Однако является ли любая «форма», будь то математическая или логическая форма, конечным образованием? В моей статье этот вопрос так и не получил своего удовлетворительного разрешения в силу того, что он просто не был поставлен. И поэтому вместо тезиса 3 допустим «естественный» переход к тезису 3a о том, что работать с бесконечностью можно лишь конечными средствами. Тем более, что в пользу тезиса 3a удалось заручиться поддержкой ряда крупных математиков. Однако неявно этот переход предполагает положительное решение на поставленный вопрос о конечности «формы». Но более пристальный анализ показывает, что это не совсем так. Вернее, не все так просто обстоит не только с категорией «бесконечного», но и парной категорией — категорией «конечного». Поскольку у нас нет четкого однозначного критерия отличения «бесконечного» от «конечного». Мы объявляем «конечным» то, с чем мы научились работать, что является привычным, «прирученным». Все то, что мы не в состоянии «описать», «представить», а тем более то, с чем невозможно «работать», объявляется «бесконечным». В этом смысле конечны «отрезок», «окружность», «знак»..., любая «форма» вообще. Однако их конечность есть конечность относительная, конечность прагматическая. Они конечны только в определенных контекстах, только в рамках тех задач, которые они позволяют решать. С другой (алгебраической) стороны, эту прагматичность «конечности» хорошо иллюстрирует пример о разделении единицы на три, приведенный в моей статье.
Поэтому сейчас я не стал бы так категорично настаивать на «конечности» знака, как впрочем и любой синтаксической конструкции, поскольку любой синтаксис предполагает определенную семантику (онтологические допущения по Р. Карнапу [Карнап Р. Эмпиризм, семантика и онтология //Значение и необходимость, М., ИЛ, 1959]; или «парадигму» по Т. Кун [Кун Т. Структура научных революций М., Прогресс, 1975]), в рамках которой и удается на время «приручить» бесконечность, т.е. относительную точность выдать за абсолютную.
Опубликовано 24 апреля 2007 года
Новые статьи на library.by:
ФИЛОСОФИЯ:
Комментируем публикацию: Катречко С.Л. - Бесконечность и теория поиска вывода
подняться наверх ↑
ССЫЛКИ ДЛЯ СПИСКА ЛИТЕРАТУРЫ
По стандарту ВАК Республики Беларусь
Стандарт используется в белорусских учебных заведениях различного типа.
По ГОСТу Российской Федерации
Для образовательных и научно-исследовательских учреждений РФ
Прямой URL на данную страницу для блога или сайта
Предполагаемый источник
Полностью готовые для научного цитирования ссылки. Вставьте их в статью, исследование, реферат, курсой или дипломный проект, чтобы сослаться на данную публикацию №1177409977 в базе LIBRARY.BY.
подняться наверх ↑
ПАРТНЁРЫ БИБЛИОТЕКИ рекомендуем!
подняться наверх ↑
ОБРАТНО В РУБРИКУ?
Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY в VKновости, VKтрансляция и Одноклассниках, чтобы быстро узнавать о событиях онлайн библиотеки.
Добавить статью
Обнародовать свои произведения
Редактировать работы
Для действующих авторов
Зарегистрироваться
Доступ к модулю публикаций