ФИЛОСОФСКО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ

Статьи, публикации, книги, учебники по вопросам математики.

МАТЕМАТИКА новое

Все свежие публикации


Меню для авторов

МАТЕМАТИКА: экспорт произведений
Скачать бесплатно! Научная работа на тему ФИЛОСОФСКО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ МАТЕМАТИКИ. Аудитория: ученые, педагоги, деятели науки, работники образования, студенты (18-50). Minsk, Belarus. Research paper. Agreement.

Полезные кнопки

BIBLIOTEKA.BY Крутые видео из Беларуси Аэросъемка - все города РБ KAHANNE.COM - это любовь! Футбольная биржа (FUT.BY) Система Orphus

111 за 24 часа
Автор(ы): • Публикатор:



Понимание образования как способа потребления знаний формирует определенные отношения между наукой, создающей новое знание, и методами его усвоения и распространения. Среди способов обучения прошлого хорошо известен сократовский метод . Это своего рода лекция-беседа, когда Учитель предлагает своим ученикам различные, заранее продуманные, верные или неверные идеи, которые непосредственно воспринимаются или отвергаются. Этот метод Платон описал в известном диалоге "Менон". Он исходил из того, что на небесах разлиты необъятные потоки света знаний, из которых любой человек может черпать свою скромную долю.

Последовательно реализовать этот метод для людей, не обладающих первоначальной математической интуицией, довольно сложно. Например, сколько бы мы ни говорили о "треугольнике интуиции", пока мы не увидим материальную вещь, называемую треугольником, нам не раскроется его евклидова сущность. И только после этого студенты-математики, обремененные грузом фундаментальных знаний, смогут рассуждать о таких мыслимых, но не существующих в природе объектах, как треугольник в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Хороший эффект от такого методического приема может быть достигнут только при изучении интуитивно простых и ясных математических понятий. Простота восприятия - одна из важнейших составляющих такого понятия, как математическая наглядность. Известная формула наглядности Болтянского звучит так: это изоморфизм плюс простота . Для педагогов-математиков в этой формуле наиболее сложна ее первая часть, т.е. адекватное и достойное материалу изложение.

В мире воспоминания или припоминания Сократа-Платона выражена, как говорят философы, трудноразрешимая диалектическая проблема. Чтобы что-то знать, надо существовать, а можно ли существовать вместо другого? Поэтому, например, известный философ М. Мамардашвили утверждал, что знание непередаваемо. Погружение в воспоминания - процесс творческий и неповторимый. Даже когда мы воссоздаем в памяти прошедшие события, то они все же отличаются от исходных. На первый взгляд,

стр. 35

сократовский метод можно использовать и при изучении основных положений современной теории множеств. Однако простота и наглядность ее понятий - только кажущиеся. Именно эта теория в начале XX столетия стала источником таких логических трудностей, которые повлияли на методологические основы преподавания всей современной абстрактной математики.

Помимо математических и методических трудностей, в повседневной практической деятельности приходится реагировать на неизбежные конфликты между требованием свободы учения и жесткими рамками официальной системы образования. Даже в элементарной геометрии трудно воплотить строго научные методы. По отношению к математическому знанию новые модели образования пока не способствуют существенному улучшению понимания даже сформировавшихся классических дисциплин. Уместно заметить, что сам термин "модель" впервые использовали итальянский математик Э. Бельтрами и немецкий математик Ф. Клейн в связи с неевклидовыми геометриями во второй половине XIX в. Даже в условиях культурного консерватизма у стандартного университетского математического образования есть немало внутренних нестандартных проблем, определяемых природой и сущностью математического знания.

Американский философ Дж. Дьюи хорошо известен не только как теоретик, но и как практик образования. Мы вспомнили о нем в связи с тем, что говоря о математическом образовании, часто упоминают о таком фантоме, как "математические способности". Не углубляясь в эту тему, заметим только, что при изучении математики любого уровня преподаватель не должен унижать учащихся публичными рассуждениями об их способностях. Дж. Дьюи еще в начале прошлого века писал о неправомерности разделения моральных и интеллектуальных аспектов образования. Одним из величайших событий в истории человечества он считал открытие символов, способствующих интеллектуальному развитию, поскольку с ними, вообще говоря, нет пределов и математическому развитию, кроме собственной глупости. Говоря о моральной составляющей, следует учитывать то, что образование ориентировано не только на будущее, но и на настоящее. Поэтому тот, кто желает учиться и кто может преподавать, должны чувствовать себя комфортно.

Китайский мудрец Конфуций говорил: "Напрасно обучение без мысли ". Пытаясь добросовестно следовать этому достойному изречению, мы неизбежно придем к проблеме убедительности и доказательности в педагогике математики, к проблеме логики и педагогики [1]. Логика сама по себе ничего не доказывает и не открывает, поэтому не следует сводить активность математического творчества, в том числе и педагогического, только к безупречно выдержанной формальной или дедуктивной стороне. Если рассматривать математическое творчество с точки зрения внутренней свободы преподавания, то придется признать, что ему противопоказана не только власть, но и учительская позиция. Речь идет также и о том, многому ли может научить преподаватель математики вуза, если он сам не сознает себя элитой и творческим человеком. Только практикующий математик, исходя из своего личного опыта, способен объяснить глубинный смысл близких ему математических утверждений.

В этом же ряду стоят размышления австрийского философа Л. Витгенштейна о том, что устанавливает смысл предложения. Можно ли утверждать, что смысл и суть математического предложения становятся ясными, как только мы можем следовать за доказательством? Последнее поясним следующим образом. Доказательство требуется, если утверждение теоремы не очевидно. Если же доказываемое предложение не может быть ни истинным,

стр. 36

ни ложным, то доказательство служит для установления смысла доказываемого предложения. С такой ситуацией математики неожиданно встретились на рубеже XIX и XX вв. при доказательстве континуум -гипотезы . В то же время доказательство позволяет формулировать новые языковые правила, когда задачи не поддаются обобщению на них старых методов или проведению аналогий, игнорирующих качественные различия.

Язык математики, впрочем, как и наш обыденный язык, применяемый к описанию явлений внешнего мира, приобретает естественную многозначность. Многообразие языка - это, по существу, один из способов привлечения "нестрогой" логики при внешнем сохранении приоритетов дедуктивной строгости. Классической логики оказалось недостаточно для описания микрообъектов материального мира. Именно это обстоятельство подвигло датского физика Н. Бора к формулировке знаменитого принципа дополнительности . Можно даже сказать, что с утверждением этого принципа расширилась логическая структура языка науки, поскольку для описания целостного явления оказалось необходимым рассматривать хотя и дополнительные, но взаимоисключающие явления. В связи с этим уместно заметить, что такие фундаментальные двойственности давно известны в математической науке: это, например, число и пространство, дискретность и непрерывность, а двойственные или сопряженные пространства - это важнейший раздел современного функционального анализа.

Достоинство научной теории состоит в ее способности обладать большой объяснительной силой и в предсказательных возможностях новых явлений. Для неформализованных наук новомодные или, лучше сказать, излишне детализированные концепции могут способствовать сужению или потере смысла . Это можно наблюдать на примере невероятного терминологического бума в педагогике, где сегодня существуют различные дисциплины - от "адаптивной педагогики" до "педагогики самоопределения". Однако совершенно уникальный случай полного отсутствия нового теоретического знания при вполне удовлетворительном современном рекламном эффекте демонстрирует новомодный термин "педагогические технологии". Методики стали называть технологиями, забыв о человеке как творческой личности. Хотя даже стиль математического исследования во второй половине XX в. отличается тем, что в него активно включается человеческая деятельность.

Наиболее трудные процедуры в математике - доказательства. Они влияют также и на использование языка , поскольку создают новые языковые правила. Например, доказательство основной теоремы алгебры связано с созданием нового исчисления, поскольку решение этой теоремы зависело от введения символики комплексных чисел. Довольно длительное время математика была совокупностью высказываний относительно некоторого класса объектов, не имеющего никакого структурного порядка, и высказывание принималось за истинное как очевидное или как доказанное на основе интуитивно очевидных высказываний. После того, как было осознано, что интуитивные доказательства часто приводят к серьезным ошибкам, стал развиваться аксиоматический метод с целью ограничения обращения к интуитивной очевидности.

Основная тенденция этого направления состояла в стремлении доказать как можно больше строго выводимых математических предложений. Недостижимым идеалом этой точки зрения было доказательство истинности каждого предложения, принимаемого за такое, поскольку каждое предложение доказывается на основе других, а эти другие - на основе дальнейших и т.д., если в конце концов где-то не прервать эту процедуру. Два основных принципа, которым следует и

стр. 37

современная математика, явились результатом компромисса между реальными возможностями и недостижимым идеалом. Согласно первому из них, математическая дисциплина начинается с небольшого количества предложений-аксиом, и, в соответствии со вторым, в рамках этой дисциплины предложение становится истинным, когда оно доказано с помощью аксиом или предложений, доказанных раньше.

Выдающийся польский математик и логик А. Тарский считал, что "вплоть до конца девятнадцатого столетия понятие доказательства имело главным образом психологический характер " [2, с. 142]. По существу, на аргументы, применяемые при доказательствах, не накладывалось никаких ограничений, кроме интуитивной убедительности, хотя уже и начала ощущаться потребность в анализе самого понятия "доказательства". Такой анализ был проделан логиками, так что, начиная с работ крупнейшего немецкого логика Г. Фреге, было определено новое понятие формального доказательства. Он пытался представить математику как продолжение логики. Тем не менее, за исключением некоторых элементарных теорий, А. Тарский делает вывод о несовпадении понятий истинности и доказуемости относительно всех формализованных теорий, имеющий почти универсальный характер.

Философско-методологическая компонента современного математического доказательства включает и такие сугубо "человеческие" характеристики, как обозримость, убедительность и понимание. У математического доказательства нет "точного" определения, поэтому роль субъективного элемента в его понимании и восприятии как убедительного рассуждения зависит от методологических установок ученых-математиков. Тем не менее, вполне возможно, что современная математика, выдвигающая новые стандарты строгости рассуждений, представляет, с точки зрения будущей математики, альтернативный вариант математического доказательства. Наука не сводится только к доказательным утверждениям, поэтому интуиция должна сохранить исторически предназначенную роль дополнения или "противовеса" логики. Именно на этом и основана вера в то, что наука и математика могут выходить за пределы наших познавательных возможностей.

Математические проблемы так называемых оснований в столь же малой степени лежат для нас в основе математики, убеждал Л. Витгенштейн, в какой нарисованная скала несет на себе нарисованную крепость. Иногда мысль лучше проясняется, если мы проиллюстрируем ее на косвенном примере. Спросим так: увеличение числа страховых компаний способствует уменьшению несчастных случаев? Этот вопрос для нас безусловно риторический. Каждый самостоятельный ум имеет свой особый способ просвещения . Трудно сказать, из чего складывается математическая культура современного университетского образования с точки зрения веры и знания в образовании [3]. Поэтому, хотя преподаватель математики требует логики рассуждений от каждого ума и не желает мириться с ее отсутствием, логический блеск, тем не менее, не должен заслонять собой понимание внутренних мотивов развития математического знания и причин, по которым оно выглядит сегодня именно так.

Пройдя длинный и сложный путь от неосознанных и скрытых применений в математических рассуждениях XIX в., а затем через бурную полемику в начале XX в., после явной формулировки Цермело аксиома выбора теории множеств была признана вполне респектабельным, важным и неизбежным элементом современных теоретических исследований. Выяснению роли этой аксиомы в математике посвящено немало работ, основной из которых считают статью известного польского математика В. Серпинского "Аксиома Zermelo и ее роль в теории множеств

стр. 38

и в анализе". Например, в популярном университетском курсе профессора Г. М. Фихтенгольца "Основы математического анализа" слова "аксиома выбора" вообще не встречаются, однако большинство содержащихся в нем утверждений в той или иной степени связано с ней.

Сомнения и споры вызывали, в основном, следующие два принципиальных момента: реализация выбора бесконечной последовательности элементов и элемента из произвольного неупорядоченного множества. Одной из основных характеристик математики является идеал однозначности . "Аксиома выбора, - отмечал историк математики Ф. А. Медведев, - явно противоречит этому идеалу: выбираемые с ее помощью множества или функции определяются не единственным образом; их существование принимается, но принципиально не дается средства предпочесть что-либо одно" [4, с. 73]. Именно это свойство знаменитой аксиомы теории множеств позволяет говорить о ее своеобразной трактовке бесконечного множества современных педагогических концепций и программ.

Кризис в философии образования проявляется отчасти в огромном числе крайних версий по различным аспектам этого направления. Пытаясь сохранить хотя бы отдельные объективно лучшие элементы из уже имеющихся проектов, авторы непременно что-то выбирают из уже имеющихся или доступных для них программ. Они, по существу, неосознанно используют гуманитарный аспект аксиомы выбора, позволяющей выбирать. При таком подходе результат не может быть ни однозначно определенным, ни конструктивно удовлетворительным, поскольку такая процедура даже гипотетически имеет смысл только в хорошо формализованной науке, а теории педагогики до идеала строгости еще далеко, хотя почему-то именно радикальные концепции непременно претендуют на звание "научно обоснованных".

Философско-образовательное значение математики состоит в том, что, по существу, она конструирует методы, которые, учитывая их многообразие и множественность в духе педагогики постмодерна, вообще говоря, могут иметь дело с любым содержанием [5]. Многие выдающиеся математики обоснованно возражали против ориентации обучения только на предметное содержание. Интеллектуальная деятельность людей не сводится к ее научным формам. Поэтому реальное преподавание математики любого уровня не может пренебрегать психологическими и социальными аспектами жизни. Не случайно Апостол Павел в своем послании коринфянам завещал помнить о том, что не духовное прежде, а душевное, потом духовное .

Литература

1. Еровенко В. А., Михайлова Н. В . Логика и педагогика: к вопросу о влиянии идей Бурбаки на математическое образование // Magister. 2000. N 4.

2. Тарский А . Истина и доказательство // Вопросы философии. 1972. N 8.

3. Еровенко В. А., Мартон М. В . Вера и знание в математическом образовании // Педагогика. 2002. N 1.

4. Медведев Ф. А . Метаморфозы аксиомы выбора // Вопросы истории естествознания и техники. 1983. N 4.

5. Еровенко В., Михайлова Н . Феномен математического знания в постмодернистской философии образования // Alma mater. 2001. N 2.



Опубликовано 24 июля 2018 года

Нашли ошибку? Выделите её и нажмите CTRL+ENTER!

© В. А. ЕРОВЕНКО-РИТТЕР • Публикатор (): БЦБ LIBRARY.BY

Искать похожие?

LIBRARY.BY+ЛибмонстрЯндексGoogle

Скачать мультимедию?

подняться наверх ↑

ДАЛЕЕ выбор читателей

Загрузка...
подняться наверх ↑

ОБРАТНО В РУБРИКУ

Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY на Ютубе, в вКонтакте и Одноклассниках чтобы быстро узнавать о лучших публикациях и важнейших событиях дня.