АПРИОРНОСТЬ МАТЕМАТИКИ

Статьи, публикации, книги, учебники по вопросам математики.

NEW МАТЕМАТИКА


Все свежие публикации



Меню для авторов

МАТЕМАТИКА: экспорт произведений
Скачать бесплатно! Научная работа на тему АПРИОРНОСТЬ МАТЕМАТИКИ. Аудитория: ученые, педагоги, деятели науки, работники образования, студенты (18-50). Minsk, Belarus. Research paper. Agreement.

Полезные кнопки

BIBLIOTEKA.BY Крутые видео из Беларуси HIT.BY - сенсации KAHANNE.COM Футбольная биржа FUT.BY Инстаграм Беларуси

Система Orphus

91 за 24 часа
Автор(ы): • Публикатор:



Идея априорного знания поддерживается самой практикой математического мышления. Мы все осознаем самоочевидность и некорректируемость утверждений элементарной математики, а также безусловную надежность признанных доказательств. Математическое мышление постоянно демонстрирует нам первичность интуитивной основы математического рассуждения перед всяким его символическим оформлением и общезначимый характер этой основы. Это значит, что математический априоризм как идея безусловной необходимости математических истин не может быть устранен из философии математики, он может быть лишь так или иначе объяснен с теоретико-познавательных позиций.

Теория познания, однако, не достигла здесь полной ясности. Она не имеет пока убедительного объяснения специфики математических истин и априорного знания в целом. Очевидно, что здесь нужны некоторые новые идеи, позволяющие более глубоко осмыслить специфику математики и основания традиционного рационализма. В данной статье будет изложена концепция математического априоризма, которая исходит из связи первичных математических идеализации с универсальными категориями мышления. Наша задача состоит в том, чтобы выявить теоретические предпосылки этой концепции и показать ее приемлемость для философии и методологии математики.

Практика как основа универсальной нормативности

В марксистской теории познания подчеркивается, что практика является стимулом познания, основой познания (в смысле наличного материала и средств), а также высшим критерием истинности теорий и идей. К этим несомненно верным положениям необходимо добавить еще одно, состоящее в том, что практика является нормативной основой познания, т.е. источником универсальных норм, которым подчинено всякое знание. Это абстрактное положение важно в том отношении, что оно дает нам возможность понять природу априорного знания из естественных задач мышления.

Если некоторая развивающаяся и функционирующая система является частью другой более широкой системы, то в своих функциях она неизбежно подчинена целям этой системы и общие регулятивы ее развития могут быть поняты только при

© Перминов В. Я., 2005 г.

стр. 103

рассмотрении этого функционального соподчинения. Этот абстрактный системный принцип должен быть руководящим и при анализе процесса познания. Познавательная деятельность человека - это функциональная часть его практической деятельности, а это значит, что высшие нормы, регулирующие познавательную деятельность, имеют праксеологическую природу и должны быть выведены в конечном итоге из практической функции знания.

Суть этого тезиса состоит в том, что всякое знание, сориентированное на практику, подчинено нормам, проистекающим из самой этой цели, а именно: из общей установки на его эффективность для практики. Это значит, что наряду с принципами, проистекающими из предмета исследования, которые различны для различных сфер опыта и выражаются в понятиях конкретной теории, существуют универсальные принципы, проистекающие из общих целей знания и единые для всех его видов. Это принципы, определяющие универсальную форму знания. Априорное и апостериорное знание различаются в этом плане как знание телеологическое, заданное только практической ориентацией мышления, и знание отражательное, определенное специфическими подразделениями опыта.

Здесь необходимо провести ясное различие между практикой и опытом как гносеологическими понятиями, которое часто упускается из виду при их обыденном использовании. В самом широком плане практику мы должны понять как деятельность субъекта, изменяющую предметный мир, а опыт как систему представлений о мире, полученную на основе чувственного восприятия. В понятийной картине мира опыту соответствует вся позитивная информация о мире, основанная в конечном итоге на актах его чувственного восприятия, а практике - универсальные нормы, прежде всего категориальные и логические, порожденные деятельностной ориентацией мышления. Радикальные эмпирики склонны рассматривать опыт в качестве единственной основы знания, порождающей в конечном итоге и саму систему норм. Это, конечно, совершенно несостоятельная позиция. Здесь упускается из виду, что эмпирические суждения получают смысл только на основе категорий, т.е. чистых деятельностных схем, которые относятся исключительно к актам деятельности, независимо от структуры и качеств их предмета.

Важно понять то обстоятельство, что только практика конституирует мир реальных предметов и структуру реальности в целом. Существование предметов и структуры предметного мира в целом задается в деятельности, до актов познания и независимо от этих актов. С праксеологической точки зрения предметная реальность абсолютно первична перед познавательной деятельностью и она никоим образом не может быть понята как порождаемая имманентной активностью сознания на основе данных чувственности. Выявление структуры предметного мира - не функция знания, а исключительно функция деятельности. Внутренняя интенциональность сознания мотивирована деятельностью. Знание принципиально предметно в том смысле, что оно начинается только там, где уже выделен его возможный предмет.

Деятельность выявляет две основные структуры сознания, обладающие беспредпосылочностью и строгой интерсубъективнстью. Это структура предметной реальности и структура универсальных норм, обусловленных универсальной практической ориентацией сознания. Наряду с миром предметов как общезначимой чувственной реальностью нам дана также структура идеальной нормативности, система универсальных ограничений на содержание и логику мышления, продиктованных его деятельностной ориентацией. Это значит, что система универсальных норм мышления проистекает не из разума и не из опыта, а из практической установки мышления.

Этими положениями намечается определенный синтез между общей установкой априоризма и марксистской теорией познания, пытающейся объяснить принципы познания из его практических задач как определяющих. Традиционные трактовки марксистской философии страдают тем недостатком, что они не выделяют практики как инстанции, определяющей категориальную основу мышления, и в изложении

стр. 104

теории познания принимают позицию эмпиризма, отвергая априоризм как нечто чуждое практической сущности знания. Действительное положение совершенно обратное. Априоризм может быть понят в своей сущности и своих методологических следствиях только на основе учения о практике как основе познания. Мы должны понять априрность как высшую нормативность мышления, продиктованную его включенностью в структуру деятельности.

Априорность категорий и логики

Универсальная праксеологическая нормативность проявляется прежде всего в категориальных принципах. Всякое опытное знание строится как знание о чем-то материальном, как основанное на причинно-следственных связях, на различении объектов в пространстве и времени и т.п. Нетрудно понять, что мы имеем здесь дело с общими требованиями к структуре представлений, проистекающими из их практической функции. Теория, которая отказалась бы от различения объектов по пространственно-временным характеристикам, не подчинялась бы общим свойствам причинно- следственных связей, не отделяла случайное от необходимого и т.д., не могла бы быть квалифицирована как знание, ибо она заведомо не могла бы быть использована для координации действий в какой-либо сфере опыта. Знание должно быть соединено с практикой, а следовательно, оно должно быть подчинено категориям практики, безотносительным к сфере опыта. Абстрактные принципы типа "причина раньше следствия", "время необратимо" и т.п. должны быть поняты в этом плане как наиболее общие ограничения на структуру представлений, проистекающие из их практической значимости. Попытка объяснить эти принципы из опыта, индуктивно, обречена на неудачу, ибо она заведомо не способна оправдать их внеисторичность и необходимость для сознания.

Мы убеждены, что каждое явление, даже самое незначительное, имеет достаточную причину своего существования. Это положение (принцип причинности) - не тривиальность и не тавтология. Оно относится к классу синтетических, так как совершенно очевидно, что оно не следует ни из понятия события, ни из понятия причинной связи. Каковы основания нашей веры в безусловную истинность этого принципа, что заставляет нас мыслить любое явление в контексте причинной зависимости? Опыт сам по себе не обосновывает необходимости причинного видения мира как универсального. Исходя из опыта мы можем утверждать, что наш мир является в достаточной степени причинно обусловленным, но никакой конечный опыт не позволяет нам утверждать, что все явления причинно обусловлены. Существование человека и его возможность влияния на события вполне совместимы с дефектами детерминации, с отступлениями от принципа причинности, по крайней мере в тех сферах реальности, до которых еще не дошла человеческая практика. Мы не знаем всех событий в мире и хорошо понимаем, что допущение отдельных беспричинных событий ничему не противоречит ни в теоретическом, ни в практическом плане.

Безусловный характер принципа причинности становится, однако, совершенно понятным при рассмотрении деятельностной установки мышления. Каков бы ни был мир в своей основе - полностью или только частично причинным, мы можем влиять на него только посредством причинных связей, которые дают возможность, действуя на некоторое событие А, оказывать влияние на появление события В. Вся наша деятельность представляет собой попытку повлиять на будущее и, вследствие этого, она органически связана с установлением причинных зависимостей, которые являются необходимой основой такого влияния. Это значит, что общий принцип причинности представляет собой не индуктивный вывод из множества наблюдаемых причинных связей, а прежде всего субъективную направленность на их выявление, порождаемую актами деятельности. Человек как деятельное существо создает идеализированную картину мира, согласующуюся с необходимыми условиями деятельности и являющуюся, в своей сути, оправданием возможности действия. Принцип

стр. 105

причинности с этой точки зрения представляет собой не обобщение опыта, а лишь определенный идеал, человеческий проект реальности, благоприятной для деятельности. Мы имеем основание утверждать, что принцип причинности - не эмпирическое суждение, а нормативное требование, проистекающее из необходимой деятельностной ориентации нашего сознания. Такова природа всех основоположений рассудка и их априорность не что иное, как универсальная нормативность, порожденная практической функцией знания.

Другой универсальной нормативной структурой сознания, проистекающей из деятельности, является система логических норм, которой подчинено всякое понятийное мышление. Если категории ограничивают содержание представлений, являются системой интуиции, лежащих в основе определения предмета мышления вообще, то логические нормы - это ограничения на структуру понятий (значений) и возможные их связи. Знание, построенное вне логики, не является знанием, поскольку оно не является осмысленным и не может служить основой практической ориентации и выбора. Логика органически связана с категориальной онтологией, поскольку она построена на константах, определенных в сфере категориальных очевидностей.

Очевидно, что категориальные и логические представления не являются эмпирическими в каком-либо смысле. Они отличаются от эмпирических представлений прежде всего по объекту отражения: в них фиксируются не какие-либо частные или общие свойства объектов, но сама структура деятельности, ее необходимые онтологические основания. Деятельность всегда связана с объектом, который противостоит субъекту, и этот ее универсальный момент мы выражаем в категории материи. Мы можем действовать, только опираясь на органическую связь явлений, при которой появление одних из них с необходимостью влечет появление других, и это необходимо ведет нас к пониманию мира явлений как универсально причинно обусловленного. Деятельность навязывает нам объектную, причинную и временную структуру знания, поскольку знание, не определенное в этих категориях, безразлично для практики и, таким образом, не является знанием вообще. Деятельностная трактовка категорий существенно меняет кантовское определение их сущности: мы должны с этой точки зрения понимать априорные категории не как необходимые условия опыта, а как необходимые онтические предпосылки деятельности.

Категориальные представления внеэмпиричны, ибо они не абстракции, а лишь деятельностные идеализации и по этой причине безразличны к содержанию опыта. Кант, безусловно, прав в том, что в категориях не содержится ничего эмпирического: система представлений, определяющая синтез понятий вообще, не может зависеть от подразделений, продиктованных содержанием опыта. Категориальные представления эквифинальны в том смысле, что любой индивидуальный опыт приводит нас в конечном итоге к одной и той же неизменной и единой для всего человечества системе категориальных представлений. Глубинные представления о пространстве, времени, причинности одинаковы у всех народов независимо от эпохи и географического положения. Здесь мы можем вспомнить глубокую аналогию Лейбница, в которой универсальные принципы разума отождествляются с прожилками в глыбе мрамора, которая при самых разных ударах распадается по одним и тем же линиям, обнажая предначертанную в ней фигуру Геракла. Существенно различаясь по составу конкретных представлений о мире, все люди едины в категориальных и логических очевидностях, ибо они навязаны не содержанием опыта, а исключительно деятельностью, необходимыми моментами в ее структуре. Категориальные представления самоочевидны. Мы имеем здесь дело не с эмпирической очевидностью, ограниченной рамками частного опыта, но с аподиктической очевидностью, которая обусловлена универсальным и нормативным характером этих принципов.

Система категориальных представлений вневременна в том смысле, что она не изменяется с расширением сферы опыта и области исследуемых объектов. Современный человек склонен думать, что любое суждение, относящееся к сфере знания, может быть рассмотрено критически и изменено в результате этой критики. Это

стр. 106

убеждение, однако, не совсем верно. Человек не подвергает сомнению свое собственное существование, факт мышления, существование внешнего мира, пространства, времени и т.п. Внимательное рассмотрение структуры знания приводит нас к выводу, что в действительности человек мыслит на основе аподиктических очевидностей, которые являются предпосылками всякого акта мышления и которые не могут быть изменены вследствие каких-либо результатов самого мышления. Критический анализ таких суждений, как "Я существую", "Время необратимо", "Каждое явление имеет причину" и т.п., важен для понимания их природы, но этот анализ не может иметь своей целью изменение или опровержение этих утверждений. Эти принципы - не индуктивные обобщения на основе опыта и не выводы теоретической науки, а онтологические представления о реальности, навязанные практической ориентацией мышления. Они обладают высшей достоверностью для сознания и являются его последней и наиболее твердой основой.

Мы должны признать наличие в структуре знания двух принципиально отличных друг от друга систем представлений - эмпирических и категориальных. Разница здесь не количественная: категории не просто более общие или более абстрактные понятия, чем эмпирические, они не просто более универсальны и не просто более очевидны. Система представлений, связанная с категориями и с логикой, лежит принципиально в другом измерении и качественно отличается от системы эмпирических представлений как по генезису, так и по функции. В категориях мы раскрываем особую реальность, не выразимую в частных понятиях, поскольку все частные представления строятся на основе категорий. Категории в этом смысле образуют первичную и абсолютно автономную сферу представлений. Мы будем называть эту сферу представлений категориальной онтологией или категориальным видением мира. Категориальная онтология представляет собой первичный и определяющий уровень априорного знания.

Априорность исходных представлений математики

Кант понимал априорность математики как некоторый несомненный факт, позволяющий обосновать априорность пространства и времени. Такая логика рассуждений не может быть принята как удовлетворительная. Правильное движение должно быть обратным: мы должны подойти к обоснованию априорности математики, исходя из априорности категориальной основы мышления.

Косвенное соображение в пользу положения об априорности истин элементарной математики проистекает из самоочевидности этих истин. Как уже сказано, априорные истины даны сознанию с особой степенью очевидности, которая преобладает над очевидностями, относящимися к содержанию знания. Таковы, к примеру, нормы логического умозаключения. Но в таком случае сама аподиктическая очевидность может быть использована в качестве признака априорного знания. Если мы посмотрим на исходные представления арифметики и геометрии, то должны будем признать, что они являются аподиктически очевидными, либо полученными из аподиктически очевидных истин на основе аподиктически очевидных мысленных операций. Пифагорейский тезис, согласно которому ложь не может быть присоединена к утверждениям о числах, понятен современному математику ничуть не в меньшей мере, чем математикам (да и всем людям) во все времена. Элементарные арифметические и геометрические истины даны человеческому сознанию с непреложностью, и этот факт заставляет нас признать, что здесь мы имеем дело с представлениями, радикально отличными от представлений опытных наук.

Общее теоретическое обоснование априорности исходных математических идеализации требует рассмотрения структуры универсальной онтологии. То, что мы называем универсальной, абстрактной или категориальной онтологией, состоит из двух существенно различных частей, которые можно назвать причинной и предметной онтологией. Чтобы действовать, мы нуждаемся в наличии причинных связей.

стр. 107

Причинность является, таким образом, универсальным онтологическим основанием деятельности. Система онтологических категорий, включающая категории материи, пространства, времени, причинности, случайности, необходимости, бытия, небытия и т.п., является целостной в том смысле, что все эти категории описывают аспекты реальности, определяющие деятельность, а точнее, акт деятельности в его необходимых онтических предпосылках. Эта часть онтологии может быть названа каузальной или динамической, так как в центре ее находится представление о причинной связи, определяющее практическое отношение человека к миру.

Причинная онтология, однако, не исчерпывает всей сферы универсальных онтологических представлений. Для того чтобы действовать, мы нуждаемся не только в идеальных представлениях о связях, но и в идеальных представлениях о предметах, с которыми мы действуем. Передвигая и вращая предметы, мы должны рассматривать их как те же самые. В процессе действия мы неизбежно опираемся на допущение тождества предметов и постоянства их структуры, т.е. на идеальные представления о предметах, как удовлетворяющих общим условиям деятельности. Точно так же, как деятельность вырабатывает у нас идеальные представления об универсальности причинной связи, она вырабатывает и представления о мире как совокупности предметов, которые конечны в пространстве и времени, стабильны в своих формах, отделены друг от друга и т.д. Наряду с каузальной онтологией, которая выражает собой идеальные условия акта действия, мы имеем систему предметных идеализации, идеализированную структуру мира, конституируемую деятельностью.

Адекватное понимание математики как априорного знания достигается при осознании того факта, что в основе исходных математических идеализации лежат универсальные представления предметной онтологии, выработанные деятельностью. Генетически первичные математические теории, а именно: арифметика и евклидова геометрия, исходят их общезначимых представлений предметной онтологии, выражая собой формальный или формализуемый аспект этой онтологии. Как и категориальные представления, представления, лежащие в основе математических понятий, - не абстракции и не теоретические идеализации, а интуиции, проистекающие из деятельностной ориентации познающего субъекта. Математика с этой точки зрения есть формальная онтология мира, схватывающая свойства его идеально-предметной структуры, и она, безусловно, априорна в том смысле, что ее исходные истины фиксируют не факты опыта, а лишь отношения идеальной предметности.

Обычный довод против априористского истолкования истин арифметики и геометрии исходит из факта их содержательности, приложимости к описанию счета и измерения. Мы охотно верим, что ребенок усваивает арифметические истины в опыте посредством счета и упорядочения реальных предметов. Это воззрение, однако, упрощает и искажает действительную ситуацию. Анализ процедур счета и измерения показывает, что они всецело определены представлениями идеальной предметности и имеют смысл только в рамках этих представлений: деятельность счета строго ограничена ситуациями, соответствующим требованиям идеальной предметности. Мы не пытаемся определить точное число волн на поверхности воды или число переживаний в нашей душе за определенное время суток, так как волны и мысли не обладают достаточной дискретностью и не попадают в число объектов, к которым применима операция счета. Мы не можем изменить эти требования под действием какого-либо опыта. Арифметика представляет в своей сущности не что иное, как описание требований к объекту, продиктованных универсальной предметной онтологией. Но это означает, что законы арифметики не порождены процедурами счета, а являются их условием, их убедительность для нашего сознания проистекает не из практики счета, а из универсальных требований предметной онтологии. Ошибка философов-эмпириков состоит в том, что они пытаются вывести понятие числа из процедуры счета, истолковывая сферу приложения арифметики в качестве источника ее истин. Они, как говорил Фреге, смешивают применение математической истины с самой этой истиной [1. С. 45]. То же самое относится и к процедуре измере-

стр. 108

ния. Эта процедура опирается на представления о количестве и величине, которые априорны и имеют свои истоки в структуре практики.

Имеется также некоторого рода антропологический аргумент против априорности математики, который исходит из того факта, что у первобытных народов не наблюдается развитых представлений о числе и натуральном ряде чисел. Этот аргумент, однако, проистекает из смешения априорного знания со знанием врожденным. Априорность представлений не означает их врожденности, а означает лишь их интерсубъективность и эквифинвальность, т.е. их появление в качестве необходимой формы мышления в любом мыслящем сознании. Исходные математические представления, несомненно, априорны в этом смысле. Мы имеем все основания говорить об априорности арифметики и элементарной геометрии как теорий, основанных на априорных представлениях. Математика имеет не эмпирическую, а онтологическую основу; ее исходные положения являются априорными и онтологически истинными.

Слабость традиционного априоризма

Понятие a priori по отношению к логическим и математическим истинам систематически стал использовать Г. В. Лейбниц. Он полагал, что все математические истины врождены ("потенциально находятся в душе человека") и что они аналитичны в том смысле, что их можно свести к системе самотождественных утверждений типа А = А. Лейбниц считал, что принципы математики относятся к реальности и заключают в себе глубинные истины о строении мира, не доступные для опытного познания. Он понимал непрерывность не только как свойство математических объектов, но и как характеристику процессов природы. Математика и метафизика образуют, по Лейбницу, систему необходимых истин, противостоящих случайным истинам, взятым из опыта. Лейбницевская концепция априорного знания является предельно элементарной в том смысле, что она, по сути, лишь фиксирует факт наличия в человеческом сознании истин, не подлежащих опровержению.

Кант существенно углубил лейбницевское понятие необходимых истин. Главное достижение кантовской теории познания состоит в разделении содержания и формы мышления и в обосновании того факта, что математическое знание относится к форме мышления и обладает принципиально иными характеристиками, чем знание, основанное на опыте. Кант отделил априорность от врожденности и строго обосновал факт синтетичности математического знания. Он, таким образом, отделил математику от опытных наук как науку о форме мышления, а также и от логики как от системы аналитических априорных истин. Математика, по Канту, непосредственно базируется на априорных представлениях пространства и времени: геометрия понимается как теория, концептуализирующая представление о пространстве, арифметика аналогичным образом соотносится с представлением о времени. В отличие от Лейбница Кант истолковывает математические представления как сугубо идеальные, не имеющие отношения к реальности самой по себе.

Недостатки кантовской теории в настоящее время очевидны. Она выглядит догматичной в том смысле, что не проясняет генезиса априорных форм мышления. Они мыслятся как изначально присущие человеческому сознанию, как проистекающие из природы человека как существа определенного вида. Эта неясность усиливается положением о трансцендентности априорных форм, т.е. об их независимости от опыта и структуры реальности в целом. Это положение трудно согласовать с тезисом об универсальности этих форм в качестве механизмов эмпирического синтеза. Математическое знание, относящееся к форме мышления, также полностью отделяется от мира вещей, лишается статуса реального в каком-либо смысле. Кантовская теория страдает также неясностью и в определении состава априорных принципов. Кант, как известно, включал в состав априорного знания вместе с принципами математики также и принципы чистого естествознания, что, конечно, неприемлемо для современной методологии науки. Кант абсолютизировал математическую очевидность,

стр. 109

не обратив должного внимания на логические механизмы математического мышления, которые выводят его за пределы всякой очевидности. Появление неевклидовых геометрий вошло в противоречие с этой установкой Канта и с его философией математики в целом.

С деятельностной точки зрения следует считать ошибочной также и идею зависимости арифметики от понятия времени. Интуитивной основой арифметики, с этой точки зрения, является структура идеальной предметности, которая принципиально статична и не включает в себя представления времени. В настоящее время хорошо осознан тот факт, что исходные понятия математики как элементарной, так и высшей, имеют структурный характер и не предполагают апелляции к этому представлению. Применение временной терминологии в теории последовательностей или в теории пределов является чисто дидактическим приемом и полностью исключается строгим аксиоматическим представлением этих теорий.

Не может быть признана вполне удовлетворительной и концепция априорности Э. Гуссерля, появившаяся в начале прошлого века. Гуссерль стремился освободить априорное знание от остатков антропоморфизма, имеющих место в кантовской теории. Кант не исключал того положения, что существа, отличные от человека, могут иметь другие априорные представления. С точки зрения Гуссерля, априорные представления не зависят ни от объекта, ни от субъекта мышления и являются совершенно одинаковыми для любого познающего существа, будь это люди, чудовища или боги [2. С. 101]. Это, несомненно, более правильный взгляд на природу априорных представлений. Гуссерлевское учение об эйдосах при всей его проблемности устраняет кантовский номинализм, определяющий чистую чувственность только как созерцание in concrete Гуссерль, наконец, предпринимает попытку понять логику становления самих априорных форм, которая отсутствует в кантовской теории познания.

Гуссерль, однако, существенно ослабляет установки кантовского априоризма в том смысле, что допускает существенное эмпирическое опосредование в становлении априорных представлений. Вместе с радикальными эмпириками он допускает, что арифметика и геометрия как теоретические науки не могли возникнуть иначе, как на основе счета и измерения. Становление геометрии, по его мнению, было бы невозможно без протогеометрии - грубой эмпирической геометрии, создаваемой в практике измерений. Если априорное у Канта независимо от опыта и в генетическом и в логическом отношении (он допускает здесь только неспецифическое влияние опыта, не определяющее содержания априорного знания), то у Гуссерля априорное знание с самого начала опосредовано наличием конкретных переживаний и является независимым от опыта только логически, в качестве сформировавшейся эйдетической структуры. Это включение опыта в формирование априорных структур сознания сдвигает феноменологию в сторону эмпиризма и ставит ее перед проблемой объяснения интерсубъективности и стабильности этих структур. Исключив анализ целей мышления как неприемлемую метафизику, Гуссерль вынужден выводить нормы мышления из самого его материала, что неизбежно возвращает его к идее относительности всех принципов.

В течение последнего столетия были намечены подходы к обоснованию априорного знания из принципов позитивной науки. Одним из таких подходов является эволюционная эпистемология, которая стремится понять априорное знание как знание, врожденное или закрепленное эволюцией. Здесь происходит некоторое возвращение к позиции Декарта и Лейбница, и заслуга Канта усматривается только в том, что он впервые зафиксировал наличие в человеческом сознании элементов филогенетически унаследованных представлений [3]. Хотя сторонники эволюционной эпистемологии убеждены, что они вскрывают подлинную основу кантовского априоризма, в действительности мы имеем здесь дело с очевидным искажением его сути, с подменой трансцендентального идеализма некоторого рода натурализмом. Идеальный (нормативный) субъект заменяется здесь субъектом психофизиологическим, апри-

стр. 110

орность - врожденностью. При такой трактовке исчезает принципиальное разделение формы и содержания мышления, и за априорное знание выдается часть предметного знания, обладающая относительной стабильностью. Система априорных принципов становится подвижной и подверженной корректировке.

Врожденное знание, несомненно, существует и может быть предметом исследования, но оно не имеет никакого отношения к априорным формам мышления, о которых идет речь в кантовской теории познания. Это обстоятельство является важным для философии математики, ибо математика, будучи априорным знанием, ни при каких обстоятельствах не может быть понята в качестве знания врожденного.

Деятельностное обоснование априорного знания важно в том отношении, что оно, с одной стороны, реабилитирует традиционный априоризм в его наиболее существенных моментах, прежде всего в радикальном разделении формы и содержания мышления, а с другой стороны, естественным образом устраняет его внутренние проблемы. Мы рассмотрим здесь некоторые из этих проблем, имеющих отношение к современной философии математики.

Синтетичность математических истин

Важнейшей особенностью математики, отличающей ее от логики, является синтетический характер ее принципов. Мы определяем суждение как синтетическое, если связь субъекта и предиката, осуществляемая в нем, опирается на некоторое внешнее представление, которое не раскрывается анализом его понятий. Эмпирические суждения, безусловно, синтетичны, поскольку они опираются на представления опыта. Для понимания синтетического характера суждений математики важно осознать факт аналитичности логики. Аналитичность законов логики становится очевидной уже из простого их рассмотрения, которое показывает, что каждый такой закон является ни чем иным, как разъяснением используемых в нем исходных смыслов таких, как "не", "и", "или" и т.п. Утверждая, что из x F(x) следует х F(x), мы опираемся на интуитивно ясное понимание отношения между целым и частью. Признак, принадлежащий всем объектам, не может не принадлежать некоторым из них, ибо это противоречило бы принятому смыслу слов "все" и "некоторые".

Аналитичность логики проистекает из ее функции как универсальной языковой нормы. Отображение содержания в суждениях может происходить только через соподчинение значений на основе предварительно принятых смыслов, которые мы называем логическими константами. Органическая связь логики с онтологией проистекает из того обстоятельства, что только онтологические представления могут дать систему стабильных и общезначимых смыслов, необходимых для кодирования предметного содержания в суждениях и установления строгих смысловых тождеств между ними. Принципы реальной логики аналитичны, ибо это те, и только те утверждения, которые определяют смысл логических констант.

Принципы математики, по Канту, синтетичны, поскольку они опираются на априорные представления о пространстве и времени. Устанавливая синтетичность математических истин, Кант устраняет лейбницевское отождествление математики и логики, намечая тем самым более глубокое понимание природы математического мышления. Однако надо признать, что объяснение синтетичности математических суждений, данное Кантом в "Критике чистого разума", не обладает достаточной убедительностью. Большая часть его аргументации искусственна и уязвима для критики. Действительно, непросто согласиться с положением, что 5 + 7 не заключают в себе числа 12. Логическая экспликация понятия числа опровергает это положение [4].

Арифметика, как теория, основанная на определениях, несомненно, содержит в себе также и аналитические суждения и разграничение одних от других на уровне непосредственной очевидности, как это пытается сделать Кант, недостижимо. Ясно, что при обосновании синтетичности математики мы должны исходить не из кон-

стр. 111

кретных примеров, а из некоторых общих положений о статусе математической теории в целом.

Понимание деятельностной и предметно-идеальной природы исходных математических истин позволяет дать более строгое объяснение их синтетичности. Арифметика с этой точки зрения синтетична потому, что она имеет истоки не в логике, а в идеально-предметных представлениях о мире и, следовательно, в какой-то части своих принципов является содержательной и описательной наукой. Хотя это абстрактное положение не дает критериев, позволяющих с полной определенностью отнести конкретное математическое суждение к классу аналитических или к классу синтетических, оно позволяет нам утверждать, что конструирование математических теорий невозможно без привнесения некоторого внешнего содержания, выходящего за рамки логических тождеств. Мы приходим к выводу, что в отличие от логики математическая теория по необходимости должна содержать в себе суждения, не выводимые из одних лишь понятий. Понимание этого обстоятельства позволяет оправдать разделение логики и математики как аналитического и, соответственно, синтетического знания и, тем самым, уже на философском уровне показать несостоятельность общей установки логицизма, который стремился понять математику лишь как продолжение и усложнение логической теории.

Изложенные соображения позволяют нам с большей определенностью очертить сферу априорных синтетических истин. Кант, как известно, понимал принципы механики так же как априорные и, следовательно, имеющие тот же статус, что и принципы геометрии. Близкая позиция обосновывалась Э. Гуссерлем в его теории региональных онтологии. Гуссерль полагал, что в основе любой теоретической науки лежат априорные принципы, определяющие специфику ее предмета и имеющие безусловное значение для всех ее понятий. С этой точки зрения априорно-синтетические суждения имеют место не только в математике, но и во всех теориях, выступая в качестве их неколебимого логического основания [5].

Деятельностное понимание априорного знания исключает такую трактовку общих принципов науки. Принципы теории, имеющей эмпирический базис, обладают не онтологическим, а собственно теоретическим (гипотетико-дедуктивным) статусом, и они ни при каких обстоятельствах не могут быть отождествлены с априорными принципами мышления, выполняющими роль механизма эмпирического синтеза. Принципы механики синтетичны в эмпирическом смысле, а не в смысле онтологической истинности, и не могут быть отождествлены по своему статусу с принципами геометрии и арифметики, производными от универсальной онтологии. Границы априорного синтетического знания строго определены сферой универсальной онтологии и вследствие этого не выходят за пределы аподиктически очевидных истин математики.

Реальность математических объектов

Праксеологическое понимание интуитивной основы математического мышления позволяет нам по-новому посмотреть на старый спор о реальности математических абстракций: являются ли эти абстракции фикциями, изобретением человеческого ума, либо они содержат в себе некоторое содержание, предопределенное структурой мира, в котором мы существуем. Изложенные соображения дают нам возможность защитить математический реализм и прояснить его действительные основания.

Необходимо разделить методологическое и философское понимание математического реализма. Методологический реализм сводится к утверждению, что в математике в качестве непосредственно истинных могут приниматься не только утверждения о конкретных предметах (числах, фигурах), но и утверждения об абстрактных сущностях таких, как множество действительных чисел и т.п. Номиналисты полагают, что подлинной надежностью обладают только высказывания о конкретных объектах, таких как натуральные числа и операции с ними. Этот спор в настоящее

стр. 112

время можно считать законченным: методология математики в достаточной степени прояснила тот факт, что строго номиналистическое построение математики не может быть осуществлено.

Для философии математики более важной и более трудной является идея метафизического реализма, который стремится найти за математическими абстракциями некоторого рода реальное существование. Праксеологическое понимание математических идеализации решает этот вопрос в положительном смысле. Конечно, нельзя думать, что математическому треугольнику соответствует "реальный" треугольник, существующий в некотором поднебесном мире, как это думал Платон. Идея субстанциального существования математических объектов неприемлема. Но с другой стороны, ясно, что система исходных представлений математики не вымысел, не конвенция и не плод свободного воображения. Система исходных математических идеализации однозначно определена структурой предметной онтологии, и в этом смысле она имеет несомненную объективную значимость, прямое отношение к структуре нашего мира. Числа и фигуры - мысленные представления, существующие только в голове математиков и в этом смысле они идеальны. Но, они - необходимые представления сознания, мышление без которых так же невозможно, как оно невозможно без представлений о причинности и времени. В этом смысле математические объекты - необходимые составляющие деятельностной картины мира и, следовательно, объекты, имеющие реальную значимость.

В своем отношении к миру человек строит два уровня представлений: теоретические представления, систематизирующие данные опыта, и онтологические представления, фиксирующие в себе необходимые условия акта деятельности. Оба этих уровня представлений обладают объективной значимостью, ибо оба они определены и подтверждены практическим отношением человека к миру. И если математическая теория в своих исходных интуициях задана категориальной онтологией, то ей не может быть отказано в статусе реально значимой теории. Соглашаясь с теми, кто говорит, что законы математики - не законы природы, основанные на опыте, мы, тем не менее, имеем право настаивать на их связи со структурой реальности, выраженной в категориях. Этот ход мысли приобретает полную ясность, если мы перейдем от Канта, считавшего категории только формой мышления к Гегелю, который считал их также и формами бытия вещей. Праксеологическая теория познания в определенном смысле оправдывает позицию Гегеля, указывая тем самым и путь для понимания смысла утверждений о реальности исходных математических идеализации.

Праксеологический априоризм, таким образом, отличается от традиционного тем, что он является одновременно и реализмом. Связывая исходные математические идеализации с универсальной онтологией, праксеологический априоризм оправдывает традиционную веру математиков в реальную значимость математических объектов и теорий. От кантовского априоризма с его абсолютной имманентностью форм мышления мы должны возвратиться к априоризму Лейбница, для которого универсальные принципы мышления выступают одновременно и в качестве основополагающих характеристик реальности. Наше различение евклидовой геометрии как реальной от других геометрий, полученных из нее посредством логических трансформаций, безусловно оправдано и имеет вполне определенный смысл: в отличие от других геометрий евклидова геометрия является онтологически истинной, согласованной с принципами идеальной предметности. Ясно, что такого рода реализм относится только к генетически исходной группе математических понятий, имеющих онтологическую значимость. К внутренним объектам теории, полученным на основе конструкции, применение понятий априорности и реальности не имеет смысла.

Современные теории математического реализма неудовлетворительны вследствие отсутствия подлинного анализа онтологии математики. Не проясняя связи математических идеализации с универсальной онтологией, современный математичес-

стр. 113

кий реализм сводится либо к обоснованию абстрактного объективизма в духе Канта и Гуссерля, либо к попыткам прямого соотнесения математики с физической реальностью того типа, который дается эволюционной эпистемологией [6]. Натуралистические подходы, однако, столь же несостоятельны, как и подходы чисто идеалистические, рассматривающие математические понятия как только необходимые конструкции сознания.

Априоризм и проблема обоснования математики

Все программы обоснования математики являются априористскими в том смысле, что они постулируют абсолютную истинность некоторых утверждений и абсолютную надежность некоторых методов рассуждения. Они постулируют наличие обосновательного слоя, который не подлежит обоснованию вследствие своей абсолютной надежности. Главная методологическая трудность всех программ обоснования состоит в определении природы и границ этого слоя.

Гильберт соглашался с Кантом в том, что чистое созерцание является наиболее глубоким фундаментом математики. Он считал, однако, что Кант не дал адекватного определения сферы априорного знания. "...В кантовской теории, - писал Гильберт, - все еще остаются антропоморфные шлаки, от которых она должна быть очищена, и после того как они будут удалены, останется лишь та априорная установка, которая лежит в основе чисто математического знания. По существу она и есть та финитная установка, которую я охарактеризовал в ряде своих работ" [7. С. 448]. Гильберт, таким образом, понимает математическую априорность как строгую финитность и проблема обоснования математики получает смысл как обоснование бесконечного на основе конечного.

Эта программа, однако, оказалась нереализуемой. Итог исследований в основаниях математики в XX в. можно свести к тому тезису, что бесконечное не может быть обосновано на основе конечного. Мы должны, таким образом, либо отказаться от построения программ обоснования математики вообще, либо некоторым образом реабилитировать бесконечное, поместив его в круг априорных предпосылок математического знания. Ценность деятельностной теория познания состоит в том, что она указывает на некоторые возможности реализации второй альтернативы.

Обоснование априорности принципов классической логики позволяет оправдать универсальность закона исключенного третьего и отбросить как необоснованные соответствующие ограничения в метатеории. Принципиально важно, что в рамках праксеологического анализа мы обосновываем не только априорность аксиом логики и элементарной математики, но и априорность таких утверждений, как аксиома бесконечности и аксиома выбора [8. Часть. 2. гл. 1]. Становится все более ясным, что представления о непрерывности и бесконечности входят в состав априорных представлений мышления и, следовательно, при некоторых формальных экспликациях могут быть включены в состав обосновательного слоя. Мы можем, таким образом, уйти от финитизма как абсолютного определения границ обосновательного слоя, достигая тем самым существенного расширения метатеории и возможностей формалистского подхода. В этом плане, в частности, могут получить полную реабилитацию генценовские подходы к обоснованию формальной арифметики, основанные на принципе трансфинитной индукции. Аналогичные соображения, направленные на расширение обосновательного слоя, справедливы также и в отношении других программ.

Праксеологическая трактовка априорного знания позволяет оправдать непосредственный переход от онтологической истинности принципов к их абсолютной непротиворечивости. Мы можем принять здесь то положение, что любая система онтологических истин обладает абсолютной внутренней непротиворечивостью. Мы вправе говорить о логической совместности в системе онтологических истин, а следовательно, и об абсолютной непротиворечивости всех математических теорий, ос-

стр. 114

нованных на аподиктически истинных аксиомах. Разумеется, не всякая содержательная интерпретация математических аксиом обосновывает их непротиворечивость, поскольку сама она может содержать в себе противоречивые положения. Этот дефект, однако, исключен в случае онтологической истинности. Аксиомы реальной логики, арифметики и евклидовой геометрии безусловно непротиворечивы, поскольку они лишь фиксируют различные аспекты идеальной предметности, представляющей категориальную основу математики.

Это значит, что новая программа обоснования математики может отказаться от обоснования непротиворечивости элементарных аксиоматик, сдвигая тем самым всю проблему к обоснованию математического анализа и теории множеств. Исследования Г. Крайзеля и Г. Такеути показывают, что из непротиворечивости арифметики вытекает непротиворечивость математического анализа и существенных фрагментов теории множеств. Обоснование аксиомы бесконечности в качестве онтологически истинной открывает путь к обоснованию непротиворечивости некоторых простых, но вместе с тем достаточно сильных аксиоматик теории множеств [9. С. 86 - 96].

Новая обосновательная методология, таким образом, становится возможной через критику финитизма и через оправдание некоторой части трансфинитной математики в качестве онтологически истинной. В этой новой стратегии обоснования математики основная проблема состоит не в отделении конечного от бесконечного, а в отделении бесконечного, которое нуждается в обосновании, от того бесконечного, которое имеет непосредственное онтологическое обоснование.

Некоторые идеи, связанные с непосредственной опорой на онтологическую истинность в процессе обоснования математики, были высказаны К. Геделем в его статье "Расселовская математическая логика" [10]. Основная направленность рассуждения Геделя состояла в критике номиналистского обоснования математики, а именно: тех программ, которые на основе конечных номиналистически интерпретируемых понятий пытаются ввести всю систему определений и принципов, необходимых для оправдания теории множеств. Таковы не-класс концепция множеств Рассела, которая конструирует понятие класса на основе понятий логической функции и значения, и финитистский подход Гильберта, нацеленный на оправдание бесконечных множеств в рамках финитной математики. Идея Геделя состояла в том, чтобы некоторые из высших принципов математики, связанных с бесконечностью, принять на основе их непосредственной истинности в качестве безусловно ясного описания математической реальности.

Эта стратегия кажется малооправданной, ибо вся обосновательная критика классической математики была направлена на то, чтобы устранить обыденные и неконструктивные интуиции из математики, как чреватые противоречиями. Интуитивная ясность определений, как показывает практика, не дает нам гарантий их совместности. Идея Геделя, однако, приобретает смысл, если мы имеем обоснование априорности (онтологической истинности) тех или иных абстрактных математических принципов. Ценность праксеологической теории априорного знания состоит в том, что она позволяет выработать такое обоснование, по крайней мере по отношению к части математических истин. Несомненно, что возможно строгое обоснование априорного и, следовательно, предельно надежного характера принципов классической логики, арифметики и элементарной геометрии.

Наш общий вывод может состоять в том, что деятельностная теория позволяет указать истинные границы априорной математики и дать таким образом рациональные аргументы для оправдания обосновательного слоя в конкретных случаях.

С эмпирической точки зрения обосновательный слой всегда относителен и подвержен корректировке. В этом состояла суть позиции, защищаемой И. Лакатосом. Праксеологический анализ исходных математических идеализации показывает ее полную несостоятельность. Математика имеет свои истоки не в опыте, а в категориальной онтологии, и представляет собой знание, радикально отличное от знания, ос-

стр. 115

нованного на опыте. Онтологически означенная система математических принципов представляет собой обосновательный слой, не нуждающийся в каком-либо дополнительном обосновании. Регресс в бесконечность обрывается на онтологически истинных суждениях, и мы достигаем в математике абсолютного фундамента, который не достижим в сфере эмпирического знания. Подлинное обоснование математики есть только евклидианское обоснование, базирующееся на онтологически истинных принципах. Такого рода обоснование абсолютно, и имеются основания думать, что оно достижимо для всех основных теорий современной математики.

Программы обоснования математики были обречены на неудачу вследствие слабости своих методологических и философских предпосылок. С достаточной определенностью можно предполагать, что прогресс в решении проблемы обоснования зависит сегодня не столько от изобретения новых методов логического анализа, сколько от углубления философии математики, от прояснения наших представлений о природе математического мышления и путей рационального оправдания обосновательного слоя. Изложенные соображения показывают, что праксеологическое обоснование математического априоризма дает нам возможность существенного продвижения в этом направлении.

Основные выводы

Итоги проведенного рассуждения можно свести к следующим положениям:

1. Существование априорного знания как системы интерсубъективных представлений, не допускающих эмпирического обоснования, не подлежит сомнению. В своей основе это знание опирается на универсальную онтологию, определенную в своей структуре деятельностной ориентацией мышления. Априорные представления, по своей сути, являются выражением необходимых онтологических предпосылок действия.

2. Деятельностная трактовка априорного знания оправдывает его разделение на аналитические и синтетические принципы. Мы должны, однако, изъять из состава кантовского аналитического априори аналитические истины, относящиеся к частным понятиям, а из состава синтетического априори - принципы теоретического естествознания. Это значит, что сфера априорного знания, оправдываемая деятельностным подходом, существенно уже той, которая была определена Кантом в "Критике чистого разума".

3. Современная трактовка априорных представлений должна отказаться от кантовского трансцендентализма в том плане, в котором он предполагает идеальность априорных истин, их полную независимость от структуры реальности. Хотя априорные представления не зависят от опыта, мы можем рассматривать их в качестве картины реальности, утверждающей свою объективность в контексте деятельности.

4. Сущность математического знания раскрывается через истолкование первичных математических истин как априорных, однозначно определенных универсальной онтологией мышления. Мы должны настаивать на том, что категориальные и математические представления - представления одной природы: в основе тех и других лежат интерсубъективные очевидности, порожденные деятельностью. Различие состоит в том, что философия использует эти фундаментальные очевидности внешним образом, как основу синтеза опыта, в то время как математика рассматривает их во внутренних смысловых связях, не выходящих за рамки самоочевидности.

5. Истолкование исходных математических истин как однозначно определенных универсальной онтологией мышления позволяет понять их синтетическую и внеопытную природу, их реальность и, наконец, особую степень обоснованности математических теорий, которые не допускают опровержения или революций, разрушающих их сложившуюся структуру.

стр. 116

Примечания

1. Фреге Г. Основоположения арифметики. Томск, 2000.

2. Гуссерль Э. Логические исследования. СПб., 1909.

3. Фоллмер Г. Эволюционная теория познания. М., 1998.

4. Хотя логицисты не доказали сводимости всех принципов математики к логике, они обосновали факт сводимости элементарных арифметических равенств типа 5 + 7 = 12 к логическим тавтологиям. См.: Фреге Г. Указ соч., а также Гильберт Д. и Аккерман А. Введение в теоретическую логику. М., 1947.

5. Кант был убежден в том, что принципы механики могут быть получены на основе аналогий опыта в их применении к общим свойствам материи. Интересная попытка защитить этот тезис и показать его соответствие с методологией современной физики была представлена А. Ю. Грязновым (Грязное А. Ю. Методология физики и априоризм Канта // Вопросы философии. 2000. N 6). Представляется, однако, что столь сильная версия априоризма, вполне понятная для науки XVIII в., не может быть оправдана. Законы Ньютона - обычные теоретические гипотезы, которые не могут быть обоснованы в сфере универсальной онтологии. Представляется, что устойчивость этих законов объясняется не их априорной природой, а исключительно их точностью, которая позволяет превратить их в определение границ механики как науки.

6. Вариант обоснования математического реализма, основанный на установлении прямого соответствия между числами и реальными совокупностями предметов, дает П. Медди в своей книге "Математический реализм" (Meddy P. Realism in Mathematics. Oxford, 1990). Законность такой интерпретации математического реализма представляется сомнительной вследствие того простого соображения, что определение реальных совокупностей не может быть произведено без участия соответствующих чисел как идеальных конструкций.

7. Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. М., 1998.

8. Некоторые доводы на этот счет приведены в моей книге "Философия и основания математики". М., 2001.

9. Крайзель Г. Исследования по теории доказательств. М., 1981. С. 86 - 96.

10. Godel К. Russells mathematical logic // Pears D.F. (ed.). Bertrand Russell. Collection of critical essays. New York, 1972; Godel K. What is Cantor's continuum problem? // Philosophy of mathematics. Selected readings. New York, 1964.



Опубликовано 24 июля 2018 года

Нашли ошибку? Выделите её и нажмите CTRL+ENTER!

© В. Я. ПЕРМИНОВ • Публикатор (): БЦБ LIBRARY.BY

Искать похожие?

LIBRARY.BY+ЛибмонстрЯндексGoogle

Скачать мультимедию?

подняться наверх ↑

ДАЛЕЕ выбор читателей

Загрузка...
подняться наверх ↑

ОБРАТНО В РУБРИКУ

Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY на Ютубе, в вКонтакте, Одноклассниках и Инстаграме чтобы быстро узнавать о лучших публикациях и важнейших событиях дня.