СИНЕРГИЗМ МАТЕМАТИКИ КАК ДИАЛОГ СТРУКТУР*

Статьи, публикации, книги, учебники по вопросам математики.

NEW МАТЕМАТИКА


Все свежие публикации



Меню для авторов

МАТЕМАТИКА: экспорт произведений
Скачать бесплатно! Научная работа на тему СИНЕРГИЗМ МАТЕМАТИКИ КАК ДИАЛОГ СТРУКТУР*. Аудитория: ученые, педагоги, деятели науки, работники образования, студенты (18-50). Minsk, Belarus. Research paper. Agreement.

Полезные кнопки

BIBLIOTEKA.BY Крутые видео из Беларуси HIT.BY - сенсации KAHANNE.COM Футбольная биржа FUT.BY Инстаграм Беларуси

Система Orphus

129 за 24 часа
Автор(ы): • Публикатор:



Синергетика возникла из исследований природы (Г. Хакен и И. Пригожин - оба физики), поэтому эту дисциплину обычно связывают с естественными науками - физикой, химией, биологией, экологией. В последние годы бурно развиваются исследования самоорганизации в гуманитарных областях - в психологии, социологии, политологии, культурологии и даже в богословии и искусстве.

Математика же неизменно выпадала из поля зрения синергетического сообщества. Почему так происходило? По-видимому, главной причиной этого является специфика математического мышления - его аподиктичностъ (доказательность), то, что математическое знание как никакое другое близко к абсолютному, вечному, неизменному знанию, архетип которого сидит в глубине нашего сознания (или даже подсознания). Мы верим в "действительное, настоящее, неотносительное-абсолютное", что есть на самом деле. Естественнонаучные теории и прописные школьные истины, внушаемые нам учебниками, часто неубедительны и проблематичны. Платон, а затем Лейбниц глубоко обосновали мысль о том, что абсолютное знание есть. Такое знание содержится в теологии, философии, логике, а также математике.

Кроме того, математика не нуждается в наблюдениях, в экспериментах, развивается путем выдвижения догадок (теорем, каких-то общих, абстрактных идей) и последующего их доказательства [8]. Все это и объясняет выпадение математики из синергетического движения. Переходность, "мягкость" синергетических объектов, казалось бы, вступает в прямое противоречие с жесткостью, однозначностью дедуктивных рассуждений в математике. Отсюда и подспудное представление о невозможности растущих, автопоэзисных форм в математике. Она, мол, "неживая", а в синергетике все движется, самоорганизуется, растет и цветет. Превращение чего-то в свою противоположность (как это бывает в реальности) математика-де не может выразить.

В чем-то сходное мнение высказал когда-то в личной беседе со мной известный и ныне весьма уважаемый советский философ Э.В. Ильенков. На мой вопрос, почему он в лекции (для преподавателей) сказал, что

(*)Статья выполнена также при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда. Грант N 98-03-04340.

стр. 64

еще далеко не все науки приблизились к диалектике, например, математика, он ответил, что так считал еще Гегель и это совершенно правильно, так как эта наука и по сию пору остается как бы статической в своих структурах. Ее объекты не способны переходить в свою противоположность. Этому препятствует формальная логика, точнее законы тождества и непротиворечия.

В действительности описанные взгляды на математику далеки от реальности. Это взгляд "снаружи" человека, не знающего "душу" математики. Изнутри же открывается иная, более тонкая, более диалектическая, автопоэзисная и синергетическая картина.

Математическое мышление, как и всякая другая мыслительная деятельность, есть переходный, "растущий", самоорганизующийся синергетический процесс. Проявляется это и внутри математики как живом организме, и вне ее - в приложениях, в эмпирических науках, технике, повседневной деятельности.

Действительно, в чем же сущность синергетики и есть ли таковая в математике? Сущность синергетики лучше всего передают переходные процессы, как бы мышление "между" - между Инь и Ян, между правым и левым, между порядком и хаосом, между Светом и Тьмой, между Платоном и Делезом...

Но более точно сущность синергетики выражают ее принципы, относящиеся как к ее ядру (принципам частных теорий нелинейной динамики), так и относящиеся к ее методологическому окружению. К ядру синергетики обычно относят следующие 4 принципа: нелинейности, неустойчивости, открытости, подчинения [1]. К методологии синергетики относят содержательные и формальные принципы. Содержательные из них - это принципы становления (бытие есть главным образом переходные, промежуточные, временные, эфемерно-фрактальные образования), узнавания, или наблюдаемости (означает узнавание бытия как становления), согласия (бытие как становление узнается в ходе диалога - доброжелательного взаимодействия субъектов и установления гармонии между ними в результате диалога), соответствия (возможность перехода от классической картины бытия к синергетической), дополнительности (классическое описание бытия и синергетическое дополняют друг друга), антропный принцип (наблюдаемая реальность, вселенная таковы потому, что в них существует человек). Формальные методологические принципы синергетики, проявляющиеся прежде всего через математику и навеянные появившимися в XX в. интуиционизмом, метаматематикой, теорией категорий, теорией катастроф, следующие: принцип математического становления (означает убежденность математиков в том, что математические идеи развиваются, становятся, усложняются и живут с помощью, или через ученых), сложности (усложнение идеи, структуры в процессе познания = становления), фрактального гомоморфизма (взаимоподобие структур любого масштаба, при этом главное -

стр. 65

структура, а не элементы), освобождения (в процессе развития математики идея, или объект, как бы освобождается от несущественных связей, становится более очищенной и прекрасной), двойственности (единство внутреннего и внешнего - подобно сложению и умножению чисел, точкам и прямым в планиметрии; двойственность связана с дополнительностью) [2].

Как будет далее видно, несмотря на "жесткость", однозначность математического мышления как "царства дедукции", в этой науке существует переходность, "созвучность", диалог между самыми разными идеями, а это как раз и характерно для синергетики.

Рассмотрим более внимательно и подробно, какие типы мышления используются в математике?

Прежде всего есть разные математики: классическая и неклассическая, теоретико-множественная и интуиционистская (и другие). Теоретико- множественная математика заложена Г. Кантором. Большинство ученых считают эту теорию естественным основанием всей математики [12]. Почему естественным? - Потому что большинство математиков по своему мировоззрению платонисты. Они верят в мир идей, существующих независимо от человека. Идей неподвижных, неизменных, абсолютно истинных. О платонистском характере философии большинства математиков писали самые авторитетные авторы - Ф. Клейн, Г. Кантор, Г. Гильберт... Так, Д. Гильберт высказался о критиках Кантора (интуиционистах и конструктивистах) афоризмом: "Никто не может изгнать нас из рая, созданного Кантором" [6].

Это подтвердило и социологическое исследование, проводившееся мною в 1985-1986 гг. среди 40 советских и западных математиков. 80 % из них - платонисты. Остальные - конструктивисты, интуиционисты, диалектические материалисты (один).

Первое неклассическое направление - интуиционизм создал Л.Э.Я. Брауэр (диссертация 1908 г.). Философская установка голландского математика выражена формулой: "Математика = искусство = жизнь" [10]. Ее смысл в утверждении изначальной экзистенциальности математики. Метафорически выражаясь, еще до создания природы. Творец рождает тонкие, живые математические формы, в которых математика = музыка, и только потом наполняет эти всеобщие бесплотные формы природным - грубым, физическим содержанием - "плотью и кровью". Эта мифология архетипически прекрасно выражена в "Сильмариллионе" [11]. По Брауэру математика есть постоянно становящаяся форма, изменяющаяся от одной лишь мысли субъекта (ученого), который сам же и творит эти формы - математические понятия. Но творит вторично - вслед за Творцом, создавшим ученого и давшим ему достаточно ограниченные способности (по Канту - исходные познавательные формы). Поэтому в концепции Брауэра присутствуют бесконечно продолжающиеся (становящиеся) последовательности, свобода выбора,

стр. 66

творящий субъект и тому подобные гуманитарные, философско- экзистенциальные понятия, казалось бы странные для математики. Создатель интуиционизма выступал даже против формализации его философско- математических конструкций, которую провел его аспирант А. Рейтинг (за что последнему были благодарны все остальные ученые, поскольку он сделал гениальные, но туманные прозрения своего учителя понятными простым смертным [5]).

Вот типично брауэровский вопрос: существуют ли в разложении числа ПИ (3,14...) 100 нулей подряд? Оказывается, ответ зависит от субъекта, задающего вопрос! Прямо ответить в платонистском духе не представляется возможным, даже если использовать все ресурсы цивилизации. Платонизм здесь уже не работает. Дело гораздо тоньше. Если вы верите, что вопрос разрешим, то получается одна математика, а если нет, другая.

Сходная ситуация сложилась в математике еще во времена Лобачевского, когда выбор той или иной аксиомы (пятого постулата Евклида или одного из его отрицаний) дает нам ту или иную геометрию. Ситуация затем повторилась с континуум-гипотезой .

Таким образом, интуиционистские понятия являются становящимися, "живыми" формами, зависящими от столь тонкой вещи как мысль субъекта (причем внутри теории, в самой ткани математического мышления присутствует и активно действует субъект - в чем убежден Брауэр). Это напоминает синергетическую ситуацию с фракталами, когда существование объекта, его количественные характеристики зависят от субъекта. Например, длина побережья зависит от масштаба рассмотрения, от средств измерения и прочих достаточно субъективных вещей. Соответственно вопрос: "А как на самом деле?" теряет смысл.

Отсюда видно, что интуиционизм гораздо более синергетичен, чем теоретико- множественная математика. Недаром Брауэр считал интуиционизм математикой будущего, математикой гуманитарного мышления (истории, психологии и т.п.).

В XX в. появились и другие неклассические направления, основанные на логике без отрицания, на категорной логике (теория как бы без элементов [14]), на логике неопределенных предикатов и иные.

Появились и другие признаки проникновения субъекта в математику. Понятие метатеории (Гильберт) как теории, исследующей другие теории, называемые объектными, в сущности неявно вводит субъект в математику, поскольку только субъект активен (он познает), более сложен и более богат, чем объект (точно также как метатеория по сравнению с объектной теорией).

Бесконечность, свобода, выбор стали неотъемлемой частью математического мышления и его результатов - объектов и теорий о них. Это позволяет говорить о современной математике как науке, выходящей за рамки

стр. 67

платонизма, преодолевающей однозначно-жесткое, бессубъектное, "машинное" мышление неизменными кирпичиками-мыслеформами.

Синергизм математики проявляется не только в новых, "очеловеченных" направлениях, но и в функционировании математики - внутреннем и внешнем, в частности, в характере взаимосвязи математических понятий в целом (их как бы "свечении" друг в друге, диалоге и взаимообогащении), а также в ее приложениях. Например, Р. Декарт и П. Ферма, открыв метод координат, соединяют геометрию и алгебру в аналитической геометрии и тем закладывают в последующие 4 века постоянный диалог, взаимообмен информацией между геометрией и алгеброй (к ним присоединяется и арифметика). Математический анализ, открытый И. Ньютоном и Г. Лейбницем, также стал "общенаучной площадью", на которой зазвучали языки самых разных разделов математики и естествознания. Причем обнаружилось, что глубоких идей (архетипов, единых для всех) совсем мало, а вот форм выражения ("диалектов") очень много, что и затрудняет диалог представителей разных научных "народностей". Центральная для матанализа идея функции Y = F (х) (позже отображения, преобразования, морфизма, соответствия), по-видимому, представляет собой главное диалоговое понятие математики. Функция обеспечивает процесс взаимного перевода- "словарь и правила грамматики" языка диалога. Отсюда и единство математики - как в предмете, так и в методе (несмотря на разнообразие трактовок этих понятий). Не только функция, но и другие понятия - множество, категория, а также аксиоматический и генетический методы, алгоритм, метатеория и иные обеспечивают взаимопонимание между представителями разных направлений.

Таким образом, внутренний синергизм состоит в том, что одна и та же идея проявляется в самых различных областях, связывая весьма отдаленные области. Причем, как отмечают Н. Бурбаки, чем отдаленнее области, тем более фундаментальна и обща идея. Самые общие структуры, выделяемые Бурбаки, - это порядковая (идеи числа, отношения больше и меньше), топологическая (идеи близости, окрестности, предела), алгебраическая (идеи поля, группы). К этим структурам можно добавить множество, а после 1945 г. - еще и категории [13, 14, 15]. Более методологический, относящийся 'к основаниям характер имеют идеи аксиоматического и генетического (конструктивного) методов, метатеории и другие. Все эти фундаментальные структуры пронизывают математику, переплетаясь с друг другом.

Например, идея числа порождает порядковую структуру и проявляется всюду, где есть дискретная мера, а в сущности - прерывность, которая и создает иерархию и отношение "больше". Бурбаки пишут: "Математика начинается после того, как выработаны понятия натурального числа и равенства между ними" [3. С. 24]. До них ту же мысль высказывал -

стр. 68

Л. Кронекер в XIX в.: "Бог создал натуральные числа, а все остальное - дело рук человеческих". Но и до него, за 2,5 тыс. лет нечто сходное сказал Пифагор: "Все есть число".

Подобным образом развивается идея алгоритма (или более общего - генетического метода). Так, задача численного решения любого уравнения заключается в отыскании соответствующего алгоритма. Вычислительный процесс предстает как оперирование с произвольными символами и их комбинациями. Все это - конструктивные объекты (кстати, центральное понятие кибернетики).

Алгоритм породил и математические фракталы. В 1906 г. П. Фату, а затем Ж. Жюлиа в 1918 г. открыли с помощью итерации на комплексной плоскости первые фракталы (множества, названные их именами). Их алгоритм состоит в следующем. Берется начальное значение Z0. Затем проводятся итерации

Здесь Zn, Zm С - комплексные числа. При определенных Zo С возникает фрактальная пыль (канторово множество Фату) и другие фракталы.

Позже, приблизительно в 1980 г. идеи своих учителей обобщил Б. Мандельброт, назвавший всю эту область фрактальной геометрией.

Истоки этих исследований - в работах А. Пуанкаре [9. С. 132]. Точнее - в предельном множестве группы Клейна. Оно возникает следующим образом. Произвольная начальная точка на плоскости подвергается бесконечной цепочке инверсии относительно заданных окружностей. Задача состоит в том, чтобы описать фигуру, которая притягивает точку в процессе итераций (инверсий). Появляется множество Пуанкаре - самый ранний пример фрактала. Эта задача близка эргодической теореме. Отсюда происходит и синергетическая проблематика.

История эргодической теоремы связана со статистической физикой. Вот наглядная задача: как будет путешествовать по вселенной частица, подчиняющаяся броуновскому (хаотическому) закону движения. Доказано, что когда-нибудь частица окажется около любой точки (в любой ее, как угодно малой окрестности). Отсюда, например, 2 способа ловли мух в комнате - пространственный и временной. Либо бегать за насекомым с мухобойкой, либо неподвижно стоять с "орудием убийства" возле любой точки и ждать, когда муха сядет в ней (что неизбежно, хотя это время может быть порядка 10 лет - впрочем для математики сие несущественно).

Описанные примеры раскрывают нам ведущее убеждение или веру синергетиков: мир есть множество фракталов, а нефракталов (как абсолютно устойчивых, неизменных, "линейных", "гладких" систем) исчезающе мало (множество меры ноль). Подобно тому как "правильные", рациональные числа на отрезке [0,1] образуют множество

стр. 69

меры 0, а мощность множества остальных - иррациональных чисел - равна 1.

Точно также полная стабильность, "неподвижность", "ламинарность" мира - иллюзия, а точнее - бытие, которому соответствует множество меры 0. Нестабильной же, "турбулентной", хаотической части бытия соответствует множество меры 1 ("все").

В связи с этим допустимо выдвинуть догадку о "количестве" различных объектов в математике. С точки зрения фрактальной геометрии почти все "пространство" математики должны занимать фракталы, или монстры, различные нелинейные, неправильные, извращенные объекты (их начали открывать когда-то Больцано, Пеано, Пуанкаре, Кантор, Хаусдорф, Серпинский... ). В то же время линейных, гладких, аналитических, правильных объектов исчезающе мало. Математика "почти вся" фрактальна.

Как видим, единый математический язык обеспечивает своеобразный разговор через тысячелетия - понимание нами, людьми XX в. пифагорейцев, восхищавшихся гармонией натуральных чисел, но открывших иррациональные числа, изумившихся и возмутившихся этой дисгармонией. Возможно, пифагорейцы первыми осознали мир как диалог порядка и хаоса.

Отсюда ясно, что и в функционировании математики, и в ее развитии четко проявляются принципы ядра синергетики. Нелинейность означает качественный скачок - открытие (в случае фракталов - открытия Фату, Жюлиа, Мандельброта). Неустойчивость - постоянный поиск, экспериментирование вокруг простых вещей вроде формулы. Открытость - возможность внесения в область исследования новых идей и их применения. Подчинение - обнаружение параметра порядка, то есть ведущего образа - пыли Фату, дополнительного к нему множества Жюлиа, отмеченных странной красотой, самоподобием и другими интересными свойствами. Этот образ в конце концов, через 60-70 лет привел Мандельброта к фрактальной геометрии.

Работают здесь и методологические принципы, в частности, содержательные - становления, узнавания...Также и математические принципы - сложности, фрактального гомоморфизма, освобождения (Мандельброт "освободил" фрактал из его теоретико-множественной формы, мешавшей узнать его, почему славу открытия и приписывают Мандельброту, а не его учителю Фату).

Вне математики, в ее приложениях синергизм проявляется столь же ярко, как и внутри, а именно - в пронизанности научных знаний (физических, биологических, технических, гуманитарных) идеями формы, меры, числа, близости (окрестности)... Они и составляют собственно предмет математики и порождают порядковую, топологическую, алгебраическую структуры. Это и естественно, так как теоретическое естест-

стр. 70

вознание пошло от принципа Пифагора "Все есть число". Мысль эта неоднократно повторялась в последующие тысячелетия. И. Кант писал: "В науке столько науки, сколько в ней математики". Еще глубже догадка Гильберта о том, что основные физические константы (скорость света С, постоянная Планка h, отношение масс протона и электрона - 1836, постоянная Хаббла Н ...) сводятся к математическим постоянным (1, пи, е, i...) [7, 4]. За XX в. написаны сотни монографий на столь фундаментальную проблему. Ряд авторов как будто получили решение. Отсюда возникает вопрос - почему "физика сводится к математике" (если согласиться с такой постановкой задачи)? Убедительного ответа нет. Решение, на мой взгляд, возможно на пути соединения мысли (математики) и природы (физики) через антропный принцип. Человек как космическое, как языковое, как понимающее существо обеспечивает диалог духа и материи, порядка и хаоса.

(1). Аршинов В.И., Буданов В.Г., Войцехович В.Э. Принципы представления процессов становления в синергетике // XI Международная конференция. Логика, методология, философия науки. Т. VII. Методологические проблемы синергетики. М.-Обнинск, 1995.

(2). Аршинов В.И., Войцехович В.Э. Синергетическое знание: между сетью и принципами //Синергетическая парадигма... М., 1999.

(3). Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.

(4). Войцехович В.Э. Фундаментальные физические постоянные и математические константы // Методологический анализ математических теорий. М., 1987.

(5). Рейтинг А. Интуиционизм. М., 1965.

(6). Гильберт Д. О бесконечном // Основания геометрии. М.-Л., 1948.

(7). Гильберт Д. Основания физики // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М., 1979.

(8). Лакатос И. История науки и ее рациональные реконструкции // Структура и развитие науки. М., 1978.

(9). Мандельброт Б. Фракталы и возрождение теории итераций // Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. М., 1993.

(10). Панов М.И. Методологические проблемы интуиционистской математики. М., 1984.

(11). Толкин Д.Р. Сильмариллион. М., 1990.

(12). Френкель АА., Бар-ХиллелИ. Основания теории множеств. М., 1966.

(13). Eilenberg S., Mac Lane S. General theory of natural equivalences // Transactions of the American Mathematical Society. 1945. V. 58.

(14). LawvereF.W. The category of categories as a foundation for mathematics // Proceedings of the conference on categorical algebra / La Jolla, 1965. N.-Y., 1966..

(15). Mac Lane S. Mathematics, Form and Functions. N.-Y., 1986.



Опубликовано 24 июля 2018 года

Нашли ошибку? Выделите её и нажмите CTRL+ENTER!

© В.Э. ВОЙЦЕХОВИЧ • Публикатор (): БЦБ LIBRARY.BY

Искать похожие?

LIBRARY.BY+ЛибмонстрЯндексGoogle

Скачать мультимедию?

подняться наверх ↑

ДАЛЕЕ выбор читателей

Загрузка...
подняться наверх ↑

ОБРАТНО В РУБРИКУ

Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY на Ютубе, в вКонтакте, Одноклассниках и Инстаграме чтобы быстро узнавать о лучших публикациях и важнейших событиях дня.