Дидактическое взаимодействие логики и математики

Статьи, публикации, книги, учебники по вопросам математики.

МАТЕМАТИКА новое

Все свежие публикации


Меню для авторов

МАТЕМАТИКА: экспорт произведений
Скачать бесплатно! Научная работа на тему Дидактическое взаимодействие логики и математики. Аудитория: ученые, педагоги, деятели науки, работники образования, студенты (18-50). Minsk, Belarus. Research paper. Agreement.

Полезные кнопки

BIBLIOTEKA.BY Крутые видео из Беларуси Аэросъемка - все города РБ KAHANNE.COM - это любовь! Футбольная биржа (FUT.BY) Система Orphus

313 за 24 часа
Автор(ы): • Публикатор:



Логика - наука о законах и формах правильного мышления - одна из древнейших отраслей знания, роль которой в научном постижении мира общепризнана. Ее основоположником по праву считается величайший древнегреческий мыслитель Аристотель. Английским ученым Дж. Булем (1815-1864) в логику была введена математика. При этом он не просто применил математическую атрибутику и символику, а, по существу, ввел строгое понятие логического исчисления, которое стало объектом математического изучения. Тем самым в логику проник сам дух математики.

Математизация логики привела в XX в. к ее невиданному расцвету и способствовала переходу на качественно новый уровень в следующих двух аспектах. Во-первых, математическая логика превратилась в уникальнейший раздел математики: она дала возможность исследовать сам математический метод как таковой, судить о математике в целом, о возможностях и пределах ее исследовательской силы и строго доказывать эти суждения. Никакой другой раздел математики по сей день не обладает подобными возможностями. Во-вторых, обогатившись математическим духом, логика сделалась одним из эффективнейших прикладных разделов математической науки: ее приложения связаны с проектированием и созданием ЭВМ (компьютеров) и программного обеспечения к ним.

Из сказанного с очевидностью вытекает, что современное преподавание и обучение математике (а также с помощью математики) немыслимы без знания основ логики. При этом в дидактическом взаимодействии логики и математики, с одной стороны, первая выступает как особый инструмент изучения математики, именно инструмент, а не метод, не средство и не форма. С другой, будучи своеобразной частью математики, она предстает как объект, изучаемый в ее рамках и с ее помощью. Но и в этом втором своем качестве она способствует более осознанному и более глубокому изучению самой математики.

В нашей статье мы намерены охарактеризовать различные аспекты этих двух сторон дидактического взаимодействия логики и математики в процессе обучения последней, причем оно будет более эффективным и действенным, если будущие учителя еще в педвузе получат максимально профессионально-ориентированную на их будущую деятельность подготовку по логике.

Об этом очень ярко и точно сказал известный современный логик и педагог Г. Фройденталь: "При подготовке учителей мы исходим из аксиомы: тот, кто обучает, должен знать больше, чем только то, чему он обучает. Это "больше" относится не только к объему материала. Учитель должен знать то, чему он обучает еще и в форме, отличной от той, по которой он обучает. Он должен владеть не только большим объемом материала, но и более высокой логической формой понимания этого материала (курсив мой. - В.И .) . А для этого он должен почувствовать логическую глубину материала. В этом ему может помочь логика, если она будет изучена глубже, чем только доказательства от противного, обращение теоремы, эквивалентность и т.п. Учитель математики не должен преподавать логику, а должен пользоваться логикой, уметь помочь школьнику осознать ту логику, которой тот пользуется (курсив мой. - В.И. ). От учителя следует потребовать большего: чтобы он стоял выше им самим избранного метода изложения материала и чтобы он сам осознал этот метод" [1, с. 181].

стр. 51

Можно сказать, что если, по выражению Ломоносова, математика приводит в порядок ум, то логика, вне всякого сомнения, приводит в порядок математику. Эта роль логики в математической науке не могла не отразиться и на ее роли в методике обучения математике. Выделим те общие принципы логики, которые имеют фундаментальное значение для методики обучения математике. Нарушение или несоблюдение их приводит в итоге к искаженному видению обучаемым как общей картины математики, так и отдельных ее деталей.

Реализация этих логических принципов осуществляется следующим образом. Во-первых, они должны быть осознаны студентами в процессе изучения математической логики. Во- вторых, им должна быть подчинена вся система преподавания курсов математики в педвузе, с тем чтобы будущий учитель на собственном опыте убедился в необходимости их соблюдения, в их влиянии на формирование логики мышления и мыслительных способностей. В-третьих, в курсе методики обучения математике необходимо продемонстрировать, как надлежит реализовывать данные принципы в ходе преподавания школьного курса, какова методика такой реализации. Вооружившись таким логическим знанием, студент сможет применить его в своей будущей педагогической деятельности. Роль этих принципов в методике обучения математике состоит в том, что они, по существу, образуют ее остов, скелет. Именно вокруг них строится вся методика обучения математике: различные ее разделы призваны в той или иной мере реализовывать тот или иной логический принцип. Итак, перечислим их:

1) принцип обучения строению (структуре) математических утверждений. Здесь необходимо научиться, во-первых, видеть логическую структуру математического утверждения, будь то определение или теорема, отчетливо понимать, где и какие логические связки участвуют в формулировке (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, квантор общности или существования). Существенную помощь в анализе структуры утверждения окажет запись его на языке математической логики - алгебры высказываний или логики предикатов. Во-вторых, понимать, какие утверждения равносильны каким, т.е. преобразовывать структуру математического утверждения равносильным образом. Чем больше усвоено логических равносильностей, тем выше логическая культура учителя. И здесь помогает математическая логика, с помощью которой эти преобразования предстают наиболее зримо;

2) принцип обучения понятию доказательства математической теоремы. Здесь необходимо уяснить, что теорема - это доказуемое утверждение, а доказательство теоремы - это последовательность (цепочка) утверждений, каждое из которых есть либо условие теоремы, либо аксиома, либо получено из двух предыдущих утверждений последовательности по правилу вывода: из утверждений Р и Р -> Q следует утверждение Q . Сама теорема есть последнее утверждение в этой цепочке-доказательстве. Построив такую цепочку, мы доказываем, что из А выводится В, в результате чего делаем вывод, что справедлива теорема А -> В . Обоснованием этому переходу служит логическая теорема о дедукции. Всякий раз при доказательстве теоремы нужно стремиться к тому, чтобы эта цепочка-доказательство вырисовывалась в сознании учащегося как можно более отчетливо;

3) пpuнцuп обучения методам доказательства математических теорем. Здесь необходимо, во-первых, научиться методам построения цепочки утверждений А = А 0 , А 1 ..., А n = В для доказательства теоремы А -> В . Синтетический (или прямой) метод - построение цепочки в прямом направлении, от А к В . Аналитический метод (или метод восходящего анализа) - построение ее в обратном направлении, от В к А . Во-вторых, уяснить, что доказать теорему можно и методом доказательства от противного, и методом приведения к абсурду, и методом цепного заключения и т.д. В-третьих, исключительно важно усвоить основные наиболее употребительные правила (схемы) умозаключений, используемые как в математической, так и в житейской практике рассуждений (модусы, введение импликаций и эквивалентностей);

стр. 52

4) принцип обучения построению математических теорий. Здесь имеется в виду уяснение сути аксиоматического метода при построении математической теории и при ее преподавании; первоначальных (неопределяемых) понятий теории, ее аксиом и теорем, вплоть до метатеории (свойств этой теории) - непротиворечивости, полноты, категоричности, независимости системы аксиом.

Перечисленные логические принципы приведены в порядке углубления их влияния на воспитание логической культуры учителя математики. Они должны органично войти в сознание всякого преподавателя, ибо без их соблюдения изучаемый предмет рискует утратить те качества и черты, которые, собственно, и выделяют его из системы прочих наук.

Представляется особенно важным, чтобы охарактеризованные принципы логики проводились в практику преподавания математики не только в специализированных классах и школах, но и в обычной общеобразовательной школе. "Опыт показывает. - отмечают В.А. Вышенский и Л.А. Калужнин [2, с. 40], - что именно для школьников со средними способностями к математике польза от логических понятий и символики особенно существенна. Ученики с математическим талантом, как хорошо известно, чисто интуитивно и самостоятельно в конце концов осваивают логическую структуру математики, но и им приведенные логические схемы могут облегчить путь в математику".

Одним из важнейших условий профессионально- педагогической направленности обучения в педвузе является объединение в каждом математическом курсе научной и методической линий (принцип бинарности). Такое объединение исключительно важно для курса математической логики и теории алгоритмов, который не может замыкаться в кругу абстрактных понятий, а должен иметь максимальный выход на школьную математику, ярко выраженную прикладную направленность - осмысливать и анализировать понятия, методы рассуждений и доказательств, показывать приложения логики к проектированию и созданию компьютеров.

Курс методики преподавания математики предполагает не только освоение всего того богатства методических приемов, которые выработаны этой наукой на протяжении многих десятилетий, но и научение творческому подходу к ним, с тем чтобы постоянно их совершенствовать и создавать новые. Для этого будущий учитель должен уметь рассуждать, строить умозаключения, делать выводы, т.е. пользоваться логикой. Хотя методика преподавания математики в значительной мере наука экспериментальная, все же не все ее предложения устанавливаются практическим путем; многие из них выводятся логически из других ранее установленных утверждений. И здесь знание основ логики поможет студенту лучше разбираться в исследованиях педагогических проблем, самому участвовать в их решении и тем самым непрестанно совершенствовать свой профессионально-педагогический уровень.

Важным аспектом профессионально-педагогической направленности курса математической логики является то, что необходимые элементы логики в четко осознанном виде должны стать неотъемлемой частью самого процесса преподавания математики, его важным рабочим инструментом. Знание основ математической логики позволит будущему учителю осуществить реализацию дидактических принципов логики, о которых говорилось выше, и тем самым повысить эффективность обучения, усилить его влияние на логическое развитие учащихся, полнее понять суть логического анализа школьных курсов алгебры и геометрии, отчетливо осознать их логико-аксиоматические основания, ощутить внутренние пружины их развития.

Как отметил А.А. Столяр [3, с. 188], поразительным является экспериментально установленный факт, что "обучение математике традиционными методами, пренебрегающими логикой, не достигает существенного логического развития". Отсюда вывод: элементы логики должны стать неотъемлемой частью процесса преподавания. При этом исключительно важна роль именно математической логики, которая, в отличие от традиционной, может весьма органично включаться в курс математики. Следует, однако, остерегаться сведения роли логики лишь к введению соответствующей символики, понимаемой как своеобразные стенографические значки,

стр. 53

позволяющие кратко записывать математические тексты. Гарантией от такого выхолащивания духа логики в обучении математике может служить лишь каждодневное следование в учебном процессе дидактическим принципам логики.

Фундаментальная логическая подготовка будущего учителя математики будет в значительной мере способствовать формированию одного из важнейших его профессиональных качеств - математическому стилю мышления. Выдающийся советский математик и педагог А.Я. Хинчин охарактеризовал его следующими особенностями: 1) доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения; 2) лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший из ведущих к данной цели логический путь; 3) четкая разбивка хода рассуждений на случаи и подслучаи; 4) скрупулезная точность символики. Математический стиль мышления, в свою очередь, предъявляет высокие требования к логической строгости и стройности умозаключений и рассуждений, воспитывает общую логическую культуру мышления, способствует развитию потребности в полноценности аргументации и чувства такой полноценности. В обыденной жизни и в ряде естественнонаучных дискуссий аргументацию далеко не всегда удается сделать исчерпывающей. У математика, воспитанного на жестких традициях и законах логики, это вызывает чувство неудовлетворенности. "Здесь аргументация, не обладающая характером полной, абсолютной исчерпанности, оставляющая хотя бы малейшую возможность обоснованного возражения, беспощадно признается ошибочной и отбрасывается как лишенная какой бы то ни было силы... Изучая математику, школьник впервые в своей жизни встречает столь высокую требовательность к полноценности аргументации" [4, с. 36]. А.Я. Хинчин сформулировал некоторые конкретные требования, выполнение которых обеспечивает полноту аргументации. Среди них - борьба против незаконных обобщений и необоснованных аналогий, за полноту дизъюнкций и выдержанность классификации.

Учителям, претендующим на высокий профессионально- педагогический уровень и работающим в учебных заведениях инновационного типа (лицеи, гимназии, колледжи, классы с углубленным изучением математики), нередко приходится самостоятельно разрабатывать специальный или факультативный курс по тому или иному разделу элементарной математики, порой раздвигающий школьный курс до весьма далеких пределов. Это сложная педагогическая задача, которая под силу далеко не каждому учителю. И именно логическая подготовка позволит проанализировать, систематизировать и логико-методически организовать тот научный материал, который должен лечь в основу создаваемого курса; будет способствовать методической переработке учителем того научного материала, с которым он столкнется.

Математический текст (формулировки определений, аксиом, теорем, постановки учебных задач и проблем) представляет собой уникальный сплав языка и математики. Его задача - адекватно выразить математическую мысль. Для создания таких текстов и адекватного их понимания, для совмещения традиций и законов обыденного и математического языков, для анализа математического текста на предмет выявления в нем математической мысли необходимо знание основ математической логики. Преподаватель математики выступает как бы в двух ролях - математика и лингвиста, и неудача его хотя бы в одной из них не позволяет полностью реализоваться ему как педагогу. Изучение определений, теорем и их доказательств, решение всякой задачи, по существу, начинается с логико-лингвистического анализа их текста, так что связь математики и русского языка органична, естественна и как бы встроена в саму математику. Логико- лингвистический анализ математического текста включает следующие моменты: 1) выявление арифметических конструкций текста и соответствующих им арифметических или математических символов; 2) выявление присутствующих в тексте логических союзов и восполнение отсутствующих; установление сфер действия этих союзов, логических отношений между частями текста (в частности, определение того, что дано, и того, что требуется определить); 3) поиск кванторных смыслов как явно выраженных, так и скрытых; восполнение отсутствую-

стр. 54

щих кванторных слов; 4) отбрасывание ненужных модальных смыслов [5, с. 39-45].

Учитель должен уметь сам и научить своих учеников правильно понимать математический текст и составлять его так, чтобы он мог быть адекватно понят другими. Важный компонент этого умения - перевод математического утверждения с обычного языка на логико-математический (символический) и наоборот. Именно такой перевод помогает точно понять смысл утверждения и избежать двусмысленности. Другими словами, учитель должен владеть умением распознавать логическую структуру предложения и его словесной переформулировки в виде, от которого легко можно перейти к символической записи на языке предикатных формул (это своего рода умение математически грамотной постановки прикладной практической задачи). Например, фраза "Все люди смертны" может быть переформулирована так: "Для всех х, если х - человек, то х смертей" (от последней формулы легко перейти к символической записи). Умение понимать текст и логически оперировать с ним (например, строить отрицания утверждений, что приходится делать в математике постоянно) должно быть доведено до автоматизма, выполняться учителем на подсознательном, интуитивном уровне. Он должен постоянно следить за точностью своей речи, выбирая для передачи информации наиболее правильные естественные языковые средства, учить своих учеников понимать настоящий смысл слов и выражений в конкретной ситуации, в конкретном тексте. Такой подход сделает его работу по формированию логической культуры учащихся более эффективной.

Обучение математике, вне всякого сомнения, развивает умение рассуждать, логически мыслить значительно лучше, нежели обучение какой-либо другой дисциплине. Конечно, если учитель не обращает внимание учащихся на логику математических доказательств, то обнаружить ее если не на абсолютно сознательном уровне, то хотя бы на некотором интуитивном смогут далеко не все, лишь немногие, наиболее способные.

Поэтому педагог должен сознательно помочь всем остальным учащимся явно осознать логику математических формулировок и доказательств. Эту мысль отмечал еще А.Н. Колмогоров (1903-1987). Обращаясь к учителям математики, он говорил, что "формализация математики не избавляет нас от необходимости рассуждать содержательно с целью получения истины в самом обычном общечеловеческом смысле этого слова. В таких рассуждениях мы применяем обычную содержательную логику. Ответственность преподавателей математики здесь особенно велика, так как отдельного предмета "логика" в школе нет и знакомство с началами логики практически в значительной мере происходит на уроках математики. При этом нет никаких оснований бояться широкого введения в школе символических обозначений и формул математической логики, записывая, например, правило силлогизма в виде А -> В, В- >С -> А -> С или схему доказательства "от противного" в виде ( -В -> - А ) <- > ( А -> В ). Здесь дело идет о символической записи законов обычной общечеловеческой логики" [6, с. 236].

Очень важная педагогическая проблема состоит в том, чтобы решить, какие элементы логики следует освоить по ходу изучения школьного курса математики; в каком месте этого курса и в связи с каким материалом необходимо их изучать; в каком аспекте и на каком уровне следует преподавать учащимся эти элементы. Решение этой задачи в значительной мере зависит от учителя, который и должен дать ответ применительно к тому конкретному классу, к тому контингенту учащихся, с которым он работает. Общими указаниями могут служить следующие:

всегда отчетливо формулируйте математическое утверждение, будь то определение или теорема;

четко осознайте сами и непременно укажите учащимся, какое понятие определяется, через какие понятия оно определяется, каково условие теоремы (что в ней дано) и каково заключение теоремы (что требуется доказать); обязательно различайте в математическом предложении употребление союзов и и или (ведь от этого зависит истинность общего, составного, утверждения: в первом случае оно истинно, если

стр. 55

оба соединенных союзом и утверждения истинны; во втором - если истинно хотя бы одно); ясно осознайте, о каком условии идет речь - необходимом, достаточном или необходимом и достаточном, т.е. умейте понимать, будет ли теоремой утверждение, обратное доказанной теореме;

объясните учащимся закон контрапозиции;

умейте различать в математических текстах утверждения всеобщности ("для всех") и существования ("существует");

умейте строить отрицания математических утверждений с использованием законов де Моргана в бескванторной и кванторной формах;

объясните учащимся, что значит сделать непосредственный вывод по правилу Modus Ponens (из Р и Р -> Q следует Q ) и что значит доказать теорему (построить доказательство теоремы);

дайте им понятие об основных методах доказательства теорем;

при изучении геометрии (стереометрии) объясните основные логические принципы аксиоматического построения математических теорий.

Курс математики средней школы обширен, и хорошо подготовленный учитель всегда найдет в нем время и место, чтобы уделить внимание затронутым выше вопросам логики. И это время не будет потрачено напрасно. Оно обернется не только улучшением качества математической подготовки учащихся, но и повышением их общего умственного развития, их логической культуры, культуры их мысли.

В заключение отметим, что наиболее важным периодом с точки зрения логического развития школьника являются V-VI классы. Детальное изучение соответствующих методических вопросов еще ждет своего исследователя. Необходимо составить и обосновать четкую программу развития мышления учащихся, определить типы задач и вопросов, непосредственно направленных на формирование их умственных способностей. Думается, что одной из важнейших причин, по которым решение данной проблемы остается все еще в зачаточном состоянии, является слабая логическая подготовка учителей, обучающих детей математике.

Литература

1. Фронденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. 2. М., 1983.

2. Вышенский В.А., Калужнин Л.А. О месте теории множеств и математической логики в школьном курсе математики // Математика в школе. 1970. N 1.

3. Столяр А.А. Педагогика математики. Минск. 1974.

4. Хинчин А.Я. Математика как профессия. М., 1980.

5. Крейдлин Г.Е., Шмелев А.Д. Языковая деятельность и решение задач // Математика в школе. 1989. N 3.

6. Колмогоров А.Н. Математика - наука и профессия. М., 1988.



Опубликовано 24 июля 2018 года

Нашли ошибку? Выделите её и нажмите CTRL+ENTER!

© Игошин В.И. • Публикатор (): БЦБ LIBRARY.BY

Искать похожие?

LIBRARY.BY+ЛибмонстрЯндексGoogle

Скачать мультимедию?

подняться наверх ↑

ДАЛЕЕ выбор читателей

Загрузка...
подняться наверх ↑

ОБРАТНО В РУБРИКУ

Уважаемый читатель! Подписывайтесь на LIBRARY.BY на Ютубе, в вКонтакте и Одноклассниках чтобы быстро узнавать о лучших публикациях и важнейших событиях дня.